概率论与数理统计（慕课版第2版）课件 张天德 第1章 随机事件与概率

概率论与数理统计（慕课版）第1讲随机事件第1章随机事件与概率第一讲随机事件2随机现象随机现象的统计规律性随机试验如何研究随机现象的规律性？概率统计的研究对象

概率统计的研究内容全概率统计的研究方法01随机试验与样本空间02随机事件03随机事件的关系与运算本讲内容随机现象的规律性是通过大量试验呈现出来的，为了研究这种规律性，我们需要对随机现象进行调查、观察或试验.这类工作我们统称为“随机试验”，简称为“试验”，用E表示.401

随机试验与样本空间（1）试验可以在相同的条件下重复进行；（2）试验的所有结果明确可知，并且不止一个；（3）每次试验只能出现一个结果，事先不能确定.📝随机试验具有下列三个特点：给微信好友发消息，观察对方是否回复；（1）试验可以在相同的条件下重复进行；（2）试验的所有结果明确可知，并且不止一个；（3）每次试验只能出现一个结果，事先不能确定.📝随机试验具有下列三个特点：检验10件产品，记录其中的次品数；调查某收银台一天内使用移动支付的次数；研究某品牌电脑的使用寿命.📚例101

随机试验与样本空间随机试验E所有可能的结果组成的集合，记为S或Ω.E1

给微信好友发消息，观察对方是否回复.E2

检验10件产品，记录其中的次品数.601

随机试验与样本空间📝样本空间📚例2S1={回复，不回复}S2={0,1,2,…,10}E4

研究某品牌电脑的使用寿命.E3

调查某收银台一天内使用移动支付的次数.701

随机试验与样本空间📢注研究随机现象时,第一步就是建立样本空间.S3={0,1,2,3,…}S4={t|t≥0}01随机试验与样本空间02随机事件03随机事件的关系与运算本讲内容每次试验中出现的基本结果（样本点）称为基本事件，由若干个基本事件组成的随机事件.样本空间的子集,记为A,B,…9📝随机事件📝基本事件📝复合事件02

随机事件基本事件可以用一个样本点表示.每次试验必定不发生的事件，记为Ø.

每次试验必定发生的事件，即样本空间S.10📝必然事件📝不可能事件抛骰子📚例302

随机事件B={偶数}A={2}C={点数不大于6}𝐷={点数大于6}AS

文氏图

(Venndiagram)11在一般情况下，事件的关系是怎样的呢？事件是样本空间的子集，因此，事件的关系和运算02

随机事件与集合的关系和运算是完全相似的.要学会利用概率论的语言来解释这些关系及其运算.这里需要强调的是，01随机试验与样本空间02随机事件03随机事件的关系与运算本讲内容A=BSAB13它表示：事件A与事件B的样本点完全相同.03

随机事件的关系与运算📝包含关系如果事件A 的样本点都在事件B中，则称事件A包含于事件B.抛一枚骰子中的随机试验中，📚例4它表示：事件A发生，则事件B一定发生.，事件A发生时，事件B一定发生.📝相等关系

A=B，如果，且14

📝事件的和(并)考察某同学期末考试的成绩情况.📚例5事件A与事件B的样本点合在一起构成的事件.它表示：事件A与事件B至少有一个发生.

ABS

它表示：英语、高数至少有一门及格.03

随机事件的关系与运算

.🎯推广🎯推广15

03

随机事件的关系与运算

16它表示：英语、高数两门课都及格.

📝事件的积(交)

事件A与事件B共有的样本点构成的事件.考察某同学期末考试的成绩情况.📚例6它表示：事件A与事件B同时发生.

03

随机事件的关系与运算

🎯推广🎯推广1703

随机事件的关系与运算

表示同时发生.

表示同时发生.18

📝事件的差由属于A

但不属于B的样本点构成的事件.考察电视机的使用寿命t(h).

📚例7它表示：事件A发生而事件B不发生.

03

随机事件的关系与运算

19📝互不相容（互斥）考察电视机的使用寿命t(h).

📚例8AB

则事件A与B互不相容.则称事件A与B互不相容.03

随机事件的关系与运算若事件A,B不能同时发生，即A∩B=，20📝对立事件（逆事件）对于事件A，由所有不包含在A中的样本点所组成的事件称为A的对立事件，SA

03

随机事件的关系与运算

则

对应事件运算集合运算21📝运算规律

（2）结合律：

（3）分配律：03

随机事件的关系与运算

逆交和差22📝运算顺序括号优先

（4）对偶律（D.Morgan律）：03

随机事件的关系与运算23利用事件的关系和运算可表达复杂事件.📚例9设A,B,C

表示三个事件，利用A,B,C

表示下列事件.

