2023-2024学年广东省广州市番禺区高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省广州市番禺区高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,−1}，B={1,0,−1}，则集合C={a+b|a∈A,b∈B}中元素的个数为(

)A.2 B.3 C.4 D.52.已知复数z=2−ii，则z的虚部为(

)A.2 B.2i C.−2 D.−2i3.“a=1”是“函数f(x)=2x−a2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的25，则该组数据的第45百分位数是(

)A.4 B.6 C.8 D.125.过坐标原点O向圆C：x2+y2−4x−2y+4=0作两条切线，切点分别为M，NA.34 B.43 C.36.菱形ABCD中，AC=2，BD=4，点E在线段CD上，则AB⋅AE的取值范围是(

)A.[2,3] B.[0,1] C.[0,2] D.[−3,2]7.为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP的数据y(单位：百亿元)建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为y=0.4x+a，其中自变量x指的是时间1月2月3月4月5月6月编号x123456y百亿元yyy11.1yy参考数据：i=16yiA.经验回归直线经过点(3.5,11)

B.a=9.6

C.根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元

D.相应于点(8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时，北京的阳光与地面夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为(

)A.2−3 B.2−1 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sinx⋅|cosx|，则(

)A.f(x)是奇函数 B.f(x)的最小正周期为π

C.f(x)的最小值为−12 D.f(x)在10.设函数f(x)=2x3−3axA.当a>1时，f(x)有三个零点

B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点

C.存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴

D.存在a，使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心11.半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于1970年的世界杯比赛．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是(

)A.MQ⊥平面AEMH B.异面直线BC和EA所成角为60°

C.该二十四等边体的体积为4023 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.二项式(2x+1x313.某中学1600名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布N(150,σ2)，已知成绩小于130的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在150∼17014.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC═ccosB，则1tanA+1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinC+3cosC=3ab．

(1)求角B；

(2)若a+c=2，b=3，∠ABC16.(本小题15分)

人工智能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.在测试聊天机器人模型时，如果输入的问题没有语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为85%；如果输入的问题出现语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为50%．

(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个.以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望；

(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为10%．

(i)求聊天机器人模型的回答被采纳的概率；

(ii)若已知聊天机器人模型的回答被采纳，求该输入的问题没有语法错误的概率．17.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E，F，G分别是棱AB，B1C1，C1D1的中点．

(1)求直线B1D与平面EFG所成角的正弦值；

(2)求平面18.(本小题17分)

已知数列{an}为等差数列，a1=1,a3=43+1，其前n项和为Sn，数列{bn19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−1x．

