教师公开招聘考试中学数学（证明题）模拟试卷1（共117题）

教师公开招聘考试中学数学（证明题）模拟试卷1（共4套）（共117题）教师公开招聘考试中学数学（证明题）模拟试卷第1套一、证明题(本题共31题，每题1.0分，共31分。)设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：1、若ab＞cd，则；标准答案：知识点解析：暂无解析2、｜a—b｜＜｜c—d｜的充要条件．标准答案：(i)若｜a—b｜＜｜c—d｜，则(a—b)2＜(c－d)2，即(a+b)2一4ab＜(c+d)2一4cd．因为a+b=c+d，所以ab＞cd，得．(ii)若，因为a+b=c+d，所以ab＞cd，于是(a—b)2=(a+b)2一4ab＜(c+d)2一4cd=(c—d)2，因此｜a—b｜＜｜c—d｜，综上．是｜a—b｜＜｜c—d｜的充要条件．知识点解析：暂无解析3、已知an=4n+5，bn=3n，求证：对任意正整数n，都存在正整数p，使得ap=bn2成立．标准答案：an=4n+5=4(n+1)+1，表示的是被4除余1的数，而bn2=9n=(8+1)n=Cn08n+Cn18n－1+…+Cnn－1．8+1，展开式除最后一项之外均为8也为4的倍数，因此，对任意正整数n，都存在正整数p，使得ap=bn2成立．知识点解析：暂无解析4、求证：函数f(x)=＋1在区间(0，+∞)上是单调增函数．标准答案：x1，x2，且0＜x1＜x2，∵f(x1)一f(x2)=，∵0＜x1＜x2，∴x1一x2＜0，x1x2＞0，∴＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(0，+∞)上为单调增函数．知识点解析：暂无解析5、已知a＞0，b＞0，求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc．标准答案：∵b2+c2≥2bc，a＞0，∴a(b2+c2)≥2abc，又∵c2+a2≥2ac，b＞0，∴b(c2+a2)≥2abc，∴a(b2＋c2)+b(c2+a2)≥4abc．知识点解析：暂无解析6、求证：定义在实数集上的单调减函数y=f(x)的图象与x轴至多只有一个公共点．标准答案：假设函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点，设交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2，因为函数y=f(x)在实数集上单调递减．所以f(x1)＞f(x2)，这与f(x1)=f(x2)=0矛盾．所以假设不成立，故原命题成立．知识点解析：暂无解析7、证明：上帝不是万能的．标准答案：证明：假设上帝是万能的，那么上帝能否造出一块他自己都举不起来的石头?如果不能，那么上帝就不是万能的；如果能，因为上帝举不起这块石头，因此上帝不是万能的，这与假设矛盾．所以原假设不成立，即上帝不是万能的．这就是上帝悖论．知识点解析：暂无解析8、用数学归纳法证明：1+4+7+…+(3n一2)=n(3n一1)．标准答案：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，∴当n=1时命题成立．(2)假设当n=k时命题成立，即1+4+7+…+(3k一2)=k(3k一1)，则当n=k+1时，需证1＋4＋7+…+(3k一2)+[3(k+1)一2]=(k+1)(3k+2)(*)，由于左端等式是一个以1为首项，公差为3，项数为k+1的等差数列的前n项和，其和为(k+1)(3k+2)，∴(*)式成立，即n=k+1时，命题成立，根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，命题成立．知识点解析：暂无解析9、已知a，b是正数，并且a≠b，求证：a5+b5＞a2b3+a3b2．标准答案：(a5+b5)一(a2b3+a3b2)=(a5一a3b2)+(b5一a2b3)=a3(a2一b2)一b3(a2一b2)=(a2一b2)(a3一b3)=(a+b)(a一b)2(a2+ab+b2)，∵a，b都是正数，∴a+b＞0，a2+ab+b2＞0．又∵a≠b，∴(a一b)2＞0．∴(a+b)(a一b)2(a2+ab+b2)＞0，即：a5+b5＞a2b3+a3b2．知识点解析：暂无解析10、证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明：11、ab+bc+ca≤．标准答案：由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：a2+b2+c2≥ab+bc+ca．由题设得：(a+b+c)2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1．所以3(ab+bc+ca)≤1，即ab+bc+ca≤．知识点解析：暂无解析12、≥1．标准答案：知识点解析：暂无解析设a＞1，函数f(x)=(1+x2)ex一a．13、求f(x)的单调区间；标准答案：∵f(x)=(1+x2)ex一a，∴f’(x)=2xex+(1+x2)ex=(1+x)2ex．∵x∈R，f’(x)≥0，∴f(x)的单调递增区间为R．知识点解析：暂无解析14、证明：f(x)在(一∞，+∞)上仅有一个零点；标准答案：已知f(x)在R上为单调递增函数．f(0)=1一a，∵a＞1，∴1一a＜0∴f(0)＜0，当x→+∞时，f(x)＞0成立，∴f(x)在(一∞，+∞)上有且只有一个零点。知识点解析：暂无解析15、若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m≤一1．标准答案：令点P为(x0，y0)，∵y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，∴f’(x0)=(x0+1)2ex0=0，∴x0=一1，p(一1，－a)，∴直线OP的斜率kop=，∵在点M(m，n)处的切线与直线OP平行，∴f’(m)=(m+1)2em=a－，需证明(m+1)2≤(m+1)2em，需证明m+1≤em，设g(m)=em－m一1，∴g’(m)=em一1，令g’(m)=0，m=0，∴g(m)在(－∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，∴g(m)≥g(0)=0，∴em一m一1≥0，∴em≥m一1，命题得证．知识点解析：暂无解析设函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)+g(x)=ex，其中e为自然对数的底数．16、求f(x)，g(x)的解析式，并证明：当x＞0时，f(x)＞0，g(x)＞1；标准答案：由f(x)，g(x)的奇偶性及f(x)+g(x)=ex①，得：一f(x)+g(x)=e－x②．联立①②解得f(x)=(ex－e－x)，g(x)=(ex+e－x)．当x＞0时，ex＞1，0＜e－x＜1，故f(x)＞0③，又由基本不等式得g(x)==1④所以g(x)＞1；知识点解析：暂无解析17、设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag(x)+(1一a)＜＜bg(x)+(1－b)．标准答案：f’(x)=(ex+e－x)=g(x)⑤，g’(x)=(ex一e－x)=f(x)⑥，当x＞0时，＞ag(x)+(1－a)等价于f(x)＞axg(x)+(1－a)x⑦，＜bg(x)+(1—b)等价于f(x)＜bxg(x)+(1－b)x⑧．设函数h(x)=f(x)－cxg(x)一(1－c)x，由⑤⑥，有h’(x)=g(x)一cg(x)一cxf(x)一(1一c)=(1－c)[g(x)一1]－cxf(x)．