2023-2024学年安徽省六安市霍山中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省六安市霍山中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z在复平面内对应的点是(1,−1)，则1z−1=(

)A.i B.−i C.1 D.−12.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形O′A′B′C′，则原平面图形的周长为(

)A.4aB.8a

C.6aD.83.已知非零向量a与b同向，则a−b(

)A.必定与a同向 B.必定与b同向

C.必定与a是平行向量 D.与b不可能是平行向量4.已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β=m.下列四个命题：

①若m//n，则n//α或n//β②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β

③若n//α，且n//β，则m//n④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n

其中，所有真命题的编号是(

)A.①③ B.②③ C.①②③ D.①③④5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是(

)A.A与B互为对立事件B.P(A)=P(B)C.A与B相等 D.A与B互斥6.一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为28π，则它的表面积为(

)A.41π B.42π C.29337.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C、D两观测点，且在C、D两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°，在水平面上测得∠BCD=120°，C、D两地相距500m，则电视塔AB的高度是(

)A.1002m

B.400m

C.2008.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E,F分别是棱B1B,BA.1 B.98 C.89 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则(

)A.这组数据的众数为4 B.这组数据的极差为3

C.这组数据的平均数为2 D.这组数据的50%分位数为110.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是(

)A.若A>B，则sinA>sinB

B.若A>B，则cosA>cosB

C.若a2+b2<c2，则△ABC为钝角三角形11.已知梯形ABCD，AB=AD=1，BC=2，AD//BC，AD⊥AB，P是线段BC的中点.将△ABD沿着BD所在的直线翻折成四面体ABCD，翻折的过程中下列选项正确的是(

)A.BD与AP始终垂直

B.当直线AP与平面BCD所成角为π6时，AP=62

C.四面体A−BCD体积的最大值为22

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设e1,e2是不共线的两个向量，AB=e1+ke2,13.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1，棱长为2，E14.粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为6cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

复数z=(m2−3m−4)+(m2−5m−6)i，m∈R．

(1)若z是虚数，求实数m的取值范围；

(2)若16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c2+b2−a2=2bc．

(1)求17.(本小题15分)

甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为12和23，求：

(1)两个人都译出密码的概率；

(2)恰有118.(本小题17分)

如图：AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．19.(本小题17分)

文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)求样本成绩的第75百分位数；

(3)已知落在[50,60)的平均成绩是57，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数z−和总方差s2

答案解析1..A

【解析】解：复数z在复平面内对应的点是(1,−1)，

∴z=1−i，

则1z−1=1−i=i2..B

【解析】解：根据题意，由直观图可得原图形，

所以OA=BC=a，OB=22a，∠BOA=90°，

所以AB=OC=OA2+OB3..C

【解析】解：非零向量a与b同向，

则a−b可能与a同向，也可能与b同向，故ABD错误，

则a−b必定与a是平行向量，故C正确．

4..A

【解析】解：①若n⊂α，因为m//n，m⊂β，则n//β，

若n⊂β，因为m//n，m⊂α，则n//α，

若n不在α也不在β内，因为m//n，m⊂α，m⊂β，

所以n//α且n//β，故①正确；

②若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，也有可能相交，故②错误；

③过直线n分别作平面，与α，β分别相交于直线a，直线b，

因为n//α，过直线n的平面与平面α相交于直线a，所以n//a，

同理可得n//b，所以a//b，

因为a⊂α，b⊂β，则a//β，因为a⊂α，α∩β=m，则a//m，

又因为n//a，则m//n，故③正确；

④n与α和β所成的角相等，则m和n不一定垂直，故④错误；

综上只有①③正确．

故选：A．

5..B

【解析】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，

事件A与B能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误；

P(A)=P(B)=12，故B正确；

事件A与事件B不是同一个事件，故C错误．

故选：B6..B

【解析】解：设圆台的高为ℎ，则圆台的体积为13πℎ(12+42+1×4)=28π，

解得ℎ=4，所以圆台的母线长为(4−1)7..D

【解析】解：设塔高AB=ℎm，

在Rt△ABC中，由已知可得BC=ℎ m，

在Rt△ABD中，由已知可得BD=3ℎ m，

在△BCD中，由余弦定理可得3ℎ2=ℎ2+5002−2ℎ×500×cos120°，

即ℎ8..B

【解析】解：取BC的中点H，作如图连接，

易证平面AHGD1//平面A1EF，

等腰梯形AHGD1的上下底分别为22，2，

腰长为52，

9..BC

【解析】解：对A，该组数据众数为1，故A错误；

对B，极差为4−1=3，故B正确；

对C，平均数为1+1+2+4+1+4+1+28=2，故C正确；

对D，数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，4，4，因为8×50%=4，所以这组数据的50%分位数为1+22=1.5，故D错误．

