2025年高考数学一轮复习-9.4-事件的相互独立性、条件概率与全概率公式【课件】

第四节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式目录CONTENTS123知识体系构建课时跟踪检测考点分类突破PART1知识体系构建课前自修

1.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中

靶概率为0.9，则两人都中靶的概率为（

）A.0.26B.0.98C.0.72D.0.9解析：

甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，显然甲中靶的

事件与乙中靶的事件相互独立，所以甲、乙两人都中靶的概率为

0.8×0.9＝0.72，故选C.

4.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品

率为0.07，加工出来的零件混放，且第一台加工的零件是第二台加

工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为

⁠.

0.95

1.事件

A

与事件

B

是互斥事件，则

A

与

B

不相互独立.2.已知

P

（

A

）＞0，

P

（

B

）＞0，

P

（

B

｜

A

）＝

P

（

B

），则

P

（

A

｜

B

）＝

P

（

A

）.A

1.一个质地均匀的正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，

拋掷这个正方体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空

间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，设事件

E

＝{1，2}，事件

F

＝{1，

3}，事件

G

＝{2，4}，则（

）A.

E

与

F

不是互斥事件B.

F

与

G

是对立事件C.

E

与

F

是独立事件D.

F

与

G

是独立事件

PART2考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练相互独事件的概率【例1】

（1）设

M

，

N

为两个随机事件，则以下命题是真命题的为

（

）

（2）（2024·全国乙卷10题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一

盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜

的概率分别为

p

1，

p

2，

p

3，且

p

3＞

p

2＞

p

1＞0.记该棋手连胜两

盘的概率为

p

，则（

）A.

p

与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，

p

最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，

p

最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，

p

最大解析：法一设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为

P

甲，在第二

盘与乙比赛连胜两盘的概率为

P

乙，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为

P

丙，由题意可知，

P

甲＝2

p

1[

p

2（1－

p

3）＋

p

3（1－

p

2）]＝2

p

1

p

2＋2

p

1

p

3－4

p

1

p

2

p

3，

P

乙＝2

p

2[

p

1（1－

p

3）＋

p

3（1－

p

1）]＝2

p

1

p

2＋2

p

2

p

3－4

p

1

p

2

p

3，

P

丙＝2

p

3[

p

1（1－

p

2）＋

p

2（1－

p

1）]＝2

p

1

p

3＋2

p

2

p

3－4

p

1

p

2

p

3.所以

P

丙－

P

甲＝2

p

2（

p

3－

p

1）＞0，

P

丙－

P

乙＝2

p

1（

p

3－

p

2）＞0，所以

P

丙最大，故选D.法二（特殊值法）

不妨设

p

1＝0.4，

p

2＝0.5，

p

3＝0.6，则该棋手在

第二盘与甲比赛连胜两盘的概率

P

甲＝2

p

1[

p

2（1－

p

3）＋

p

3（1－

p

2）]＝0.4；在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率

P

乙＝2

p

2[

p

1（1－

p

3）

＋

p

3（1－

p

1）]＝0.52；在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率

P

丙＝2

p

3[

p

1（1－

p

2）＋

p

2（1－

p

1）]＝0.6.所以

P

丙最大，故选D.解题技法

求相互独立事件同时发生的概率的步骤（1）确定各事件是相互独立的；（2）确定各事件会同时发生；（3）求每个事件发生的概率，再用公式求解.

1.（2024·新高考Ⅰ卷8题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，

4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第

一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字

是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件

“两次取出的球的数字之和是7”，则（

）A.甲与丙相互独立B.

甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.

丙与丁相互独立

​

条件概率【例2】

（1）（2024·全国甲卷6题）某地的中学生中有60％的同学

爱好滑冰，50％的同学爱好滑雪，70％的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在

该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也

爱好滑冰的概率为（

）A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

（2）在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地

取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次

取到不合格品的概率为

⁠.