当x＞0时，(1)若c≤0，由③④，得h’(x)＞0，故h(x)在[0，+∞)上为增函数，从而h(x)＞h(0)=0．即f(x)＞cxg(x)+(1一c)x，故⑦成立．(2)若c≥1，由③④，得h’(x)＜0，故h(x)在[0，+∞)上为减函数，从而h(x)＜h(0)=0，即f(x)＜cxg(x)+(1－c)x，故⑧成立．综合⑦⑧，得ag(x)+(1一a)＜＜bg(x)+(1—b)．知识点解析：暂无解析如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角．18、证明：；标准答案：．知识点解析：暂无解析19、若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求．标准答案：由A+C=180°可知B+D=180°，所以有sinA=sinC，sin(A+C)=0，同理sinB=sinD，sin(B+D))=0，进一步上式化简可得：连接BD，设BD=x，在△ABD和△CBD中分别利用余弦定理及A+C=180°可得cosA=一cosC，即知识点解析：暂无解析设函数f(x)=emx+x2一mx．20、证明：f(x)在(一∞，0)单调递减，在(0，+∞)单调递增；标准答案：f’(x)=m(emx一1)+2x．若m≥0，则当x∈(一∞，0)时，emx一1≤0，f’(x)＜0；当x∈(0，+∞)时，emx一1≥0，f’(x)＞0．若m＜0，则当x∈(一∞，0)时，emx一1＞0，f’(x)＜0，当x∈(0，+∞)时，emx一1＜0，f’(x)＞0．所以，f(x)在(一∞，0)单调递减，在(0，+∞)单调递增．知识点解析：暂无解析21、若对于任意x1，x2∈[一1，1]，都有｜f(x1)－f(x2)｜≤e一1，求m的取值范围．标准答案：由已知，对任意的m，f(x)在[一1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f(x)在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[一1，1]，｜f(x1)一f(x2)｜≤e一1的充要条件是：即，设函数g(t)=et一e+1，则g’(t)=et一1．当t＜0，g’(t)＜0，当t＞0时，g’(t)＞0，故g(t)在(一∞，0)单调递减，在(0，+∞)单调递增，又∵g(1)=0，g(一1)=e－1+2一e＜0，故当t∈[一1，1]时，g(t)≤0，当m∈[一1，1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立．当m＞1时，由g(t)的单调性，g(m)＞0，即em一m＞e一1；当m＜一1时，g(一m)＞0，即e－m+m＞e一1．综上，m的取值范围是[一1，1]．知识点解析：暂无解析如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．22、求证：平面PAC⊥平面PBC；标准答案：由AB是圆的直径，得AC⊥BC．由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC．又∵PA∩AC=A，，所以BC⊥平面PAC．因为BC平面PBC．所以平面PBC⊥平面PAC．知识点解析：暂无解析23、若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C—PB—A的余弦值．标准答案：过C作CM／／AP，则CM⊥平面ABC．如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．因为AB=2，AC=1，所以BC=，因为PA=1，所以A(0，1，0)，．设平面BCP的法向量为，不妨令y=1，则，设平面ABP的法向量为．所以由题意可知二面角C—PB—A的余弦值为．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx，(k∈R)，24、证明：当x＞0，f(x)＜x；标准答案：令F(x)=f(x)一x=ln(1+x)一x，x∈[0，+∞)，则有F’(x)=．当x∈[0，+∞)，F’(x)＜0，所以F(x)在[0，+∞)上单调递减，故当x＞0时，F(x)＜F(0)=0，即当x＞0时，f(x)＜x．知识点解析：暂无解析25、证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对x∈(0，x0)，f(x)＞g(x)；标准答案：令G(x)=f(x)－g(x)=ln(1+x)－kx，x∈[0，+∞)，则有G’(x)=．当k≤0时，G’(x)＞0，所以G(x)在[0，+∞)上单调递增，G(x)＞G(0)=0，故对任意正实数x0均满足题意．当0＜k＜1时，令G’(x)=0，得x=－1＞0．取x0=－1，对任意x∈(0，x0)，G’(x)＞0，所以G(x)在[0，x0)上单调递增，G(x)＞G(0)=0，即f(x)＞g(x)．综上，当k＜1时，总存在x0＞0，使得对任意的x∈(0，x0)，f(x)＞g(x)．知识点解析：暂无解析26、确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈(0，t)，恒有｜f(x)－g(x)｜＜x2．标准答案：当k＞1时，对于x∈(0，+∞)，g(x)＞x＞f(x)，故g(x)＞f(x)，｜f(x)一g(x)｜=g(x)一f(x)=kx—ln(1+x)，令M(x)=kx—ln(1+x)一x2，x∈[0，+∞)，则有M’(x)=k一时，M’(x)＞0，M(x)在[0，]上单调递增，故M(x)＞M(0)=0，即｜f(x)一g(x)｜＞x2，所以满足题意的t不存在．当k＜1时，由已知存在x0＞0，使得对任意的x∈(0，x0)，f(x)＞g(x)．此时｜一f(x)一g(x)｜=f(x)－g(x)=ln(1+x)－kx，令N(x)=ln(1+x)－kx－x2，x∈[0，+∞)，则有N’(x)=时，N’(x)＞0，N(x)在[0，)上单调递增，故N(x)＞N(0)=0，即f(x)一g(x)＞x2，记x0与中较小的为x1，则当x∈(0，x1)时，恒有｜f(x)一g(x)｜＞x2，故满足题意的t不存在．当k=1，由已知，当x∈(0，+∞)，｜f(x)－g(x)｜=g(x)－f(x)=x—ln(1+x)，令H(x)=x—ln(1+x)－x2，x∈[0，+∞)，则有H’(x)=1一，当x＞0时，H’(x)＜0，所以H(x)在[0，+∞)上单调递减，故H(x)＜H(0)=0，故当x＞0时，恒有｜f(x)－g(x)｜＜x2，此时，任意实数t满足题意．综上，k=1．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=一2(x+a)lnx+x2一2ax一2a2+a，其中a＞0．27、设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；标准答案：∴f(x)=－2(x+a)lnx+x2－2ax－2a2+a，∴g(x)=f’(x)=－2lnx一2—+2x一2a(a＞0，x＞0)．∴g’(x)=(a＞0，x＞0)．令g’(x)≥0，即x2一x+a≥0(x＞0)，讨论此不等式的解，可得：①当△=1－4a≤0时，即a≥时，不等式恒成立．即g’(x)≥0恒成立，所以g(x)恒单调递增．②知识点解析：暂无解析28、证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0在区间(1，+∞)内恒成立，且f(x)=0在区间(1，+∞)内有唯一解．标准答案：由已知得f’(x)=g(x)在(1，+∞)内单调递增．且f’(1)=－2－2a+2－2a=一4a＜0，f’(+∞)＞0．