（1）A发生，B与C不发生.

（2）A与B发生，C不发生.

（3）A,B,C中至少有一个发生.

（4）A,B,C都发生.03

随机事件的关系与运算——A,B,C

不都发生.

24

（5）A,B,C都不发生.

（6）A,B,C中不多于一个发生.（7）A,B,C中不多于两个发生

（8）A,B,C中不至少有两个发生.03

随机事件的关系与运算如右图所示的电路中，设事件A,B,C分别表示开关a,b,c闭合，用A,B,C表示事件“指示灯亮”及事件“指示灯不亮”.📚例1025解

D发生当且仅当A及B∪C都发生，03

随机事件的关系与运算

26设A,B,C分别表示第1、2、3个产品为次品，用A,B,C的运算可表示下列各事件.📚例11（1）至少有一个次品（2）没有次品（3）恰有一个次品（4）恰有两个个次品03

随机事件的关系与运算

27

（5）至多有两个次品

03

随机事件的关系与运算（考虑其对立事件）28📚例12

在图书馆中随意抽取一本书，记事件B表示中文书，C表示平装书.

则03

随机事件的关系与运算A表示数学书，

29

03

随机事件的关系与运算30

03

随机事件的关系与运算

解31📚例15向目标射击两次，用A表示事件“第一次击中目标”，用B表示事件“第二次击中目标”，试用A、B表示下列各事件（）：（1）“只有第一次击中目标”（2）“仅有一次击中目标”（3）“两次都未击中目标”（4）“至少一次击中目标”03

随机事件的关系与运算解（1）只有第一次击中目标隐含着第二次未击中目标，即或第一次未击中而第二次击中目标，即（2）仅有一次击中目标意味着第一次击中而第二次未击中目标，32📚例16向目标射击两次，用A表示事件“第一次击中目标”，用B表示事件“第二次击中目标”，试用A、B表示下列各事件（）：（1）“只有第一次击中目标”（2）“仅有一次击中目标”（3）“两次都未击中目标”（4）“至少一次击中目标”03

随机事件的关系与运算解（3）两次都未击中目标显然可以表示为因此可表示为，即或（4）至少一次击中目标包括仅一次击中目标或者两次都击中目标，33📚例17

证明：

03

随机事件的关系与运算证明

34📚例1803

随机事件的关系与运算35因此选

B

03

随机事件的关系与运算36

📚例19

D未必成立AB

解03

随机事件的关系与运算

3703

随机事件的关系与运算解由已知

，则得第1讲随机事件38这一讲我们学习了随机事件以及事件间的关系与运算，利用这些关系与运算，我们可以用简单事件去杂事件，表示复从而利用简单事件的概率得到复杂事件的概率.下一讲我们介绍一类简单概率模型

——古典概型.学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）第2讲古典概率与几何概率第1章随机事件与概率01古典概率02几何概率本讲内容在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它们都有如下的两个特点：4201

古典概率📚例1最简单的问题是等可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.基本事件的个数有限.4301

古典概率有限性等可能性.📢注🎯结论具有上述特点的随机试验E称为古典（等可能）概型.每个基本事件等可能性发生.设随机试验E为古典概型，记:对古典概率的计算可以转化为对样本点的计数4401

古典概率古典概率概率的古典定义.📢注问题，该问题通常可以借助排列组合公式以及加法和乘法原理等进行计算.

则

样本空间S中所包含的基本事件的个数.

事件A中所包含的基本事件的个数.4501

古典概率📝加法原理📝乘法原理设完成一件事有m种方式，第i种方式有ni种方法，则完成这件事共有：n1+n2+⋯+nm

种不同的方法.设完成一件事需要m个步骤，第i个步骤有ni种方法，则完成这件事共有：n1×n2×…×nm

种不同的方法.4601

古典概率📝排列公式📝组合公式从n个不同元素中任取k个的不同排列总数.从n个不同元素中任取k个的不同组合总数.

