高中数学：23个求极值和值域的经典例题

高中数学：23个求极值

和值域的经典例题

高中数学：23个求极值和值域的经典例题

23个求极值和值域专题

1、求函数/(x)=x+"-3x+2的值域.

2、求函数，(x)=Jx+27+J73-X+Jx的值域.

3、求函数/(x)=Vx-5+<24-3x的值域.

4X2+1

4、求函数/(")=--------的值域.

x—1

2Y*+bx+c

5、已知函数/(x)=-------------------(其中bv")的值域是[人3],求实数6,c.

x2+l

6、已知：x,为正实数，月+求函数/(*,>、2)="+_+"的最小值.

xyz

7、已知：2x2+3xy+2y2=1,求：x+j，+AJ的最:小值.

8、设函数/(x)=-gx2+—在区间M向的最小值为2",最大值为26.求区间

9、已知：x2+j2=25.求函数f(x,y)=N8y-6:x+50+<8y+6x+50的最大值.

10、求函数：/(")=+2x++Vx:+16x+68的最小值.

11.求函数：/(x)=―—J的值域.

x2—4K+4

22

12、已知实数X2^X3满足Xj+--=1和X；+H—六=3,求Xj的最小值.

13、求函数：/(“,j，)=(Z—-3)2+(2x+p—匕)？的最小值.

14、已知：\/x4-7+yfy~-2=5.求函数：/(<…)=x+’的最小值.

//

15、巳知点P(x,*)在椭圜----F--=/上.求/(x,y)=2x—>，的最大值.

49

16、求函数：f(x)=<2+x+—3”的值域.

17、求函数；/(x)=7+/+、'*2+2x+2的值域.

18求函数

/(“)=>//+sinx+\!1-sinx+—2+§inx+:2-sinAT+J3+sinx+-sinx

的最大值.

19、设：Xj(7=1,2,3,…,2。。3)为正实数，且满足、G7+J石十…十J"2003=2003.

++xxxx

试求：y=yjx,4-x2++X3•••yj2002~^2003+\]2003^J的最小值-

20、已知x,)，,z为正实数.H满足一^方+上=+―J=2,

Z+x2/+j，7+N

求：—丁+一^+―的最大值.

/+"2z+j.2z+J

21、设a为锐角.求：/(ar)=(74----)(7+—--)的最小值.

sinacosa

22、设a为锐角.求证：2avsina+tuna.

23、已知x,.y,z为正实数，求证：xy+2yz<

x+y+z2

1

高中数学：23个求极值和值域的经典例题

23个求极值和值域专题解析

1、求函数/(x)=x+Vx?-3x+2的值域.

解析：函数/(x)=x+/x2—3x+2=x+J(x-7Xx—2)的定义域为:(—QO,/J|J(2,-H3O).

3

x----

函数的导函数为：/g=1+/2

3

彳X一不

(D当xe(-<»,功时.x一则1-------------2---------<-/

2，告一夕

即：函数/(X)在xe(y),〃区间为能调递减函数，故：/(x)>/(/)=/；

f(x)<lim/(x)=lim/(一*)

.VT-QOX—>-HJO

故：函数在该区间的值域是[7,g).

3

3*---------------------------------------

⑵当*e[2,+«o)时，x-->0,则/'(x)=7+j2>。

22二一

即：函数/(X)在“£[2,+8)区间为单调递增函数，故：/(x)>/(2)=2；

f'(x)<lim/(x)=lim(\AT：+3x+2+x)=•+«)

X—>-HX>X->-HX>

故；函数在该区间的值域是[2,+8).

2

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球上.函数的值域是口与U[2,+>).

本题采用导数的正负未碉定函数的增减.此法称为“华调性法”一

2、求函数/'(—)=7x+27+Jl3—JV+JX的值域.

解析：函数/(内)的定义城是：ATe|^,J3J.待定系数法用于柯西不筹在来解本题.

设：A,R、C>O,则柯西不等式为：

[('C?\fx~-i-~27厂+(Y13——+H-7+—+—]2

ARC

即：f2(xy<[CA-B+C)X-¥(27A++—+—]

/"c

令；A-R+C=0.即："=4+C①

由枸西不等式的等号成立条件.即函数取极值时条件得：

Ajx+27=Cx/jr②B^/13—x=C^x③

27d4274”

将①®代入③得：(/+C)2(/3—一7.)=C'2-,

C2—A2C2-A2?

即：(A+Cy2(13C2-13A2-27A2)=27A2C2

即：(A+Cy2(13C2-4OA2y=27A2C2,即：(N+。/(与一名)=27⑤

A2C2

试解⑤,由于27=3x3x3,则⑤式刚好也是3项相乘，不妨试解采用各项都是3.

