新教材适用2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何4向量在立体几何中的应用4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系课后训练北师大版选择性必修第一册

4.2用向量方法探讨立体几何中的位置关系A组1.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为b.若a·b=0,则().A.l∥α B.l⊂αC.l⊥α D.l⊂α或l∥α2.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),直线AB,AC平行于平面α,则平面α的一个法向量是().A.(1,1,-1) B.(1,-1,1)C.(-1,1,1) D.(-1,-1,-1)3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B,AC的中点,则MN与平面BB1C1C的位置关系是().(第3题)A.相交 B.平行C.垂直 D.不能确定4.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,AF∶FD等于().(第4题)A.1∶2 B.1∶1 C.3∶1 D.2∶15.已知直线l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为1,12,2,且l∥α,则实数m等于.

6.若AB=λCD+μCE(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系是.

7.已知直线l1与l2不重合,直线l1的一个方向向量为a=(-2,5,2),直线l2的一个方向向量为b=(2,0,1),则直线l1与l2的位置关系是8.如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面相互垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.(第8题)求证:(1)BM∥平面ADEF;(2)平面BCE⊥平面BDE.9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E为PC的中点,EF⊥BP于点F.用向量法求证:(第9题)(1)PA∥平面EDB;(2)PB⊥平面EFD.B组1.若平面α,β的一个法向量分别为m=-16,13,-1,n=A.α∥βB.α⊥βC.α与β相交但不垂直D.α∥β或α与β重合2.(多选题)在如图的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,下列结论中正确的有().(第2题)A.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)B.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)C.平面B1CD1与方向向量为(1,1,1)的直线垂直D.平面ABC1D1与方向向量为(0,1,1)的直线垂直3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在A1D上取点M,在CD1上取点N,使得线段MN平行于对角面A1ACC1,则线段MN的长度的最小值为.

4.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点P(2cosx+1,2cos2x+2,0)和点Q(cosx,-1,3),其中x∈[0,π].若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为.

5.如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点.若SD⊥平面PAC,问侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求|SE|∶|EC|的值;若不存在,请说明理由.(第5题)6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD的夹角为30°.求证:(第6题)(1)CM∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PAD.