由零点存在性定理得存在唯一x0∈(1，+∞)，使得f’(x0)=一2lnx0－2一+2x0－2a=0①．所以f(x)在(1，x0)上单调递减，(x0，+∞)上单调递增．所以满足f(x)=0在区间(1，+∞)内有唯一解只需满足f(x)min=f(x0)=0即可．f(x0)=2(x0+a)lnx02+x02－2ax0一2a2+a=0，将①代入化简得：2a2+(5x0一2x02)a一(x03一2x02)=0，(2a一x0)(a+x02—2x0)=0，a=，a=2x0－x02．当a=(x0＞1)时，此时①变形为2a一2ln2a一3=0，在(，1)上有解．令h(a)=2a一2ln2a一3，h’(a)=2—，所以h(a)在(0，1)上单调递减．=1—3＜0不满足．当a=2x0一x02时，此时①变形为2x02—2lnx0一6=0在(1，2)上有解．不妨设=1—3＜0，所以h(x0)在(1，2)上单调递增．h(1)=一4，h(2)=2—2ln2＞0．所以2x02一2lnx0一6=0在(1，2)上有解．所以结论得证．知识点解析：暂无解析如图，已知曲线C1：－y2=1，曲线C2：｜y｜=｜x｜+1，P是平面上一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1一C2型点”．29、证明C1的左焦点是“C1一C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；标准答案：C1的左焦点为，与C2交于，故C1的左焦点为“C1一C2型点”，且直线可以为x=；知识点解析：暂无解析30、设直线y=kx与C2有公共点，求证｜k｜＞1，进而证明原点不是“C1一C2型点”；标准答案：直线y=kx与C2有交点，则(｜k｜一1)｜x｜=1，若方程组有解，则必须｜k｜＞1；直线y=kx与C1有交点，则(1—2k2)x2=2，若方程组有解，则必须k2＜，故直线y=kx至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1－C2型点”．知识点解析：暂无解析31、求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1一C2型点”．标准答案：显然过圆x2+y2=内一点的直线l若与曲线C1有交点，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(t，t+1)(t≥0)，则l：y=(t+1)=k(x一t)kx—y+(1+t－kt)=0，直线l与圆x2+y2=内部有交点，故，化简得：(1+t一tk)2＜(k2+1)①若直线l与曲线C1有交点，则x2+2k(1+t一kt)x+(1+t一kt)2+1=0，△=4k2(1+t一kt)2一4(k2一)[(1+t一kt)2+1]≥0(1+t一kt)2≥2(k2一1)，化简得：(1+t一kt)2≥2(k2一1)②由①②得：2(k2一1)≤(1+t一tk)2＜k2＜1，但此时，因为t≥0，[1+t(1一k)]2≥1，(k2+1)＜1，即①式不成立；当k2=时，①式也不成立，综上，直线l若与圆x2+y2=内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，即圆x2+y2=内的点都不是“C1一C2型点”．知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试中学数学（证明题）模拟试卷第2套一、证明题(本题共28题，每题1.0分，共28分。)点P(x0，y0)在椭圆=1(a＞b＞0)上，x0=acosβ，y0=bsinβ，0＜β＜，直线l2与直线l1：=1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ．1、证明：点P是椭圆=1与直线l1的唯一交点；标准答案：由(a2一x0x)，代入椭圆方程=1，得代入，得x2－2acosβx＋a2cos2β=0，从而x=cosβ因此，方程组，即l1与椭圆有唯一交点P．知识点解析：暂无解析2、证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．标准答案：x0=acosβ，y0=bsinβ，，直线OP的倾斜角为α，tanα=，设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，k1=，由l1⊥l2得k1．k2=一1，k2=，tanγ==tan2β即证得tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e－x．3、若a=b=一3，求f(x)的单调区间；标准答案：当a=b=一3时，f(x)=(x3+3x2一3x一3)e－x，故f’(x)=一(x3+3x2一3x一3)e－x+(3x2+6x－3)e－x=一e－c(x3一9x)=－x(x－3)(x+3)e－x．当x＜一3或0＜x＜3时，f’(x)＞0；当一3＜x＜0或x＞3时，f’(x)＜0．从而f(x)在(一∞，一3)，(0，3)单调递增，在(一3，0)，(3，+∞)单调递减．知识点解析：暂无解析4、若f(x)在(一∞，α)，(2，β)单调增加，在(α，2)，(β，+∞)单调减少，证明β－α＞6．标准答案：f’(x)=一(x3+3x2+ax+b)e－x+(3x2+6x+a)e－x=一e－x[x3+(a－6)x+b一a]．由条件得：f’(2)=0，即23+2(a－6)+b－a=0，故b=4－a，从而f’(x)=一e－x[x3+(a一6)x+4—2a]．因为f’(α)=f’(β)=0，所以x3+(a－6)x+4—2a=(x一2)(x一α)(x—β)=(x一2)[x2一(α+β)x+αβ]．将右边展开，与左边比较系数得，α+β=一2，αβ=a一2．故β—α=．又因为(β一2)(α－2)＜0，即αβ一2(α+β)+4＜0，由此可得a＜一6．于是β一α＞6．知识点解析：暂无解析已知双曲线C：一y2=1，设过点A(，0)的直线l的方向向量e=(1，k)．5、当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；标准答案：双曲线C的渐近线m：=0．∴直线l的方程=0，∴直线l与m的距离d=．知识点解析：暂无解析6、证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．标准答案：假设双曲线C的右支上存在点Q(x0，y0)到直线l的距离为，由①得y0=kx0＋．＞0，将y0=kx0+t代入②得(1—2k2)x02一4ktx一2(t2+1)=0(*)∵k＞，t＞0，∴1—2k2＜0，一4kt＜0，一2(t2+1)＜0，∴方程(*)不存在正根，即假设不成立，故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．知识点解析：暂无解析如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．7、当CF=1时，求证：EF⊥A1C；标准答案：证明：过E作EN⊥AC于N，连接EF．如图1，连接NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面A1C，又因为底面ABC∩侧面A1C=AC，且EN底面ABC，所以EN⊥侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，在Rt△CNE中，CN=CEcos60°=1．则由，得NF／／AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C．由三垂线定理知EF⊥A1C．