则：A+C=3,且与一名=3.贝h.4=1.C=2.B=3

A2C2

代入④得：.二，71_=9即“=g时函数取得极大值.

C2-A222-1

函数极大值为/(x=9)=<9+27+,13-9+亚=6+2+3=11

⑴当xe［0,9］时，函数/(*)在本区间为单调递增函数.故：

/(x)Nf(fi)=427+V7J+Q=3+J77

即：函数/(<)在xw［0,9］区间的值域是［3JJ+

⑵当xe［9.73］时.函数/(内)在本区间为单调递减函数.故：

/(x)>413)=y/is-t-27+^J13-134-V77=440+J13=2410+、/77

即：函数/(x)在xe［9./3］区间的值域是［21而+J万，〃］

3

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综上.函数/(幻的值域是[3，J+

本题采用“待定系数法”、“相西不等式”和“单调性法”.

3,求函数/(x)=Jx-5+J24-3X的值域.

解析：函数/(x)的定义域是：.V€[5,«J.待定系数法用于柯西不等式来第本题.

设：A,B>0.则柯西不等式为：

[(、5Jx-59+(、如J24-3x)2]也+2.Jnf2J)

AB

即：/2(x)<1(.4-3S)x+(-5T4+24B)\\—+—]

AB

令：A-3B=0,即：A=3B①

由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：A、&-5=BC24-3x

②

，2,__»、x—53B~x—5+8—x3B*+A*

即：4/(x-5)=B”(24-3x),1即1n：-------=―-.即：------------------=-------；——

8-xA28-xA2

2222

mi33B+AmD3Amo3A

即：--------=-------；——.即：8-x=―；---------,即：x=8------------------

S-xA23B2+A23B~+1

将①式代入③式得：x=8------：----------=8――—=8=—

3B?+9JJZ1244

当*=，时.函数f(x)达到极大值.极大值为：

八争=4+、曰=生产产--

'巨+、匹旦=正+且=2石

、47422

2.0aHs/，/、13xj24-3x—3yJx—5

函n钮数的导函数为：f'(x)=—.------/=——,/

2yJx-52124-3x-5、/24-3x

⑴当xe[5,d]区同时.f\x)<0,函数/(x)单调递增.故：

4

f(x)Nf(5)=0+d24-35=3

4

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即：函数/(x)在本区间的值域是［3,2J7］.

⑵当xc［子，8］区间时，f\x)>0.函数/(x)单调递减.故：

/(x)Nf(8)=<8-5+。="

即：函数/(x)在本区间的值域是

壕上，函数/(X)的值域是［0,2工?］.

木遇采用“待定系数法二“枸西不等式”和“学调性法”.

4.求函数/(K)-心士的值域.

X—1

解析：函数/(X)的定义域是：xW(-8,7)U(7,+°°).则函数/U)为：

/(x)=-7=±.12=±jg(x)(当XVI时取负号.当时取正号)

x-i\(x-/r

于是函数的极值在：g\x)=o

2(x—+1)—2x{^x—7)，2.j

即：g'(*)=----------------------------=---------7［("2+7w)—x(x-1)1=0

即：(X*/+/)—x(x—1)=〃.即：X=—/

&-1)2+IVJ

⑴在xe(-8,-Z)区间，函数/(X)的极值为:-7)----------------

在区间的边界有：

Hm/(")=lim(-J+2)=Hm(-

r-»-cox—>coV(x-1)*f-8,

+Z、

lim/(JV)=lim(—.-------7)=—℃

Kf/(x-Z)2

故：函数/(x)在该区间的值域是(y>,

⑵在xe(/,T8)区间.函数/•(*)=/上土0=7+—卫工为单调递减函数.

Y(X-/)27(AT-/)2

2

IX+J

故有:f(x)<lim/*(x)=lim(/-------------)=-4-oo；

-v->zx->iy(jr-7r

2x

/(x)Nlim/(x)=lim(j丫)=lim(1T----)=J

X—>-H»X—>-H»\(x_1)X—^-haoy(x_7)

5

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故：函数/(X)在该区间的值域是([,+«)).

缥上，函数/(X)的值域是(70,—¥]11(7,+6).本题方法属“单调性法”

2v*+bx+c

5、已知函数/(x)=十以十口(其中〃<0)的值域是[八3],求实数6,c.

x2

解析：函数的定义域为xeK.