4701

古典概率📚例2从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取四个组成四位数，则所有可能组成的四位数共有多少个.解

4801

古典概率📚例3从10名辩论赛培训队员中选出4名组成一个参赛队，问共有多少种组队方法？解按组合的定义，组队方法共有

（种）设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件，求其中恰有k件次品的概率.4901

古典概率解超几何公式.📢注令A={恰有k件次品}📚例4

口袋中a只黑球，b只白球．随机地一只

(1)有放回抽取：5001

古典概率📚例5解一只抽取，求第k次摸得黑球的概率．无放回和有放回答案相同！5101

古典概率📢注简单理解是“抽签理论或排队理论”：电器含3个快充，每次抽中快充的概率都是3/10，与次序无关！如10个充📚例5把球编号，按抽取次序把球排成一列，样本点总口袋中a只黑球，b只白球.随机地一只一只抽取，(2)不放回抽取.求第k次摸得黑球的概率．5201

古典概率解法1数就是a+b个球的全排列数(a+b)!.

事件A相当于在第k

位放黑球，共有a种放法，法又对应其它a+b－1个球的(a+b－1)!种放法，故事件每种放A包含的样本点数为a(a+b－1)!.只考虑前k个位置

共a+b个次序，总数：从a+b个次序里边挑a个给黑球.事件A的次数：把第k个位置放黑球，剩下a+b-1个位置，挑a-1个给黑球：5301

古典概率解法2解法3

（1）作放回抽样（每次抽取后记录结果，然后放回）；（2）作不放回抽样（抽取后不再放回）；5401

古典概率📚例6箱中放有a+b个外形一样的手机充电器（不含充电线），其中a个充电器具有快充功能，其余b个没有快充功能，k(k≤a+b)个人依次在箱中取一个充电器，求第i(i=1,2,⋯,k)人取到具有快充功能的充电器（记为事件A）的概率.（1）放回抽样的情况下，每个人都有a+b

种抽取5501

古典概率解法，古典概率的定义:（抽到具有快充功能的充电器）包含a种抽取方法，由于其中a个充电器具有快充功能，因此事件A由

5601

古典概率（2）在不放回抽样的情况下，k个人依次抽取，根据乘

法原理，完成抽取后样本空间共有个基本结果.于事件A要求第i人抽到具有快充功能的充电器，由第i人有a种取法，其余k−1人从剩余的a+b−1个充电器

种取法，中任选k−1

个，有

种基本结果，由古典概率的定义：A共包含根据乘法原理事件因而

5701

古典概率从该例可以看出，无论是放回抽样还是不放回抽样，抽到具有快充功能充电器的概率都和抽取顺序无关.此问题和抽签问题类似，因此从概率意义上，抽签是公平的，不必争先恐后.5801

古典概率📚例7解货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自甲产地，3件来自乙产地.现从货架上随机抽取两件，求这两件商品来自同一产地的概率.A1表示“两件商品都来自甲产地”，A2

表示“两件商品都来自乙产地”.即样本空间中有105个样本点.有从15件商品中取出两件，共5901

古典概率事件A1

要求两件商品都来自甲产地，因而事件A1

共包

含个样本点，个样本点.

同理事件包含而事件A=“两件上商品来自同一产地”可以表示A1∪A2

，且事件A1

和事件A2

互斥，k=k1+k2=69个样本点，所以这两件上商品来自同一产地的概率：因而事件A包含

假设该医院白内障手术的时间没有规定,而病人在一周的任一天去医院是等可能的.则5次白内障手术都在周二、周四的概率为60📚例8解

某医院一周曾做过5次白内障手术,已知这5次手术都是在周二和周四进行的,请问是否可以推断该医院白内障手术的时间是有规定的?01

古典概率61人们在长期实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”（实际推断原理），

概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由现在

怀疑假设的正确性，来访者，即认为其接待时间是有规定的.从而推断接待站不是每天都接待01

古典概率62📚例9某福利彩票游戏规则：购买者从01~35共35个号码中选取7个号码作为一注进行投注，7个号码中6个为基本号码另外1个号码为特别号码，每注彩票2元，每期销售彩票总金额的50%用来作为奖金.01

古典概率奖项设置为一等奖：选7中6+1（不考虑基本号码的顺序）；二等奖：选7中6；三等奖：选7中5+1；四等奖：选7中5；五等奖：选7中4+1；六等奖：选7中4；七等奖：选7中3+1.试计算单注中奖概率.63解这一类型彩票游戏可以看作不放回摸球问题：袋中有35个（同类型）球，其中6个红球1个黄球，28个一个白球.现不放回从袋中取7个球，求7个球中恰有i个红球和j个黄球的概率，i=0,1,…6；j=0,1.