知识点解析：暂无解析8、设二面角C—AF—E的大小为θ，求tanθ的最小值．标准答案：如图2，连接AF，过N作NM⊥AF于M，连接ME．由知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF，所以∠EMN是二面角C—AF—E的平面角，即∠EMN=θ．设∠FAG=α，则0°＜α≤45°．在Rt△CNE中，NE=EC．sin60°=，在Rt△AMN中，MN=AN．sinα=3sinα，故tanθ=，又∵0°＜α≤45°，∴0＜sinα≤，即当α=45°时，tanθ达到最小值，tanθ=，此时F与C1重合．知识点解析：暂无解析如图所示，在锥体P—ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点．9、证明：AD⊥平面DEF；标准答案：如图，取AD的中点O，连接PO、BO，∵四边形ABCD是边长为1的菱形，连接BD，∴△ABD为等边三角形，∴BO⊥AD，又∵PA=PD=，∴PO⊥AD，又∵PO∩BO=O．∴AD⊥平面POB，又∵E、F分别为BC、PC的中点，∴EF／／BP，而O为AD的中点，得DE／／OB，EF∩ED=E，∴平面POB／／平面DEF，∴AD⊥平面DEF．知识点解析：暂无解析10、求二面角P—AD—B的余弦值．标准答案：知PO⊥AD，BO⊥AD，则∠POB为所求二面角的平面角，在等边三角形ABD中，可得OB=，在△PAD中，可得PO=．又∵PB=2，在△POB中，由余弦定理得cos∠POB=，∴二面角P—AD—B的余弦值为．知识点解析：暂无解析已知ABCD—A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．11、设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A—B1D1一A1的大小为β，求证：tanβ=tanα；标准答案：证明：设正四棱枉的高为h．连结AO1，∵AA1⊥底面A1B1C1D1，∴∠AB1A1是AB1与底面A1B1C1D1所成角，∴∠AB1A1=α，∵在等腰△AB1D1中，AO1⊥B1D1．又∵A1C1⊥B1D1，∴∠AO1A1是二面角A—B1D1一A1的一个平面角，∴∠AO1A1=β，在Rt△AB1A1中，tanα==h；在Rt△AO1A1中，tanβ=．知识点解析：暂无解析12、若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高．标准答案：如图建立空间直角坐标系，有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)，令ω=1，得n=(h，h，1)．由点C到平面AB1D1的距离为d=．解得高h=2．知识点解析：暂无解析如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF／／AC，AB=，CE=EF=1．13、求证：AF／／平面BDE；标准答案：设AC与BD交干点G．因为EF／／AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF／／EG．因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF／／平面BDE．知识点解析：暂无解析14、求证：CF⊥平面BDE；标准答案：因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD．如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C—xyz．则C(0，0，0)，所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE．知识点解析：暂无解析15、求二面角A—BE—D的大小．标准答案：已知，是平面BDE的一个法向量．设平面ABE的法向量n=(x，y，z)，则，所以x=0，且z=，所以．因为二面角A—BE—D为锐角，所以二面角A—BE—D的大小为．知识点解析：暂无解析如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．16、证明：AB=AC；标准答案：以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，AC为y轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz．设B(1，0，0)，C(0，b，0)，D(0，0，c)，则B1(1，0，2c)，．由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC，=0，求得b=1，所以AB=AC．知识点解析：暂无解析17、设二面角A—BD—C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．标准答案：所以B1C与平面BCD所成的角为30°．知识点解析：暂无解析已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，MN分别为AB、DF的中点．18、若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；标准答案：取CD的中点G，连结MG，NG，设正方形ABCD，DCEF的边长为2a．则MG⊥CD，MG=2a，NG=，∵平面ABCD⊥平面DCEF．∴MG⊥平面DCEF，∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．∵MN=，为MN与平面DCEF所成角的正弦值．知识点解析：暂无解析19、用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．标准答案：假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN．由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF．又因为AB／／CD，所以AB／／平面DCEF．而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB／／EN．又因为AB／／CD／／EF，所以EN／／EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．所以ME与BN不共面，它们是异面直线．知识点解析：暂无解析如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E、F、O分别为PA、PB、AC的中点，AC=16，PA=PC=10．20、设G是OC的中点，证明：FG／／平面BOE；标准答案：如图，取PE的中点为H，连结HG，HF．因为点E，O，G，H分别是PA，AC，OC，PE的中点，所以HG／／OE，HF／／EB．因此平面FGH／／平面BOE．因为FG在平面FGH内，所以FG／／平面BOE．知识点解析：暂无解析21、证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．标准答案：在平面OAP内，过点P作PN⊥OE，交OA于点N，交OE于点Q．连结BN，过点F作FM／／PN，交BN于点M．下证FM⊥平面BOE．由题意得OB⊥平面PAC，所以OB⊥PN，又因为PN⊥OE，所以PN⊥平面BOE，因此FM⊥平面BOE．在Rt△OAP中，，＜OA，所以点N在线段OA上．因为F点是PB的中点，所以M是BN的中点．因此点M在△AOB内，点M到OA，0B的距离分别为．