将函数变形为：y(x2+1)=2x2+bx+c•即：(2—F).V'+bx+(c—j)=6/

其判别式不等式为：A=b2-4(2-yXc-j)=(A2-8c)+4(2+c)y-4y2>0

即：[(1)2-2c\+[2+c)y-y2^0①

而函数/(x)的值域是U，3J,即：(j，一/X3-$)N0,即：_3+4y_/2②

对比①@两式得：c=2.(g)2—2c=-3,即(g)2=I,因6<〃，故：b=-2

故：实数b=-2.c=2.此法称为“判别式法”.

/+J+z?

6、巳知：x,y,g为正实数，且x+y+zNxyz.求函数/(x,P,Z)=-------:------的最小值.

xyz

解析：首先设x=y=z=“，代入x+F+1七得：3a=a3,即："=J7.则：

⑴当书乞=3仃时,由均值不等式2”24.即：x2+J；+[2[/+;+;：)得:

/+/+八

则：=针=半=0

x1,z3xyz3

⑵当；9工<3仃时，由均值不等式/4“2G",即：*+S+Z之旅巧)2得:

x2+y2+z2>3,3，Z)2

、X+F+：、3也xyw)23

则：/(x,…)=------------------>=-----------=-T7—>

xyzxyz中(xyG

(3)当中，？>3小时,由均值不等式。“24”.即：/+/+八(=+广)

6

高中数学：23个求极值和值域的经典例题

代入已知条件x+y+zZR，；：.得：*2+12+z2A(*+£+切-N(寸:广

+V**4-一./—

故：由(1)、⑵、⑶得./(X,F,Z)=-—————的量小值是

xyz

本题先确定可旧=均值.然后在AJN>均值和甲zV均值下求极值.此法称为“分别讨论

法”.

7、已知：2”？+3g，+2j，=Z,求：/(x,.p)=x+p+f的最小值.

解析：由已知条件2“2+3个，+2j~=7得：xv=2(x+y)2—J

代入/(x,j)=x+j，+AJ得：/(X,y)=Z=x+j・+号=x+j，+2(x+y)2-1

即：2(x+.*):+("+『)一(1+2)=0

令：f=x+y9则方程变为：2一+，一(Z+N)="

采用判别式法得；I2+4-2{l+z}^0.即；(7+GN-，.即；ZN-2

S8

9

故：/3,"="十P十号的最小值是一'.此题采用的是“判别式法”

S

8、设函数/(x)=—gx2+g在区间［“，句的最小值为2。.最大值为26,求区间［“,6〉

解析：旨先./(x)是一个偶函数.在(一,0)区间单调递增，在(0,+8)区间单调递减.

(1)当时，/(x)为单调递减函数，即：/(a)>/(A).

故：/(“)是最大值为26./(b)是最小值为2”.即：

/(")=02~~=2h2八-

J''22a4b—13=0

//即：1(*)

“与二一夕?+*=2a{b2+4a-13=0

(*)两式相减得：{u2—b2)—4(a—b)=0.即：a+b=4①

则：(a+b)2=16,即：(。2+。2)=/6—2。6②

(*)两式相加得：("2+〃2)+4(。+6)=26

将①@式代入后化简得：ah=3③

由①@得：a=l.b=3.则区间［外㈤为［7,3］.

7

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(2)当“＜，、时./Xx)的最大值是=即：*=-y.

i.若同则/(x)的最小值为：/"(«)———a2+-2a,

即：a2+4a-13=0,解之及可得：«=-2-x77,

故此时区间句为［一2一、万,生］.

4

ii.老同v|6|则y(x)的最小值为：f⑻=一孑+g=2a.

则：a＞0.不符合题设.即此时无解.

(3)当。＜力＜。时，由/(x)是一个偶函数可得：/(«)＜/(*),故二

/(“)是最小侑为2o./(6)是最大值为2人.即：

a2+4a-13=0

b2+4h-lS=0

则：明〃为一元二次方程X2+4X-73=0的两个根，

由韦达定理得：」"+'=T,则由加,=一/3得：

ah=-13

a,b异号.不符合题设.即此时无解.

综上，区间可为”,3]或I-2-J/7,—].本题采用“分别讨论法”和“极值法”.

4

9、已知：x2+j2=25.求函数f(x,j)={8j，-6x+50+《8y+6x+50的最大值.

解析：由—+/=25可知，函数的定义域是：XG1-5,5].je[-5,5J

有均值不等式4〃，即：

个8v—6x+50+,8y+6x+50/(——。x+5〃)*+(、，8y4-6x+5。)'

2"Li~~：

m,“!(Jgy-6x+50)2+(J8r+6x+50)2,r-———

即：/(x,j)<----------------2-------------=2^8y+50

8

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即：/(x,y)<2<8x5+5。=6y!7o

当j，=5时.x=0,/(<?,5)=6x/7o.即可以取到不等式的等号.