因此中一等奖的概率01

古典概率

64类似可求得单注中k等奖的概率pk，k＝2,…,7，它们分别为：01

古典概率65单注中奖概率为：

通过以上可以看出单注中奖的概率不到2%，而中头奖的概率仅有百万分之一点五左右，根据实际推断原理，偶尔买一次彩票就中大奖几乎是不可能的.01

古典概率66📚例10

（分房模型）设有k

个不同的球,每个球等可能地落入N

个盒子中（），设每个盒子容球数无限，求下列事件的概率：（1）某指定的k

个盒子中各有一球；（2）某指定的一个盒子恰有m个球（）；

（3）恰有k个盒子中各有一球.01

古典概率（1）某指定的k

个盒子中各有一球（3）恰有k

个盒子中各有一球（每个盒子至多一球）（2）某指定的一个盒子恰有m

个球()6701

古典概率解

某班级有k(k≤365)个人，求k

个人的生日均不相同的概率.📚例11（“分房模型”的应用）下一讲揭晓.等价于：恰有k

个盒子中各有一球6801

古典概率

问：如何求“至少有两人同生日”的概率？解6901

古典概率📚例12袋子里有1~10号球，任取3个，求：(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率；(3)中间号码为5的概率。

则只需从前3次中任选一次，使它从另外2种颜色中取到某一种颜色：7001

古典概率📚例13设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到3种颜色的球都取到时停止，求取球次数恰好为4的概率.①第4次取到一种颜色，前3次取到2种颜色：

②已有一色在第4次被取到，

解01古典概率02几何概率本讲内容古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等(1)设样本空间S是平面上某个区域，它的面积记为μ(S);S7202

几何概率📝几何概型(古典概型的推广)可能概率模型，但等可能概型还有其它类型，间为一线段、平面或空间区域等，几何概型，思路如下：如样本空这类等可能概型称为该点落入S内任何部分区域内的可能性只与这部分区域(2)向区域S上随机投掷一点，“随机投掷一点”的含义是:S73的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关.02

几何概率设事件A是S的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为：SA74

02

几何概率75(3)假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用确定，只不过把

理解为长度

或体积即可.02

几何概率76几何概率率为:设样本空间为有限区域S,若样本点落入S内任何区域A中的概率与区域A的测度成正比,则样本点落入A内的概02

几何概率

某城际列车每1小时发一班车,某人开完会后到候车厅候车，求他候车时间少于10分钟的概率.📚例1477解以分钟为单位,记上一班车发出时刻为0，下一班车发出时刻为60,因此这个人到达候车厅的时间必在区间(0,60)内,记“等待时间短于10分钟”为事件A，则有02

几何概率78

于是：02

几何概率

在区间(0,1)中随机地取两个数，求这两个数之差的绝对值小于1/2的概率.📚例15（约会问题）

79解法1利用几何概型计算

解法2利用均匀分布计算（第三章）.

A

1/21Oyx02

几何概率

某销人员和客户相约7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人半个小时，过时就离开.如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达，试计算二人能够会面的概率.📚例16（会面问题）

80解记7点为0时刻，x,y分别表示甲、乙两人到达指定02

几何概率地点的时刻，则样本空间为：

81以A表示“两人能会面”，如图所示，根据题意，这是一个几何概型，于是

02

几何概率则有11212121|x-y|＜Oyx

8202

几何概率📚例17有一根长为l的木棒，任意折成三段，求恰好能构成一个三角形的概率.

解8302

几何概率

📚例18

84

设如图所示事件A表示“点与原点的02

几何概率

解8502

几何概率

第2讲古典概率与几何概率86古典概型是最简单的一种概率模型，要掌握好古典几何概型的概率计算的关键是将样本空间和随机事📝📝概型，必须学好排列组合公式.去求样本点总数和事件包含的样本点个数.件用正确的图形表示出来.会利用排列组合公式知识点解读—古典概型与几何概型第2讲古典概率与几何概率87几何图形的度量主要是长度，面积或体积等，经常📝运用积分等工具去求解.学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计概率论与数理统计第3讲概率的公理化定义与运算性质第1章随机事件与概率01概率的公理化定义02概率的运算性质本讲内容历史上概率的三次定义③公理化定义②统计定义①古典定义概率的最初定义.基于频率的定义.1933年由苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出.