知识点解析：暂无解析如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．22、求证：EF⊥BC；标准答案：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得知识点解析：暂无解析23、求二面角E—BF—C的正弦值．标准答案：在图中，设平面BFC的一个法向量=(0，0，1)，平面BEF的法向量设二面角E—BF—C的大小为θ，由题意知θ为锐角，则cosθ=．即所求二面角正弦值为．知识点解析：暂无解析如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE／／CD，交PD于点E．24、证明：CF⊥平面ADF；标准答案：因为PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PD⊥AD．因为在正方形ABCD中CD⊥AD，又因为CD∩PD=D，所以AD⊥平面PCD．因为CF平面PCD，所以AD⊥CF．因为AF⊥CF，AF∩AD=A，所以CF⊥平面ADF．知识点解析：暂无解析25、求二面角D—AF—E的余弦值．标准答案：以D为坐标原点，DP、DC、DA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)，是平面ADF的一个法向量．设平面AEF的法向量为．令x=4，则y=0，是平面AEF的一个法向量．设二面角D—AF—E的平面角为θ，且θ∈(0，)，所以cosθ=，所以二面角D—AF—E的平面角的余弦值为．知识点解析：暂无解析如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB／／DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．26、证明：BE⊥DC；标准答案：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B(1，0，O)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，1，1)，知识点解析：暂无解析27、求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；标准答案：则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ=，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．知识点解析：暂无解析28、若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F—AB—P的余弦值．标准答案：∵，由于F点在棱PC上，设=(－2λ，一2λ，2λ)(0≤λ≤1)，故=(1—2λ，2—2λ，2λ)(0≤λ≤1)，由BF⊥AC，得：=2(1—2λ)+2(2—2λ)=0，解得：，设平面FBA的法向量=(a，b，c)，由令c=1，则=(0，1，0)，则二面角F—AB—P的平面角α满足：，故二面角F—AB—P的余弦值为．知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试中学数学（证明题）模拟试卷第3套一、证明题(本题共29题，每题1.0分，共29分。)设L为曲线C：y=在点(1，0)处的切线．1、求L的方程；标准答案：设f(x)=，则f’(x)=．所以f’(1)=1．所以L的方程为y=x一1．知识点解析：暂无解析2、证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．标准答案：令g(x)=x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)＞0(＞0，x≠1)．g(x)满足g(1)=0，且g’(x)=1一f’(x)=．当0＜x＜1时，x2－1＜0，lnx＜0，所以g’(x)＜0，故g(x)单调递减；当x＞1时，x2一1＞0，lnx＞0，所以g’(x)＞0，故g(x)单调递增．所以，g(x)＞g(1)=0(＞0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．知识点解析：暂无解析已知｛an｝是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn=An一Bn．3、若｛an｝为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4=an)，写出d1，d2，d3，d4的值；标准答案：d1=d2=1，d3=d4=3．知识点解析：暂无解析4、设d是非负整数，证明：dn=－d(n=1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；标准答案：(充分性)因为｛an｝是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤…．因此An=an，Bn=an＋1，dn=an一an＋1=一d(n=1，2，3，…)．(必要性)因为dn=一d≤0(n=1，2，3，…)，所以An=Bn+dn≤Bn．又因为an≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1．于是，An=an，Bn=an＋1，因此an＋1一an=Bn一An=－dn=d，即{an}是公差为d的等差数列．知识点解析：暂无解析5、证明：若a1=2，dn=1(n=1，2，3，…)，则｛an｝的项只能是1或2，且有无穷多项为1．标准答案：因为a1=2，d1=1，所以A1=a1=2，B1=A1一d1=1．故对任意n≥1，an≥B1=1．假设数列｛an｝(n≥2)中存在大于2的项．设m为满足am＞2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤k＜m，ak≤2．又因为a1=2，所以Am－1=2，且Am=am＞2．于是，Bm=Am一dm＞2—1=1，Bm－1=min{am，Bm}≥2．故dm－1=Am－1一Bm－1≤2—2=0，与dm－1=1矛盾．所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列｛an｝的各项只能为1或2．因为对任意n≥1，an≤2=a1，所以An=2．故Bn=An一dn=2—1=1．因此对于任意正整数n，存在m满足m＞n，且am=1，即数列｛an｝有无穷多项为1．知识点解析：暂无解析如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．6、求证：AA1⊥平面ABC；标准答案：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC．因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC．知识点解析：暂无解析7、求二面角A1一BC1一B1的余弦值；标准答案：由已知AA1⊥AC，AA1⊥AB．由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC．如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)．设平面A1BC1的法向量为令z=3，则x=0，y=4，所以=(0，4，3)．同理可得：平面B1BC1，的法向量为=(3，4，0)．所以．由题知二面角A1一BC1一B1为锐角，所以二面角A1一BC1一B1的余弦值为．