2.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种

子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为

⁠.解析：设种子发芽为事件

A

，种子成长为幼苗为事件

B

（发芽又成

长为幼苗）.依题意

P

（

B

｜

A

）＝0.8，

P

（

A

）＝0.9.根据条件概

率公式

P

（

AB

）＝

P

（

B

｜

A

）·

P

（

A

）＝0.8×0.9＝0.72，即这粒

种子能成长为幼苗的概率为0.72.0.72全概率公式【例3】

（1）（2024·威海质检）某考生回答一道四选一的考题，

假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为

100％，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概

率为（

）A.0.625B.0.75C.0.5D.0

（2）（教材题改编）某学校有

A

，

B

两家餐厅，甲同学第一天午餐时

随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去

A

餐厅，那么第二天去

A

餐厅的概率为0.6；如果第一天去

B

餐厅，那么第二天去

A

餐厅

的概率为0.8.则甲同学第二天去

A

餐厅用餐的概率为

⁠.0.7解析：设

A

1＝“第1天去

A

餐厅用餐”，

B

1＝“第1天去

B

餐厅

用餐”，

A

2＝“第2天去

A

餐厅用餐”，则Ω＝

A

1∪

B

1，且

A

1

与

B

1互斥，根据题意得，

P

（

A

1）＝

P

（

B

1）＝0.5，

P

（

A

2｜

A

1）＝0.6，

P

（

A

2｜

B

1）＝0.8，由全概率公式，得

P

（

A

2）

＝

P

（

A

1）

P

（

A

2｜

A

1）＋

P

（

B

1）

P

（

A

2｜

B

1）＝0.5×0.6

＋0.5×0.8＝0.7.解题技法应用全概率公式求概率的思路（1）按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件

Ai

（

i

＝1，2，…，

n

）；（2）求

P

（

Ai

）和所求事件

B

在各个互斥事件

Ai

发生条件下的概率

P

（

Ai

）

P

（

B

｜

Ai

）；（3）代入全概率公式计算.

2.（2024·六盘水第一次模考）播种用的一批一等葫芦种子中混有2％

的二等种子，1.5％的三等种子，1％的四等种子，一、二、三、四

等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，

0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率

为（

）A.0.3815B.0.4815C.0.3825D.0.4825解析：

设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事

件分别是

A

1，

A

2，

A

3，

A

4，则Ω＝

A

1∪

A

2∪

A

3∪

A

4，且

A

1，

A

2，

A

3，

A

4两两互斥，设

B

表示“从这批种子中任选一颗，所生长

出的葫芦秧结出50颗以上果实”，则

P

（

B

）＝

P

（

A

1）

P

（

B

｜

A

1）＋

P

（

A

2）·

P

（

B

｜

A

2）＋

P

（

A

3）

P

（

B

｜

A

3）＋

P

（

A

4）

P

（

B

｜

A

4）＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05＝

0.4825.PART3课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习

123456789101112131415161718192021222324252627282.（2024·酒泉模拟）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，记两枚骰子正

面向上的点数分别为

x

，

y

，则在2

x

＋

y

＝12的条件下，

x

与

y

不相

等的概率是（

）

A.0.21B.0.4C.0.42D.0.58

B

A

6.（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红

球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用

A

1，

A

2和

A

3表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐

中随机取出一球，用

B

表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中

正确的是（

）

7.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影

响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利

率下调的概率为60％，利率不变的概率为40％.根据经验，人们估

计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80％，而在

利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40％，则该支股票价格上

涨的概率为

⁠.64％

A

9.（多选）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗

历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展

党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题

中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作

答，设事件

A

为“第1次抽到选择题”，事件

B

为“第2次抽到选择

题”，则下列结论中正确的是（

）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.若将整个样本空间看成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样

本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所

示的阴影部分的面积表示（

）A.事件

A

发生的概率B.事件

B

发生的概率C.在事件

B

不发生的条件下事件

A

发生的概率D.事件

A

，

B

同时发生的概率

12.（多选）（2024·新高考Ⅱ卷12题）在信道内传输0，1信号，信号

的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的

概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概

率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指

每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的

信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译

码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，

若依