研究随机现象，我们不仅要关心会出现哪些事件，更关心这些事件出现的可能性大小，所谓事件的概率就是度量事件出现可能性大小的数值.91概率的公理化定义什么是概率？01

概率论的公理化定义通过规定概率应具备的基本性质来定义92历史上概率的三次定义📝古典定义不足：仅适用于等可能概型.📝统计定义概率的统计定义:在大量重复试验中，若事件A

发生的频率稳定在某一常数p的周围，件A发生的概率，并记不足：不精确不严格不便使用.📝公理化定义概率.01

概率论的公理化定义则称该常数p为事93📝概率的公式化定义（1）非负性（2）规范性

设随机试验E

的样本空间为S，若对E

的每一事件A

都有一个实数P(A)与之对应，并且满足下列三条公理，则称P(A)为事件A的概率.对每一个事件A，有01

概率论的公理化定义它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.9401

概率论的公理化定义有（3）可列可加性对任意个两两互不相容事件.01概率的公理化定义02概率的运算性质本讲内容96概率的运算性质三条公理（1）非负性（2）规范性基本性质（3）可列可加性加法公式.对任意个两两互不相容事件02

概率的运算性质有97加法公式若事件A,B互斥，则，若事件A1,A2,⋯,An

两两互斥，则，📝性质102

概率的运算性质

对任一事件A，有

如果正面计算事件

A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以使用性质2.ＡA98逆事件公式📝性质2📢注02

概率的运算性质设Ａ、B是两个事件，若,则有99减法公式📝性质302

概率的运算性质📢注对任意两个事件A,B,有AB对任意两个事件A、B，有再由性质3得证.100广义加法公式📝性质402

概率的运算性质右端共有项.101推广：一般：02

概率的运算性质

设有50件产品，其中有3件不合格品，从中任取4件，求至少有一件不合格品的概率.📚例1102解法1设A表示至少有一件不合格品，Ai

表示恰好有i件不合格品，则：性质102

概率的运算性质

103解法2因为

表示全是合格品，则性质2计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以利用性质2.02

概率的运算性质

某班级有k(k≤365)个人，求k

个人的生日均不相同的概率.求“至少有两人同生日”的概率.恰有k

个盒子中各有一球104（“分房模型”的应用）02

概率的运算性质📚例2对某高校学生移动支付使用情况进行调查，使用支付宝的用户占45%，使用微信支付的用户占35%，同时使用两种移动支付的占10%.求至少使用一种移动支付的概率和只使用一种移动支付的概率.📚例3105解记“使用支付宝”为事件A，“使用微信支付”为事件B，而“只使用一种移动支付”可表示为且易知则“至少使用一种移动支付”可以示为A∪B，02

概率的运算性质106至少使用一种移动支付的概率：只使用一种移动支付的概率：02

概率的运算性质📚例4A,B是两个事件，已知107解求而因此02

概率的运算性质📚例5108解则事件A,B,C都不发生的概率为?02

概率的运算性质109📚例6设(1)若A,B互斥，则则(2)若02

概率的运算性质因为A,B互不相容,所以.110📚例7若A,B为任意两个事件，则（）解02

概率的运算性质

11102

概率的运算性质📚例8设A与B互为对立事件，判断以下等式是否成并说明理由.解

11202

概率的运算性质

11302

概率的运算性质从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？下面的算法错在哪里？错在同样的“4只配成两双”算了两次.97321456810从5双中取1双，从剩下的8只中取2只📚例911402

概率的运算性质从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？97321456810正确答案请思考：还有其它解法吗？📚例9

11502

概率的运算性质📚例10解或

11602

概率的运算性质

📚例11解

11702

概率的运算性质

由P(A)=0.6，P(B)=0.7

知AB≠φ，（否则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1）从而由加法定理得P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B)📚例12解

设A，B是两事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7.问（1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？11802

概率的运算性质（1）由0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时，P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6，（2）当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为

P(AB)=0.6+0.7－1=0.3.11902

概率的运算性质📚例13(1)只订A报的；(2)只订A与B报的；(3)只订一种报的；

某城市有A,B,C三种报纸.在居民中,订A报的占45%,订B报的占35%,订C报的占30%,同时订A与B报的占10%,同时订A与C报的占8%,同时订B与C报的占5%,同时订A,B与C报的占3%,求下列概率：