知识点解析：暂无解析8、证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．标准答案：设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且，所以(x，y一3，z)=λ(4，一3，4)．解得：x=4λ，y=3－3λ，z=4λ．所以=(4λ，3－3λ，4λ)．由=0，即9—25λ=0，解得：∈[0，1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B．此时，．知识点解析：暂无解析正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2一(n2+n一1)Sn一(n2+n)=0．9、求数列｛an｝的通项公式an；标准答案：由Sn2一(n2+n一1)Sn一(n2+n)=0，得：[Sn一(n2+n)](Sn+1)=0．由于｛an｝是正项数列，所以Sn＞0，Sn=n2+n．于是a1=S1=2，n≥2时，an=Sn－Sn－1=n2+n－(n一1)2一(n一1)=2n．综上，数列｛an｝的通项an=2n．知识点解析：暂无解析10、令bn=，数列｛bn｝的前n项和为Tn．证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜．标准答案：知识点解析：暂无解析设｛an｝是公比为q的等比数列．11、推导｛an｝的前n项和公式；标准答案：设{an}的前n项和为Sn，当q=1时，Sn=a1+a1+…+a1=na1；当q≠1时，Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn－1，①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn，②①一②得，(1－q)Sn=a1－a1qn，∴．知识点解析：暂无解析12、设q≠1，证明数列｛an+1｝不是等比数列．标准答案：假设｛an+1｝是等比数列，则对任意的k∈N＋，(ak＋1+1)2=(ak+1)(ak＋2+1)，ak＋12+2ak＋1+1=akak＋2+ak+ak＋2+1，a12q2k+2a1qk=a1qk－1．a1qk＋1+a1qk－1+a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk=qk－1+qk＋1．∵q≠0，∴q2一2q+1=0，∴q=1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{an+1}不是等比数列．知识点解析：暂无解析如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．13、求证：AP是⊙O的切线；标准答案：连接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°，∴∠AOP=60°，∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线．知识点解析：暂无解析14、求PD的长．标准答案：连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°，∴AD=AC．tan30°=，∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC一∠P=60°一30°，∴∠P=∠PAD，∴PD=AD=．知识点解析：暂无解析如图，在三棱锥S—ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：15、平面EFG／／平面ABC；标准答案：因为SA=AB且AF⊥SB，所以F为SB的中点．又因为E，G分别为SA，SC的中点，所以，EF／／AB，EG／／AC．又因为AB∩AC=A，AB面SBC，AC面BABC，所以，平面EFG／／平面ABC．知识点解析：暂无解析16、BC⊥SA．标准答案：因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF平面ASB，AF⊥SB．所以，AF⊥平面SBC．又因为BC平面SBC，所以，AF⊥BC．又因为AB⊥BC，AF∩AB=A，所以，BC⊥平面SAB．又因为SA平面SAB，所以，BC⊥SA．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=lnx一ax2+(2一a)x．17、讨论f(x)的单调性；标准答案：F(x)的定义域为(0，+∞)，f’(x)=．(i)若a≤0，则f’(x)＞0，所以f(x)在(0，+∞)单调递增．(ii)若a＞0，则由f’(x)=0得x=时，f’(x)＜0，所以f(x)在单调递减．知识点解析：暂无解析18、设a＞0，证明：当0＜x＜时，；标准答案：设函数g(x)=，则g(x)=ln(1+ax)一ln(1－ax)一2ax，g’(x)=，g’(x)＞0，而g(0)=0，所以g(x)＞0．故当．知识点解析：暂无解析19、若函数y=f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f’(x0)＜0．标准答案：由已知可得，当a≤0时，函数y=f(x)的图象与x轴至多有一个交点，故a＞0，从而f(x)的最大值为＞0．不妨设A(x1，0)，B(x2，0)，0＜x1＜x2，则0＜x1＜＜x2．得＞f(x1)=0．从而x2＞．由已知，f’(x0)＜0．知识点解析：暂无解析20、叙述并证明余弦定理．标准答案：证明：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，有a2=b2+c2—2bccosA，b2=c2＋a2一2cacosB，c2=a2+b2一2abcosC．如图，a2==b2一2bccosA+c2，即a2=b2+c2一2bccosA．同理可证b2=c2+a2一2cacosB，c2=a2+b2一2abcosC．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=，g(x)=alnx，a∈R．21、若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；标准答案：f’(x)=，x=e2．∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)．切线的斜率为k=f’(e)=．∴切线的方程为y—e=(x—e2)．知识点解析：暂无解析22、设函数h(x)=f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；标准答案：由条件知h(x)=．(i)当a＞0时，令h’(x)=0，解得x=4a2．∴当0＜x＜4a2时，h’(x)＜0，h(x)在(0，4a2)上递减；当x＞4a2时，h’(x)＞0，h(x)在(4a2，+∞)上递增．∴x=4a2是h(x)在(0，+∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点．∴最小值φ(a)=h(4a2)=2a－aln4a2=2a(1一ln2a)．(ii)当a≤0时，h’(x)=＞0，h(x)在(0，+∞)上递增，无最小值．综上故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)=2(1一ln2a)(a＞0)．