参考答案4.2用向量方法探讨立体几何中的位置关系A组1.D∵a·b=0,∴l⊂α或l∥α.2.DAB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1).设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),则有n取x=-1,则y=-1,z=-1.故平面ABC的一个法向量是(-1,-1,-1).3.B如图,以C1B1,C1D1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A1(a,a,0),B(a,0,a),A(a,a,a),C(0,0,a),D1(0,a,0),∴Ma,a2,a2,Na2,a(第3题)∴MN=-a2,0,a2,易知C1D1=(0,a,0)是平面BB1C1C的一个法向量,而MN·C1D1=-a2×0+0×a+a2×0=0,∴MN⊥∴MN∥平面BB1C1C.4.B如图,建立空间直角坐标系A-xyz.(第4题)设正方形的边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E12,1,0,P(0,0,a).设点F的坐标为(0,y,0),则BF=(-1,y,0),PE=12,1,-a.因为BF⊥PE,所以BF·PE=0,解得y=12,即点F的坐标为0,12,0,所以当F为AD的中点时,BF⊥PE,此时AF∶FD=1∶5.-8∵l∥α,∴l的方向向量与α的法向量垂直.∴(2,m,1)·1,12,2=2+12m+2=0,解得m=-8.6.AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE∵AB=λCD+μCE(λ,μ∈R),∴AB与CD∴AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE.7.l1⊥l2∵a·b=-2+0+2=0,∴a⊥b.∴l1⊥l2.8.证明∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AD⊥ED,ED⊂平面ADEF,∴ED⊥平面ABCD.以D为坐标原点,DA,DC,DE分别为x轴、y轴、z(第8题)则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),F(2,0,2).(1)∵M为EC的中点,∴M(0,2,1),则BM=(-2,0,1),AD=(-2,0,0),AF=(0,0,2),∴BM=AD+12又BM⊄平面ADEF,∴BM∥平面ADEF.(2)BC=(-2,2,0),DB=(2,2,0),DE=(0,0,2).∵BC·DB=-4+4=0,∴BC又BC·DE=0,∴BC又DE∩DB=D,DB,DE⊂平面BDE,∴BC⊥平面BDE.又BC⊂平面BCE,∴平面BCE⊥平面BDE.9.证明以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,如图,设DC=PD=1,则P(0,0,1),A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),E0,12,12,∴PA=(1,0,-1),PB=(1,1,-1),DE=0,12,12,EB=1,12,(第9题)(1)设n1=(x1,y1,z1)为平面EDB的一个法向量,则n1⊥DE,n1⊥EB.∴n取z1=-1,则n1=(-1,1,-1)为平面EDB的一个法向量.∵PA=(1,0,-1),∴PA·n1=0.∴PA⊥n1.又PA⊄平面EDB,∴PA∥平面EDB.(2)设F(x,y,z),则PF=(x,y,z-1),EF=x,y-12,z-12.∵EF⊥BP,∴EF⊥∴x+y-12-z-12=0,即x+y-z=0. ①∵点F在PB上,∴存在唯一的实数λ,使得PF=λPB,即x=λ,y=λ,z-1=-λ. ②由①②可得x=13,y=13,z=∴EF=13,-16,设n2=(x2,y2,z2)为平面EFD的一个法向量,则n2⊥EF,n2⊥DE,∴n∴x2=-z2,y2=-z2.取z2=1,∵PB=-n2,∴PB∥n2,∴PB⊥平面EFD.B组1.D∵n=-3m,∴m∥n,∴α∥β或α与β重合.2.AC∵AD=(0,1,0),AB⊥AD,AA1⊥AD,AB∩AA1=A,∴AD⊥平面ABB1A1,故A正确;∵CD=(-1,0,0),而(1,1,1)·CD=-1≠0,∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量,故B不正确;∵B1C=(0,1,-1),CD1=(-1,0,1),(1,1,1)·(0,1,-1)=0,(1,1,1)·(-1,0,1)=0,且B1C∩∴以(1,1,1)为方向向量的直线垂直于平面B1CD1,故C正确;∵BC1=(0,1,1),而BC1·(0,1,1)=2≠0,∴以(0,1,1)为方向向量的直线不垂直于平面ABC1D1,故选AC.3.33如图,作MM1⊥AD,垂足为点M1,作NN1⊥CD,垂足为点N1(第3题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,依据面面垂直的性质定理,可得MM1,NN1都垂直于平面ABCD,由线面垂直的性质定理,可知MM1∥NN1,易知平面M1N1NM∥平面ACC1A1,由面面平行的性质定理可知,M1N1∥AC,设DM1=DN1=x,则0<x<1.在四边形MM1N1N中,MN2=(2x)2+(1-2x)2=6x-132+13,当x=13时,MN取得最小值为34.π2或π3由OP⊥OQ,即(2cosx+1)cosx+(2cos2x+2)×(-1)=0.∴cosx=0或cosx=12∵x∈[0,π],∴x=π2或x=π5.解存在.连接BD,设AC交BD于点O,由题意知SO⊥平面ABCD.(第5题)又因为四边形ABCD为正方形,所以OB,OC,OS两两垂直,以O为坐标原点,OB,OC,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图.设底面边长为a,则高SO=62a,于是C0,22a,0,B22a,0,0,S0,0,62a,D-22a,0,0,所以DS=22a,0,62a,CS=0,-22a,62a,BC=-22a,22a,0.假设在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC.由题意知DS是平面PAC的一个法向量,则BE⊥设CE=tCS(0≤t≤1),则BE=BC+CE=BC+tCS=-22a,22a由BE·DS=0,得-a22解得t=13即当SE∶EC=2∶1时,BE⊥又BE不在平面PAC内,所以当SE∶EC=2∶1时,BE∥平面PAC.6.证明如图,以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系C-xyz.(第6题)∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC即为PB与平面ABCD的夹角,∴∠PBC=30°.∵PC=2,∴BC=23,PB=4.∴D(0,1,0),B(23,0,0),A(23,4,0),P(0,0,2),M32,0,32,∴DP=(0,-1,2),DA=(23,3,0),CM=32,0,32.(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量