12002

概率的运算性质(4)恰好订两种报的；(5)至少订一种报的；(6)不定任何报的。

第3讲概率的公理化定义与运算性质121到目前为止，我们学习了样本空间、随机事件等概念，给出了概率的公理化定义及概率的性质，知识我们就可以求一般的随机事件的概率。下一讲我们将学习一种新的概率——条件概率.家多做练习，熟练掌握.利用这些希望大学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）第4讲条件概率与乘法公式第1章随机事件与概率01条件概率02乘法公式本讲内容在解决许多概率问题时，往往需要在某些附加条件世界万物都是互相联系、互相影响的，随机事件也P(B|A)=?125条件概率01

条件概率不例外.下交通事故发生的可能性明显比天气状况优良情况下要着一定程度的相互影响．大得多．在同一个试验中的不同事件之间，通常会存在例如，在天气状况恶劣的情况下求事件的概率.的概率，将此概率记作P(B|A).P(B).如在事件A发生的条件下求事件B发生在100件产品中有72件为一等品，从中取两件产品，记A表示“第一件为一等品”，B表示“第二件为一等品”.求P(B)

,P(B|A).📚例1126解由前例可知无论有放回抽样和无放回抽样都有（1）有放回抽样（2）无放回抽样独立性如何定义？01

条件概率12701

条件概率.设A、B为两事件,P(A)>0,则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.称为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.同理128📝定义01

条件概率

条件概率也是概率,故概率的重要性质都适用于条件概率.例如：

129📝性质01

条件概率

在100件产品中有72件为一等品，从中取两件产品，记A表示“第一件为一等品”，B表示“第二件为一等品”.📚例1

2)可用缩减样本空间法1)用定义计算:P(A)>0A发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中B所含样本点个数无放回抽样130📝计算01

条件概率

.

设某种集成电路使用到2000h还能正常工作的概率为0.92,使用到3000h仍能正常工作的概率为0.85,问已经工作了2000h的集成电路，能继续工作到3000h的概率是多少？📚例2131解设A表示“集成电路能用到2000h”，B表示“集成电路能用到3000h”，依题意，P(A)=所求概率为P(B|A).01

条件概率0.92,0.85.P(B)=设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，则132利用事件的关系及概率性质公式求条件概率📚例301

条件概率.

有某品牌的手机100部，其中98部续航时间合格，95部待机时间合格，92件续航时间和待机时间都合格，从中任取一部手机，已知该手机续航时间合格，求其待机时间也合格的概率.📚例4133解

设A表示“续航时间合格”，B表示“待机时间合格”，则通过缩减样本空间，有01

条件概率换📚例513401

条件概率

某网站有三个热门频道：“娱乐”（记为A）、“数码”（记为B）、“汽车”（记为C），通过对访问者的阅读习惯进行调查，有如下结果：

试求改135解01

条件概率由条件概率的定义：若已知P(A),P(B|A)时,可以反过来求P(AB).136📢注乘法公式.01

条件概率01条件概率02乘法公式本讲内容138乘法公式推广02

乘法公式

盒中装有100个产品,其中3个次品，从中不放回地取产品,每次1个,求（1）取两次，两次都取得正品的概率;（2）取三次，第三次才取得正品的概率.📚例6139解令Ai为第i次取到正品02

乘法公式

（波利亚罐子——传染病模型）一个罐子中包含b个白球和r个红球.14002

乘法公式随机地抽取一个球，观看颜色后放进行四次，试求第一、二次取到白

球且第三、四次取到红球的概率.回罐中，并且再加进c个与所抽出

的球具有相同颜色的球.这种手续📚例7

乘法公式应用b个白球,r个红球于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、二个是白球，第三、四个是红球.”设Wi=Rj==P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)141解02

乘法公式1,2,3,4{第i次取出是白球}，i=j={第j次取出是红球}，1,2,3,4.

对某通信及网络服务运营商的客户数据进行分析，结果表明：有8%的客户办理了该运营商的宽带业务，在这些宽带用户中，有39%选择了百兆宽带业务，有30%选择了千兆宽带业务.假设在所有客户中随机抽取一人，问：该客户选择百兆宽带业务的概率是多少？该客户选择千兆宽带业务的概率是多少？📚例8142解02

乘法公式设A=“办理宽带业务”，B=“选择百兆宽带”，C=“选择千兆宽带”，由题意，14302

乘法公式由乘法公式，该客户选择百兆宽带业务的概率是该客户选择千兆宽带业务的概率是14402

乘法公式某人忘记了自己银行卡密码的最后一位数字，因而他随机按号,求他按号不超过三次而选正确的概率.  