知识点解析：暂无解析23、对φ(a)和任意的a＞0，b＞0，证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析设f(x)是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为f'(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，+∞)都有h(x)＞0，使得f'(x)=h(x)(x2一ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．24、设函数f(x)=ln(x)＋(x＞1)，其中b为实数(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)；(ii)求函数f(x)的单调区间．标准答案：(i)由f(x)=＞0，所以函数f(x)具有性质P(b)．(ii)当b≤2时，由x＞1得x2一bx+1≥x2一2x+1=(x－1)2＞0，所以f’(x)＞0，从而函数f(x)在区间(1，+∞)上单调递增．当b＞2时，解方程x2一bx+1=0得，因为，所以当x∈(1，x2)时，f’(x)＜0；当x∈(x2，+∞)时，f’(x)＞0；当x=x2时，f’(x)=0．从而函数f(x)在区间(1，x2)上单调递减，在区间(x2，+∞)上单调递增．综上所述，当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1，+∞)；当b＞2时，函数f(x)的单调减区间为(1，)，单调增区间为(，＋∞)．知识点解析：暂无解析25、已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1，x2∈(1，+∞)，x1＜x2，设m为实数，α=mx1+(1－m)x2，β=(1－m)x1+mx2，且α＞1，β＞1，若｜g(α)－g(β)｜＜｜g(x1)－g(x2)｜，求m的取值范围．标准答案：由题设知，g(x)的导函数g’(x)=h(x)(x2一2x+1)，其中函数h(x)＞0对于任意的x∈(1，+∞)都成立，所以，当x＞1时，g’(x)=h(x)(x一1)2＞0，从而g(x)在区间(1，+∞)上单调递增．①当m∈(0，1)时，由α=mx1+(1一m)x2＞mx1+(1一m)x1=x1，α＜mx2+(1一m)x2=x2，得α∈(x1，x2)，同理可得β∈(x1，x2)，所以由g(x)的单调性知g(α)，g(β)∈(g(x1)，g(x2))，从而有｜g(α)一g(β)｜＜｜g(x1)一g(x2)｜，符合题设．②当m≤0时，α=mx1+(1一m)x2≥mx2+(1－m)x2=x2，β=(1一m)x1+mx2≤(1一m)x1+mx1=x1，于是由α＞1，β＞1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x1)＜g(x2)≤g(α)，所以｜g(α)一g(β)｜≥｜g(x1)g(x2)｜，与题设不符．③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，进而得｜g(α)一g(β)｜≥｜g(x1)－g(x2)｜，与题设不符．因此，综合①、②、③得所求的m的取值范围为(0，1)．知识点解析：暂无解析如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，且AE=AF．26、证明：B，D，H，E四点共圆；标准答案：在△ABC中，因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°．因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120°．于是∠EHD=∠AHC=120°．因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B，D，H，E四点共圆．知识点解析：暂无解析27、证明：CE平分∠DEF．标准答案：连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°．由已知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED=∠HBD=30°．又因为∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF=30°，所以CE平分∠DEF．知识点解析：暂无解析如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE．证明：28、∠FEB=∠CEB；标准答案：由直线CD与⊙O相切，得∠CEB=∠EAB．由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB+∠EBF=；又因为EF⊥AB，得∠FEB+∠EBF=．从而∠FEB=∠EAB．故∠FEB=∠CEB．知识点解析：暂无解析29、EF2=AD．BC．标准答案：由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB=∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCERt△BFE．所以BC=BF．类似可证：Rt△ADERt△AFE，得AD=AF．又因为在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2=AF．BF，所以EF2=AD．BC．知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试中学数学（证明题）模拟试卷第4套一、证明题(本题共29题，每题1.0分，共29分。)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，CD=BE=，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A'－BCDE，其中A'O=．1、证明：A’O⊥平面BCDE；标准答案：在图1中，易得：OC=3，连结OD，OE，在△OCD中，由余弦定理可得：OD=，由翻折不变性可知A’D=，所以A’O2+OD2=A’D2，所以A’O⊥OD，同理可证A’O⊥OE，又因为OD∩OE=O，所以A’O⊥平面BCDE．知识点解析：暂无解析2、求二面角A’一CD—B的平面角的余弦值．标准答案：以O点为原点，建立空间直角坐标系O一xyz如图所示，知识点解析：暂无解析如图所示，在三棱锥P—ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．3、求证：AB／／GH；标准答案：由已知得：EF、DC分别为△PAB和△QAB的中位线，∴EF／／AB，DC／／AB，于是EF／／DC，又因为EF不在平面PDC内，DC在平面PDC内，∴EF／／平面PDC；又因为EF在平面QEF内且平面QEF∩平面PDC=GH，∴EF／／GH；而EF／／AB，所以AB／／GH．知识点解析：暂无解析4、求二面角D—GH—E的余弦值．标准答案：∵AQ=2BD，且D为AQ的中点，∴△ABQ为直角三角形，AB⊥BQ，又因为PB⊥平面ABC，则PB⊥AB，PB∩BQ=B，PB在平面PBQ内，BQ在平面PBQ内，所以AB⊥平面PBQ；知AB／／GH，所以GH⊥平面PBQ；于是GH⊥FH，GH⊥HC，∠FHC即为二面角D—GH—E的平面角；由已知得：∠BFH=∠BCH，且tan∠BCH=2，∠FHC=2π-－Z∠BCH．∴cos∠FHC=cos(一2∠BCH)=一sin2∠BCH=．知识点解析：暂无解析如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，，EA=EB=AB=I，PA=，连接CE并延长交AD于F．