人教A版高中数学必修第二册数系的扩充和复数的概念 导学案一

数系的扩充和复数的概念

学习目标

1.了解数系的扩展过程以及i的引入；

2、理解复数的概念、表示法及相关概念;

3、掌握复数的分类及复数相等的条件。

重点难点

1.教学重点：对，的规定以及复数的有关概念。

2.教学难点：复数概念的理解。

知识梳理

1.复数的概念：z=〃+历(〃，b£R)

全体复数所构成的集合C=，叫做复数集.

2.复数相等的充要条件

设〃，b,c,d都是实数，那么〃+Z?i=c+di今.

3.复数的分类z=a+历(〃，bRR),

当_____________________时，复数z=a+bi(a,Z?ER)为虚数；

当_____________________时，复数z=a+bi(a,Z?eR)为纯虚数；

【分析】引入新数»,并规定:

(“2=一1；

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立.

i叫做虚数单位。

(-)复数的概念

形如a+砥纵beR)的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示。

(-)复数的代数形式

复数通常用字母z表示，即z=a+bi(tz>bGR)

其中a叫复数z的,b叫复数z的o

练一练：

把下列式子化为a+bi(a>beR)的形式，并分别指出它们的实部和虚部

(1)2-z=；(2)-2i=；

(3)5=；(4)0==

思考：根据上述几个例子，复数z=a+从可以是实数吗？满足什么条件？

(三)、复数的分类

复数

’1纯虚数()

Z=a^bi

广

、非纯虚数()

试一试：

1、下列数中，2+J70.61-i0I2中-6)3-9&52+8

7

实数有___________________________________

虚数有；

其中纯虚数是_________________________________

2、判断下列命题是否正确：

（1）若。、b为实数，贝IZ=a+6i为虚数。

（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数。

（3）若。为实数，则Z=a一定不是虚数。

例1、实数相分别取什么值时，复数z=m+l+（m-l）i是⑴实数;（2）虚数；（3）纯虚数。

练习：当m为何实数时，复数z=w2+m-2+（m2-l）i且活6对

是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零。

（四）、复数相等

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.

若q、b、c、dER,a+bi=c+di<z^>o

注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。但两个实数可以比较大小。

例2已知（23-1）+i=1y-,其中x、yCR,求x与y的值。

达标检删

1.判断正误

(1)若a,b为实数，则z=a+bi为虚数.()

(2)复数i的实部不存在，虚部为0.()

(3)历是纯虚数.()

(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.()

2.已知复数z=d—Q—6)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,6的值分别是()

A.,1B.,5

C.土，5D.±,1

3.已知¥一9+2盯i=2i,则实数x,y的值分别为.

4.实数机分别取什么数值时，复数z=(«?+5Mj+6)+(M?—2»j—15)i

⑴实数；⑵虚数；⑶纯虚数；(4)是0?

课堂小结

这节课你的收获是什么？

参考答案：

(二)实部虚部

练一练(1)2-z=2+(-i>实部2,虚部-1；

(2)-2z=0+(-2)z,实部0,虚部-2；

(3)5=5+0,，实部5,虚部0；

(4)0=0+0/,实部0,虚部0„

思考：b=0时，复数为实数。

试一试：1.实数：2+J7,0.618,0,Z2；虚数:|Z,3-972Z,Z(1-V3),5Z+8；纯虚数：|z,z(l-V3)

2.(1)错(2)错(3)对

例1.【解析】

解：(D当加_1=0.即m=l时，发数z是实数.

(2)当即mWl时，复数工是虚数•(3)3m+l=o,[1，”一]*0.即,”一一1时，发数z是纯成数.

练习：(1)当加2—1=0即加=±1时，复数Z为实数；

(2)当加2—1力0即加力士1时，复数z为虚数；

m+m-2=Q

(3)当<9即m=-1时，复数Z为纯虚数；

"一1/0

m+m-2=Q-

(4)当彳?即m=1时，复数Z为零。

/n2-l=0

2x-l=y5

例2.由已知得八「解得x=1,y=4。

[-(3-y)=l2

达标检测

1.【答案】(l)x(2)义(36(4)4

2.【答案】C

【解析】令-2+b=3,得〃=±,b=5.

X=1(x=—l

3.【答案】J或[尸一1

【解析】Vx2—/+2xyi=2i,

x2—y2=0,[x=l,fx=—1,

,•2xy=2,解得■)=],或)=—i.

4.【解析】由〃/+5〃z+6=0得，"z=—2或%=—3,由2:〃-15=0得〃z=5或〃z=-3.

⑴当m-2m-15=0时，

复数z为实数，

.".m=5或一3.

(2)当m2-2/n-15#0时，

复数z为虚数，