故：函数/■(“，¥)的最大值是6J7万.本题采用4,40,.称为“均值不等式”.

10、求函数：/(x)=Jx?+2x+/"+7x2+/6x+68的最小值.

解析：函数f(x)=《x2+2x+10+卜2+16x+68=yj(,x+1/+33+&x+8『+2?

其定义域为：xeR

令：nt=(—(X+7),3),布=(JV+8,2)

WJ：师|=J(x+7)2+32.同=q(x+8)2+2?.而+)=(7,5)

于是：/(x)=|»»|+同N\m+司=^73+52=<49+25=5

当"，//，i时.丑%+Q=』.即：3(x+g)+2(x+/)=。，

x+82

即：5x+26=0,则：x=—彳

/(-y-)=/1一半『+32+J(8—汐+2?

=上+5?=449+25=474

所以.、历7是可以取到的.故/(*)的最小值是

正是由于而//厉时.函数/(*)=\'(工+/)2+32±4(工+8)2+22取到极值.所以有

人总结出此类题的解法用而//力来斜，即设所=4万，代入而=(-(*+7),3),

万=(x+8,±2)后得:

th=(―(x+7),3)=/i(x+8,±2)=(/lx+8丸,不22)

{—x—1—A,x4-8A,A=±­

[3=±2A2

(N+7)x=—8A,—1

即：x=_J?Ai/=_±72±7=_±2£±2t即：x

3

2+7±+/E+2

这两个结果分别对应ff(*)=dx2+2X+1Q+\X2+I6x+68的极小值

9

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和f(x)=yx~+2x+10-yx2+16x+68的极大值.

本题采用的是“向量法”.

11、求函数：/(*)=：.一_的值域.

x2—4x+4

解析：先求函数的定义域.定义域为：x*2

本题采用判别式法解题.

x2_

由j，=-------------------等价变形为：yx2—4yx+4y=x2—x

x2—4x+4

即：([—J，)*。+(4.y—Z)x—4p=0

式上面方程有解得判别式是：A=(4y-I)2+44y(l-y)0

即：A=16y2-8y+i+J6y-i6y2=8y+J>0.即：y>--

8

故：函数/(x)=J-"的值域为[一,，2).此法称为“判别式法”

x2—4x^48

本题亦可以采用换元法和配方法未做.

令：，=x—2,贝x=，+2

当，=一』时，即：当x=a时，/(X)达到极小值一’.此注就是“换元配方法”

338

12、巳知实数X/,X2，X3满足》/+”+等=/和X：+苧+学=3.求X3的最小值.

解析：由巳知得：Xj+=1-―^-①xj-i——=3----②

2523

2

则由柯西不等式得：(x/+^-)(7+1)>(Xj+^)③

将①、②代入③得：1(3-^-)>(7-^-)2

2

即：9(9-xj)>2(3-x5),即：81-9xj>2xj-12x3+18

10

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即：Ilxj-12x3-63<o④

其判别式为：/1=(-72)2-4-11-^-63)=4-62+11-7-62=92-62

'3

,,一~一口一3=_1«772±6•96±27

故二方程等号下的两根为：x3=---------------=------------=21

根据柯西不等式等号成立的条件得：x,=x2

代人①式得：督=/一（*/+.）=7-^^.即：x3=30-⑤

J-222

代入②式得：q=3一（工；+*）=3（7——1-）,即：xi=9（1--）d

3222

由⑤©两式得：9（7-夸^）2=%？一言）.即：（7—苫与2=（，一沫）

2

即：C2-3XJ）=（4-2.vf）.即：4-12xt+9x]=4-2xj

0

即：llxj-12xj=0,即：(llx1-12)x1=0.即：XL12

JI

则：(Ox/—x2—09此时：“3=3：此为最大值.

(2)x,=x,=—»此时：x,=3(1-------)=3(1-------—)=3(1------)=------

7211322111111

所以，9的最小值为一带.此题斛法为“柯西不等式”.

13、求函数：/(x,.y)=(7—『)2+(x+.y—3)2+(2_r+的最小值.

解析：待定系数法用于柯西不等式来解本题.