记H表示按号不超过三次而能按对，Ai表示第i次按号能按对。

📚例9解14502

乘法公式📚例10解

由

知

又

即

将(∗)式代入得

14602

乘法公式

📚例11解法一

14702

乘法公式解法二

学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）第5讲全概率公式与贝叶斯公式第1章随机事件与概率150全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式,乘法公式以及条件概率的综合运用.第5讲

全概率公式与贝叶斯公式151全概率公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥.乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0.第5讲

全概率公式与贝叶斯公式152设甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量分别占总数的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%，从这批产品中任取一件，求它是次品的概率.📚例1解分别表示产品由甲、乙、丙厂生产第5讲

全概率公式与贝叶斯公式完备事件组153全概率公式两两互斥第5讲

全概率公式与贝叶斯公式B表示产品为次品01全概率公式02贝叶斯公式本讲内容称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.155全概率公式设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,则对任一事件B，有01

全概率公式加法公式乘法公式B156证明两两互不相容，得也两两互不相容；

01

全概率公式某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是：每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.P(BAi)=157📝全概率公式的关键数学模型完备事件组P(Ai)P(B|Ai).01

全概率公式

已知某地区加油站的客户中，40%使用92号汽油，35%使用95号汽油，25%使用98号汽油.加油时，使用92号汽油的客户中有30%要加满油箱，使用95号汽油的客户中，有60%要加满油箱，而使用98号汽油的客户中，有50%要加满油箱.现随机选择一位客户，求该客户加满油箱的概率.📚例2158解01

全概率公式15901

全概率公式由题意可知，由全概率公式，该客户加满油箱的概率为📚例3160解设事件X、

Y分别表示机床加工零件A与B，Z表示机床停机，由题设知由全概率公式，得01

全概率公式一个机床有的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率是0.3，加工零件B时，停机的概率是0.4，求这个机床停机的概率.从而这个机床停机的概率为01全概率公式02贝叶斯公式本讲内容甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量分别占总数的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%，随机地从中任取一件，发现是次品，问它来自哪个厂的可能性大？📚例4162解实际中还有另一类问题：已知结果求原因乙厂生产的可能性最大贝叶斯公式01

全概率公式

该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.设A1,A2,…,An是完备事件组，则对任一事件B，有163贝叶斯公式02

贝叶斯公式贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.——后验概率在B已经发生的前提下，再对导致B发生的原因的可能性大小重新加以修正.P(Ai)——先验概率16402

贝叶斯公式它是由以往的经验得到的，是事件

B的原因.

（医学模型——稀有病症的诊断率问题）甲胎蛋白（AFP）免疫检测法被普遍用于肝病的早期诊断和普查.已知肝病患者经AFP检测呈阳性的概率为95%，而非肝病患者经AFP检测呈阳性（误诊）的概率为2%.设人群中肝病的发病率为0.04%，现有一人经AFP检测呈阳性，求此人确实患肝病的概率.📚例5165解记A={肝病患者}，{经AFP检测呈阳性},B=02

贝叶斯公式由贝叶斯公式

经AFP检测显阳性的人，真患有肝病的人不到2%.可见，对于稀有病症，一次检测的结果不必过于担心.16602

贝叶斯公式

（例2续）现随机选择一位客户，如果该客户加满了油箱，他使用92号汽油的概率.📚例6167解由题意可知，所求概率为02

贝叶斯公式在例2中已经计算出故由贝叶斯公式，换某机器由A、B、C三类元件构成,其所占比例分别为0.1,0.4,0.5,且其发生故障的概率分别为0.7,0.1,0.2.现机器发生了故障,问应从哪类元件开始检查？📚例7168解设D表示“机器发生故障”，A表示“元件是A类”，B表示“元件是B类”，C表示“元件是C类”，由全概率公式02

贝叶斯公式169由贝叶斯公式故应从C元件开始检查.同理02

贝叶斯公式设有甲乙两袋，甲袋中装有N个白球，M个黑球；乙袋中装有n个白球，m个黑球，今从甲袋中任取一个球放入乙袋中，再从乙袋中任取一个球，问取到白球的概率是多少?17002