5、求证：AD⊥平面CFG；标准答案：在△ABD中，因为E是BD中点，所以EA=EB=ED=AB=1，故，从而有∠FED=∠BEC=∠AEB=，所以∠FED=∠FEA，故EF⊥AD，AF=FD，又因为PG=GD，所以FG／／PA．又因为PA⊥平面ABCD，所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG．知识点解析：暂无解析6、求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．标准答案：以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，，即．从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cosθ=．知识点解析：暂无解析如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=．7、证明：A1C⊥平面BB1D1D；标准答案：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图．∵AB=AA1=，∴OA=OB=OA1=1，∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(一1，0，0)，D(0，一1，0)，A1(0，0，1)．由，易得：B1(一1，1，1)．∵=(－1，0，1)，∴=0，∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．知识点解析：暂无解析8、求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．标准答案：设平面OCB1的法向量=(－1，1，1)，知识点解析：暂无解析如图，在直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AD／／BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．9、证明：AC⊥B1D；标准答案：易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB=t，则相关各点的坐标为：A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)．知识点解析：暂无解析10、求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．标准答案：可知，．设是平面ACD1的一个法向量，则，设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则，即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为．知识点解析：暂无解析如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE／／AC，CE／／BD．11、求证：四边形OCED为菱形；标准答案：∵DE／／AC，CE／／BD，∴四边形DOCE是平行四边形，∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴AO=CO=DO=BO，∵四边形OCED为菱形．知识点解析：暂无解析12、连接AE、BE，AE与BE相等吗?请说明理由．标准答案：AE=BE．理由：∵四边形OCED为菱形，∴ED=CE，∴∠EDC=∠ECD，∴∠ADE=∠BCE，在△ADE和△BCE中，知识点解析：暂无解析已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．13、如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；标准答案：∵∠ADC=∠BCD=90°，∴AC、BD是⊙O的直径，∴∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD；知识点解析：暂无解析14、如图2，若AC⊥BD，垂足为F，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．标准答案：作直径DE，连接CE、BE．∵DE是直径，∴∠DCE=∠DBE=90°，∴EB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BE／／AC，∴弧CE=弧AB，∴CE=AB．根据勾股定理，得：CE2＋DC2=AB2+DC2=DE2=20，∴．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=a(1—2｜x—｜)，a为常数且a＞0．15、证明：函数f(x)的图像关于直线x=对称：标准答案：因为=a(1—2｜x｜)，有，所以函数f(x)的图像关于直线x=对称．知识点解析：暂无解析16、若x0满足f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；标准答案：当0＜a＜时，有f(f(x))=．所以f(f(x))=x只有一个解x=0，又因为f(0)=0，故0不是二阶周期点．知识点解析：暂无解析17、对于上问中的x1，x2和a，设x3为函数f(f(x))的最大值点，A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(x3，0)．记△ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．标准答案：知识点解析：暂无解析给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．18、在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；标准答案：正方形、矩形、直角梯形均可；知识点解析：暂无解析19、如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．标准答案：证明：①∵△ABC△DBE，∴BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形；②∵△ABC△DBE，∴BE=BC，AC=ED；∴△BCE为等边三角形．BC=CE，∠BCE=60°，∴∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．知识点解析：暂无解析20、(Ⅰ)已知函数f(x)=x3一x，其图象记为曲线C．(i)求函数f(x)的单调区间；(ii)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1，f(x1))处的切线交于另一点P2(x2，f(x2))．曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，f(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值；(Ⅱ)对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明．标准答案：(Ⅰ)(i)由f(x)=x3一x得f’(x)=3x2一1=时，f’(x)＜0．因此f(x)的单调递增区间为．(ii)曲线C在点P1处的切线方程y=(3x12一1)(x—x1)+x13—x1．即y=(3x12一1)x一2x12．由得x3—x=(3x12一1)x一2x13，即(x－x1)2(x+2x1)=0，解得x=x1或x=一