设：A,B,C^R,则枸西不等式为：

[(/-J)2+(X+J-3)2+(2X+J-6)2][/12+»2+C2]

之[/(/-J，)+3(X+『-3)+C(2K+J，-6)|2=^(X,J,Z)

即：/(X,J\Z)M2+«2+C2]>^(X,J,Z)①

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则：g(x,J、：)=\(A—3B—6C)+iB+2C)x+{—A+B+C)jl2

令：B+2C=0,(-A+B+C}=0,则：If=-2C,A=B+C=-2C+C=-C

故：设C=7,则；A=-l.B=-2.A2+ft--t-C2=1+4+1=6②

则：g(.x,y\z)=CA-3B-6C)2=(-/+6-6)2=1③

(X，，Z)

将②、③代入①得：f(x,y,z)>f^=-®

A2+B2+C276

.4cj7—Fx+_y-32x-\-y-6

柯西不等式①中.等»成立的条件是：-----=-=------:-------=-----------------

ABC

即：产一7二—9(AT+户-3)=2x+>一6=4.则：y=k1

则：一+y—3)=2x+.y—6,即：3—x-y=4x-k-2y—12

即：5x——3y+75=—3(4+7)+75=—3k+72.即:x=7.

将j，=4+7和x=—‘2代入2x+j，-6=k得：+k+l—6=k

即：YA+24=25,即：k=一一

6

射2

iM-3k122255/,5

于是：当x=-------------=----------=----=—•V-----------F7=一时L.柯西不等式④中.

55102’66

等号成立.

即：/("•J・)=(l—J，)？+(x+产—3了+(2K+."一6』的最小值是

6

本题系“待定系数法”用于“枸西不等式”.

14、已知：yjx-¥1+yjy—2=5,求函数：="+.卜的最小值.

解析：函数/(AT,J，)的定义域为：xe|—7,-H»).ye|2,-H»)

由均值不等式•

当、/x+Z=Jj—2='时,即：X=—.j，=曳时，/(",3)=工.

2442

12

高中数学：23个求极值和值域的经典例题

故：函数/(",了)的最小值是此法果用“均值不等式法”.

15、已知点尸(:T,.F)在椭圆—I--—=7上.求=2x—尸的最大值.

49

解析：函数/(“,#的定义域为：xe[-2,21.yw[-3,3]

由轲西不等式得：(2”—「)2V(y)2+(^)2][^-?+(-3)2]=7-52=52

即：|2工一》|二5.即：/(.v,.r)=^x-.rel-5,5]

由柯西不等式的等号成立的条件得：—=^~,即：—=-^

8-929

所以，函数/(X，F)=2X-J，的最大值是5.此法是用“村西不等式”.

本题也可以采用“权方和不等式”

I_*2।/(2x)2।(_J,)2.(2x—J,)2(2*-『)2

49~169~16+952

即：|2x-j|<5,即：/(.r,y)=2x-je(-5,5]

此法为“权方和不等式”.

16、求函数；/(x)=j2+x+18—3x的值域.

Q

解析：函数/(X)的定义域是：xe[-2,-J.

待定系数法用于柯西不等式来解本题.

设：A.B>0,则柯西不等式为：

[('^^4\J2+x厂+(yfH\J8-3x)*11—+—]N(J2+x+\js-3x)'=/.(*)

AB

即：/2(x)<[A(2+x)+3(8-3x)吟+夕=\(2A+8B)+(4-36)x哈十—|

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高中数学：23个求极值和值域的经典例题

①

令：A-3B=0、则：A=3B②

由柯西不等式的等号成立条件,即函数取极值时条件得：

/j2+x=R，8-3x,即：A2Q2^X)=B2{8-3x),

即：(/2+382)”=8笈2—242,则：X=8B-2/③

A2^3B2

八、8B2-18B2105

将②代入③得：X=------z---------丁=-----=——

9B2^3B2726

函数的极值为：/'(——•)=,2—三十「8—3(一』)=/—+./—=2^^

6X6y6y6\63

⑴在xe［—2,一马区间.函数/(x)单调递增.故：

6

/•(X)>/(-2)=J2+—2)+—=414

于是.函数/(“)在该区间的值域是［J77,马卓］.

⑵在区间.函数/(x)单调递减.故：

63

于是，函数/(x)在该区间的值域是［岑，上乎］.

综上.函数/(x)的值域是［华，当丝］.

此法为“待定系数法”用于“柯西不等式*最后用“单调性法”得到值城.

17、求函数：/(X)=1+,+DX2+2X+2的值域.

解析：函数/(x)=「+>Jx2+2x+2的定义域是:XWK.本题采用判别式法.

①

则：y——=>lx~+2x+2>0

14

高中数学：23个求极值和值域的经典例题

22

即：(产一土)，=*2+2*+2・即：y—yx-F―x4-2x2

'24

即：—x2+(2+y)x+(2-y2)=0③

4