贝叶斯公式📚例8解全概率公式

从数1，2，3，4中任取一个数,记为X,再从1,⋯,X中任取一个数,记为Y,则P{Y=2}=____17102

贝叶斯公式📚例9解由全概率公式:

17202

贝叶斯公式故

17302

贝叶斯公式📚例10解

17402

贝叶斯公式贝叶斯公式

盒中有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从盒中任取3个,用后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率. 若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都是新球的概率.17502

贝叶斯公式📚例11解设B表示第二次比赛取到3只新球表示第1次比赛取到i只新球

根据对某地快递行业的调研，该地区95%的快递公司为优质快递公司，当商家选择这些优质快递公司时,其货物的按时送达率为98%,而当商家选择其他快递公司时,其货物的按时送达率为55%.假设有一批货物，已知其按时送达，求商家选择的是优质快递公司的概率.📚例1217602贝叶斯公式解A1=“选择的是优质快递公司”，A2=“选择的是其他快递公司”，B=“货物按时送达”，由题意，17702贝叶斯公式由贝叶斯公式，得即商家选择的是优质快递公司的概率为97%.第5讲

全概率公式与贝叶斯公式178这一讲我们学习了两个重要的公式——全概率公式与贝叶斯公式.大家需要牢记，并会熟练运用.在概率的计算中，经常用到这两个公式，

知识点解读——全概率公式与贝叶斯公式学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）第6讲事件的独立性第1章随机事件与概率01两事件的独立性02

有限个事件的独立性03系统的可靠性问题本讲内容在100件产品中有72件为一等品，从中取两件产有放回抽样前面我们介绍了条件概率，一般来说，P(B|A)≠P(B)，182📚例1但也有例外.品，记A表示“第一件为一等品”，B表示“第二件为一等品”.两事件的独立性01

事件的独立性的定义设A,B为两事件，若则称事件A与事件B相互独立.

等价于因此，我们有如下的定义.183这就是说，已知事件A发生，并不影响事件B发生的概率，这时称事件A、B相互独立.根据乘法公式📝定义01

事件的独立性的定义184独立01

事件的独立性的定义证明若，试证：事件A与B相互独立.📚例2185📝性质（1）若P(A)>0,  P(B)>0,  则也相互独立.（2）若A与B相互独立，则与B, A

与证明事件A与B

相互独立，有P(AB)=P(A)P(B).仅证事件与B相互独立，其他可类似证明.由于所以因而，事件与B

相互独立.01

事件的独立性的定义请问：如图的两个事件是独立的吗？

即A,B不独立.若A,B互斥，反之，若A,B独立，📢特别注意相互独立≠互不相容“A,B相互独立”和“A,B互不相容”不能同时成立.186若P(A)>0,P(B)>0，可以证明：即A,B相容.01

事件的独立性的定义在实际应用中，往往根据实际意义去判断是否独立.

由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立.甲、乙两人向同一目标射击，记A={甲命中}，

B={乙命中}，A与B是否独立？一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率.187📚例301

事件的独立性的定义一批产品共n件，从中抽取2件，设Ai={第i件是合格品}(i=1,2).📚例4188解若抽取是有放回的,则A1与A2独立.因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.01

事件的独立性的定义设随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，且📚例5189解01

事件的独立性的定义.

某公司生产洗衣机和烘干机，已知该公司生产的洗衣机有30%在保修期内需要保修服务，而该公司生产的烘干机只有10%需要保修服务。如果有人同时购买了该品牌的洗衣机和烘干机，问：在保修期内这两台机器都需要保修服务的可能性有多大？这两台机器都不需要服务的可能性有多大？190📚例6解设A表示事件“洗衣机在保修期内需要服务”，B表示事件“烘干机在保修期内需要服务”，则01

事件的独立性的定义

某公司生产洗衣机和烘干机，已知该公司生产的洗衣机有30%在保修期内需要保修服务，而该公司生产的烘干机只有10%需要保修服务。如果有人同时购买了该品牌的洗衣机和烘干机，问：在保修期内这两台机器都需要保修服务的可能性有多大？这两台机器都不需要服务的可能性有多大？191📚例6通常这两台机器相互独立工作，即A和B是相互独立的，则所求概率分别为01

事件的独立性的定义📚例7

对于任意两事件A和B有()192解01

事件的独立性的定义A.若，则A,B一定独立；B.若，则A,B有可能独立；C.若，则A,B一定独立；D.若，则A,B一定不独立.若满足的两事件不一定满足