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)讨论函数在其定义域上的单调性；

(3)若f(x)>ax，其中a>0，且答案解析1.D

【解析】解：当a=1时，b=1、0、−1，则a+b=2、1、0；

当a=−1时，b=1、0、−1，则a+b=0、−1、−2；

集合C={a+b|a∈A,b∈B}={−2,−1,0,1,2}．

故选D．2.C

【解析】解：z=2−ii=(2−i)ii2=−1−2i，

则z的虚部为3.A

【解析】解：根据题意，若a=1，则f(x)=2x−12x+1，

则f(−x)=12x−112x+1=1−2x1+2x=−2x−12x4.A

【解析】解：根据中位数的定义，该组数据的中位数是m+122，

根据极差的定义，该组数据的极差是21−1=20，

依题意得，m+122=20×25，解得m=4，

因为6×0.45=2.7∉Ζ，

根据百分位数的定义，

该组数据的第45百分位数是从小到大排列的第3个数，即为4．5.B

【解析】解：解法一：由x2+y2−4x−2y+4=0，得(x−2)2+(y−1)2=1，

该圆的圆心为C(2,1)，半径为1，如图所示，连接OC，CN，

易知tan∠MOC=tan∠CON=|CN||ON|=12，

所以tan∠MON=tan(∠MOC+∠CON)=12+121−12×12=6.D

【解析】解：因为菱形ABCD中，AC=2，BD=4，

设对角线AC与BD相交于点O，则AC⊥BD，

以O为坐标原点，OB，OC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，

则A(0,−1)，C(0,1)，B(2,0)，D(−2,0)，

因为点E在线段CD上，

所以设DE=λDC(0≤λ≤1)，即DE=λ(2,1)=(2λ,λ)，

所以AB=(2,1)，AE=AD+DE=(−2,1)+(2λ,λ)=(2λ−2,λ+1)，

所以AB⋅AE=2(2λ−2)+λ+1=5λ−37.D

【解析】解：由表中数据可知，x−=16×(1+2+3+4+5+6)=3.5，

i=16yi2=796,i=16(yi−y−)2=70，

则i=16(yi−y−)2=i=16yi2−6y−2=70，解得y−=11，

故经验回归直线经过点(3.5,11)，故A正确；8.A

【解析】解：如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，

伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，

对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，

令椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，

由OF⊥BC,|OF|=|OB|=2，得a+c=|BF|=2，∠FBC=45°，|AB|=2a,|BC|=22，

在△ABC中，∠BAC=60°，则∠ACB=75°，

又sin75°=sin(45°+30°)=22×32+22×12=9.AC

【解析】解：f(x)=sinx⋅|cosx|=12sin2x,−π2+2kπ≤x≤π2+2kπ−12sin2x,π2+2kπ<x≤3π2+2kπ，k∈Z，

其大致图象如图所示，

因为f(−x)=sin(−x)|cos(−x)|=−sinx|cosx|=−f(x)，即f(x)为奇函数，A正确；

因为f(x+π)=sin(x+π)|cos(x+π)|=−sinx|cosx|≠f(x)10.AD

【解析】解：由f(x)=2x3−3ax2+1，得f′(x)=6x(x−a)，

对于A，当a>1时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增；

f(x)的极大值f(0)=1>0，f(x)的极小值f(a)=1−a3<0，所以f(x)有三个零点，故A正确；

对于B，当a<0时，f(x)在(a,0)上单调递减，在(−∞,a)和(0,+∞)上单调递增，x=0是极小值点，故B错误；

对于C，任何三次函数不存在对称轴，故C错误；

对于D，当a=2时，f(x)=2x11.BCD

【解析】解：对于A中，若MQ⊥平面AEMH，因为MH⊂平面AEMH，所以MQ⊥MH，

又因为△MQH为等边三角形，所以∠QMH=60°，所以A不正确；

对于B中，因为BC//AD，所以异面直线BC和EA所成角即为直线AD和EA所成角，

设角∠EAD=θ，在正六边形ADGPNE中，可得θ=120°，

所以异面直线BC和EA所成角为60°，所以B正确；

对于C中，补全八个角构成一个棱长为22的一个正方体，

则该正方体的体积为V=(22)3=162，

其中每个小三棱锥的体积为V1=13×12×2×2×2=23，

12.448

【解析】解：根据(2x+1x3)7的展开式的通项Tr+1=C713.500

【解析】解：因为成绩X服从正态分布

N(150,σ2)，即正态曲线关于μ=150对称，

因为成绩小于

130的有

300

人，

所以P(X<130)=P(X>170)=3001600=316，

所以P(150<X<170)=12−316=14.2【解析】解：因为2bcosC=ccosB，

所以2sinBcosC=sinCcosB，

即2tanB=tanC，

又因为A+B+C=π，

所以tanA=tan[π−(B+C)]=−tan(B+C)=−tanB+tanC1−tanBtanC=−3tanB1−2tan2B，

所以1tanA+1tanB+1tanC

=1−2tan2B−3tanB+1tanB15.解：(1)∵sinC+3cosC=3ab=3sinAsinB，∴sinBcinC+3sinBcosC=3sinA=3sin(B+C)，

整理得sinBsinC=3cosBsinC，C∈(0,π)，sinC≠0，

∴sinB=3cosB，即tanB=3，B∈(0,π)，【解析】(1)利用三角变换即可求解；

(2)先利用余弦定理求ac，再结合三角形面积公式求BD即可．

16.解：(1)易知的所有可能取值为0，1，2，3，

P(ξ=0)=C50C33C83=156，

ξ0123P115155E(ξ)=0×156+1×1556+2×1528+3×528=158．

(2)(i)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，

记“输入的问题有语法错误”为事件B，

记“CℎatGP7的回答被采纳”为事件C，

则P(A)=0.9，P(B)=0.1，P(C|B)=0.5【解析】(1)ξ服从超几何分布，直接用公式求解；

(2)(i)利用全概率公式求解CℎatGPT的回答被采纳的概率；

(ii)利用条件概率公式求解该问题的输入没有语法错误的概率即可．

17.解：如图建系，

因为正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E，F，G分别是棱AB，B1C1，C1D1的中点，

所以D(0,0,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，

E(2,1,0)，F(1,2,2)，G(0,1,2)，

则DB1=(2,2,2)，EF=(−1,1,2)，EG=(−2,0,2)，

(1)设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅EF=−x+y+2z=0n⋅EG=−2x+2z=0，

令z=1，则x=1，y=−1，

所以n=(1,−1,1)，

设直线B1D与平面EFG所成角的正弦值为θ，

则sinθ=|cos<n,DB1>|=|n⋅DB1||n|⋅|DB1|=|2−2+2|22+22【解析】(1)建立空间直角坐标系，分别求出直线B1D的方向向量与平面EFG的法向量，利用向量夹角公式即可；

(2)分别求出平面C1GF与平面EGF的法向量，利用向量夹角公式即可；

(3)令点H到平面EFG的距离为d18.解：(1)证明：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，

若a1=1,a3=43+1，则d=a3−a12=23，

则Sn=na1+n(n−1)d2=n+3n(n−1)=3n2−(3−1)n，

故bn=Snn=3n−(3−1)，

故当n≥2时，则有bn−bn−1=3；

(2)根据题意，假设数列{an}中存在三项am、ak、an构成等比数列(m∈N【解析】(1)根据题意，求出数列{an}的前n项和，进而可得数列{bn}的表达式，分析可得答案；

(2)假设数列{an}中存在三项am19.解：(1)由题意f(1)=e−1，即切点为(1,e−1),f′(x)=xex−ex+1x2,k=f′(1)=1，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x−1+e−1，即y=x+e−2；

(2)由f′(x)=(x−1)ex+1x2，设g(x)=(x−1)ex+1，则g′(x