10..ACD

【解析】解：对于A，若A>B，则a>b，所以sinA>sinB，所以A正确；

对于B，由A>B且A，B∈(0,π)，

根据函数y=cosx在(0,π)上单调递减，可得cosA<cosB，所以B错误；

对于C，由余弦定理cosC=a2+b2−c22ab<0，可知C为钝角，即△ABC为钝角三角形，所以C正确；

对于D，因为acosA=bcosB，所以sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，

又A，B∈(0,π)，所以2A，2B∈(0,2π)，所以2A=2B或2A+2B=π，

即A=B或A+B=11..ABD

【解析】解：对于A：连接DP，AP，DP∩AP=O，如图所示：

易知四边形ABPD是正方形，所以BD⊥AP，

于是在四面体ABCD中，BD⊥OA，BD⊥OP，

又OA∩OP=O且OA，OP⊂平面OAP，

BD⊥平面OAP，又AP⊂平面OAP，

所以BD⊥AP，故A正确；

对于B：取AP的中点E，连接OE，

因为OA=OP=22，所以OE⊥AP．

当直线AP与平面BCD所成角为π6时，∠APO=π6，

所以AP=2PE=2POcos∠APO=2×32=62，故B正确；

对于C：由题意可知，当OA⊥平面BCD时四面体A−BCD体积的最大值，

于是VA−BCD=13SBCD⋅OA=13×12BC⋅DP⋅22=26，故C错误；

对于D：因为AB⊥AD，所以△ABD外接圆的圆心为O，

又因为BD⊥CD，所以△BDC外接圆的圆心为P．

分别过点O，P作平面ABD12..−4

【解析】解：BD=CD−CB=e1−4e2，∵e1,e2不共线，∴BD≠0，

∵A，B，D三点共线，∴AB与BD共线，

13..3【解析】解：如图，取BD中点O，连接OE，OC，

因为ABCD−A1B1C1D1为正方体，所以CD=CB，ED=EB，

因为O为BD中点，所以OE⊥BD，OC⊥BD，

因为平面BDE∩平面BDC=BD，OE⊂平面BDE，OC⊂平面BDC，

所以∠EOC是二面角E−DB−C的平面角，

又CE=1，OC=2，OE=2+1=3，

14..6【解析】解：由题意，当蛋黄近似的球体与正四面体内切时，蛋黄的体积最大，

如图，设正四面体为A−BCD，H为正三角形BCD的中心，

则AH为三棱锥A−BCD的高，且H在△BCD的CD边的中线BE上，

由重心性质，可知BH=23BE，

设点O为内切球的球心，内切球的半径为r，

则S△BCD=S△ABC=S△ACD=S△ABD=12×6×6×32=93，

BH=15..解：(1)由题意可知：z是虚数，则m2−5m−6≠0，解得：m≠−1且m≠6，

∴实数m的取值范围m≠−1且m≠6；

(2)∵z所对应的点在第四象限，则m2−3m−4>0m2−5m−6<0，解得：4<m<6，

【解析】(1)根据复数类型为虚数得到不等式，从而求解；

(2)根据复数对应的点在第四象限得到不等式组，求出实数m的取值范围．

16..解：(1)根据c2+b2−a2=2bc，可得cosA=b2+c2−a22bc=22，

因为△ABC中，角A∈(0,π)，所以A=π4；

(2)当a=2时，由余弦定理a2=b2【解析】(1)根据已知等式，利用余弦定理算出cosA的值，进而可得角A的大小；

(2)利用余弦定理与基本不等式，推导出bc≤4+22，结合三角形的面积公式求得△ABC17..解：(1)记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，

可得事件A，B为相互独立事件，且P(A)=12，P(B)=23，

两个人都译出密码的概率为P(A∩B)=P(A)×P(B)=12×23=13．【解析】(1)根题意，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；

(2)由题意，甲译出乙未译出或甲未译出乙译出，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．

18..证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，PA⊥α，BC在α内，

所以PA⊥BC

因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，

所以∠BCA=90°，即BC⊥AC

又因为PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC

又因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．

【解析】要证明平面PAC垂直于平面PBC，直线证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可．

19..解：(1)因为每组小矩形的面积之和为1，

所以(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，则a=0.030．

(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，

落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+