两条直线的交点（六大题型）（原卷版）

1．4两条直线的交点课程标准学习目标（1）能用自己的语言解释两条直线的交点坐标与两条直线的方程之间的关系，（2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，能根据方程组解的个数判断两条直线的位置关系．（1）会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．（2）会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．知识点01直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．知识点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．【即学即练1】过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（

）．A． B．C． D．知识点02过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．【即学即练2】设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为.题型一：求直线的交点例1．（2023·全国·高二专题练习）若直线与直线的交点在直线上，则实数（

）A．4 B．2 C． D．例2．（2023·全国·高二专题练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例3．（2023·全国·高二专题练习）直线与直线的交点坐标是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)变式1．（2023·全国·高二专题练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（）A． B．C． D．变式2．（2023·全国·高二专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（

）A．或 B． C． D．变式3．（2023·全国·高二专题练习）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．（1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．（2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．（3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．题型二：由方程组解的个数判断直线的位置关系例4．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）设直线：，：，下列说法正确的是（

）A．当时，直线与不重合B．当时，直线与相交C．当时，D．当时，例5．（多选题）（2023·高二课时练习）若两条直线与有交点，则该交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法：①若方程组无解，则两直线平行；②若方程组只有一解，则两直线相交；③若方程组有无数多解，则两直线重合．其中说法正确的有（

）A．① B．② C．③ D．以上都不正确例6．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）(多选题)与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（

）A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0变式4．（多选题）（2023·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知集合，集合，且，则（

）A．2 B． C． D．变式5．（2023·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为.（写出一个即可）变式6．（2023·高二单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（

）A．过点P且与直线l斜交B．过点P且与直线l重合C．过点P且与直线l平行D．过点P且与直线l垂直变式7．（2023·高二课时练习）曲线与的交点的情况是（

）A．最多有两个交点 B．两个交点C．一个交点 D．无交点题型三：由直线交点的个数求参数例7．（2023·全国·高二专题练习）直线与直线相交，则实数k的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．且例8．（2023·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例9．（2023·全国·高二专题练习）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（

）A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1变式8．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（）A． B．C． D．变式9．（2023·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考期中）已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．题型四：由直线交点坐标求参数例10．（2023·高二课时练习）若三直线：，：，：经过同一个点，则例11．（2023·全国·高二课堂例题）若直线与直线的交点在直线上，则k的值为．例12．（2023·陕西渭南·高一统考期末）若三条直线，，将平面划分成6个部分，则实数的取值集合为.变式10．（2023·江苏宿迁·高二统考期中）已知直线：与：相交于点，则.变式11．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）若直线与直线垂直于点，则．变式12．（2023·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考期中）已知两直线，．若直线与，不能构成三角形，求实数．变式13．（2023·黑龙江鸡西·高二校考阶段练习）已知三条直线，，相交于一点，则k的值为．变式14．（2023·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）直线和交于一点，则m的值为.题型五：三线能否围成三角形问题例13．（2023·江苏徐州·高二徐州市第七中学校考阶段练习）已知a为实数，若三条直线，和不能围成三角形，则a的值为．例14．（2023·全国·高二专题练习）已知直线.(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程.例15．（2023·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期中）直线l经过两条直线和的交点P，且直线l在x轴上的截距为．(1)求直线l的方程；(2)求直线l与坐标轴围成的三角形面积．变式15．（2023·重庆江北·高二重庆十八中校考阶段练习）如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，.(1)若过点，且直线的斜率为，求△的面积（用含的式子表示并写出的取值范围）；(2)设，，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标.变式16．（2023·辽宁沈阳·高二新民市第一高级中学校考阶段练习）求适合下列条件的直线方程：(1)已知，，，求△ABC的BC边上的中线所在的直线方程；(2)直线过点，且与轴和直线围成的三角形的面积为2，求直线的方程．变式17．（2023·全国·高一专题练习）已知直线，直线，直线．(1)若与的倾斜角互补，求m的值；(2)当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形．变式18．（2023·上海徐汇·高二上海市第二中学校考阶段练习）已知直线l的方程为.(1)证明：无论m为何值，直线l恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线l与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线l使得的面积为9.若存在，求出直线l的方程；若不存，请说明理由.变式19．（2023·湖北黄石·高二大冶市第一中学校考阶段练习）已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，（1）求三角形面积取最小值时直线的方程；（2）求取最小值时直线的方程．变式20．（2023·高一课时练习）已知三条直线，求m的值，使它分别满足以下条件：(1)交于同一点；(2)不能围成三角形.题型六：直线交点系方程例16．（2023·海南海口·高一海南中学校考期末）过两直线和的交点和原点的直线方程为（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0例17．（2023·高二课时练习）过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（

）A． B．C． D．例18．（2023·高二课时练习）经过点和两直线；交点的直线方程为.变式21．（2023·全国·高二课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为．变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为.【方法技巧与总结】过两条相交直线，交点的直线方程可设为不含直线．一、单选题1．（2023·河南信阳·高二潢川县高级中学（河南省潢川高级中学）校考阶段练习）数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，则的欧拉线方程是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为（

）A． B．C． D．3．（2023·广东广州·高二广州市从化区从化中学校考期末）过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（

）A． B．C．或 D．或4．（2023·高二课时练习）已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2023·山东济南·高二统考期中）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．6．（2023·河南周口·高二校考阶段练习）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则所在直线的方程为（

）A． B．C． D．7．（2023·高二校联考课时练习）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于：和：的交点情况是（

）A．存在、、使之无交点B．存在、、使之有无穷多交点C．无论、、如何，总是无交点D．无论、、如何，总是唯一交点8．（2023·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·高二课时练习）已知直线与，则下列说法正确的是（

）A．与的交点坐标是B．过与的交点且与垂直的直线的方程为C．，与x轴围成的三角形的面积是D．的倾斜角是锐角10．（2023·全国·高二专题练习）已知平面上三条直线，，，若这三条直线将平面分为六部分，则的可能取值为（

）A．-2 B．-1 C．0 D．111．（2023·全国·高二专题练习）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值为（

）A． B． C． D．612．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）如图所示，边长为的等边从起始位置（与轴重合）绕着点顺时针旋转至与轴重合得到，在旋转的过程中，下列说法正确的是（

）A．边所在直线的斜率的取值范围是B．边所在直线在轴上截距的取值范围是C．边与边所在直线的交点为D．当的中垂线为时，三、填空题13．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在中，的内角平分线方程为，，，则角的正切值为．14．（2023·全国·高二专题练习）已知的顶点，AC边上的高BC所在的直线方程为，则顶点C的坐标为.15．（2023·浙江宁波·高二统考期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则点坐标为.16．（2023·江苏扬州·高二校考期中）已知某等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点是该等腰三角形底边的中点，则底边所在直线的方程为．四、解答题17．（2023·高二单元测试）已知直线的方程为，若在轴上的截