元二次方程的解法市公开课一等奖百校联赛特等奖课件

一元二次方程九年级数学主讲教师：李开宇第1页1、学习目标：(1)了解一元二次方程概念，了解一元二次方程普通形式，会把一元二次方程化成普通形式。(2)掌握一元二次方程四种解法，会用直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法解一元二次方程，体会它们相互之间关系及其“转化”思想。(3)了解一元二次方程两根和、两根积与其系数关系。(4)会列一元二次方程解应用题。深入认识到方程是反映现实世界数量关系一个有效数学模型。在处理实际问题中增强学数学、用数学自觉性。第2页2、重点难点： 本章重点是：掌握一元二次方程各种解法，体会相互之间关系及其“转化”思想；会应用一元二次方程处理实际问题。 本章难点是：用配方法、公式法解一元二次方程；一元二次方程应用题；一元二次方程根与系数关系。第3页3、知识结构：实际问题→一元二次方程概念普通形式解法直接开平方法因式分解法配方法公式法→一元二次方程解检验第4页 4、考试点： 本章考试点：用四种方法解一元二次方程、配方法、一元二次方程根判别式、根与系数关系、一元二次方程应用题。第5页第一节  一元二次方程1、一元二次方程定义。 只含有一个未知数，而且未知数最高次数是2整式方程叫做一元二次方程。一个方程必须同时满足以下三个条件，才是一元二次方程： （1）是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数最高次数是2。不满足其中任何一个条件方程都不是一元二次方程。第6页如：方程x2

x

3

0；y22y

1

0都是一元二次方程，而方程x4

x2

2

0，+x2

1=0等都不是一元二次方程。第7页2、一元二次方程普通形式： 一元二次方程普通形式是：ax2

bx

c

0（a、b、c是已知数，a

0）一元二次方程普通形式特征是：等号左边是一个关于未知数二次三项式，右边是零，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项。第8页(2)注意a

0这个限制条件。它是一元二次方程普通形式一个主要组成部分。即关于x方程ax2

bx

c0只有当a

0时，它才是一元二次方程；若a

0，b

0时，它是x一元一次方程。反之，假如明确指ax2

bx

c

0是一元二次方程，则必定a

0。第9页（3）b、c值可取一切实数。若b

0时，则为ax2

c

0；若c

0时，则为ax2

bx

0；若b

0且c

0时，则为ax2

0，它们都是一元二次方程。（4）一元二次方程概念中“只含有一个未知数，而且未知数最高次数是2”这句话是针对化成普通形式之后方程而言，如x2

2x

1

x2，化简后为

2x

1

0，它是一个一元一次方程，而不是一元二次方程。第10页 学法探究： 本节重点是一元二次方程概念和把一元二次方程化为普通形式，难点是对一元二次方程普通形式及其各项系数确实定。 第11页 在学习中，应经过实际问题归结为方程，深入体会“方程是反应现实世界数量关系一个有效数学模型”，认识到引入一元二次方程概念必要性；经过与一元一次方程比较，概括出一元二次方程概念，经过观察比较由两个问题所得一元二次方程，概括出一元二次方程普通形式，并能指出一元二次方程二次项系数、一次项系数和常数项；经过对练习中第2题探索，体会一元二次方程解意义及检验必要性。第12页思维开放线[例1]以下方程哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？（1）2(2x

1)

x2；（2）x2

2y

1

0；（3）

x=2；（4）(x2

1)2

2(x2

1)

3

0.分析：（1）化为普通形式为x2

4x

2

0，故它是一元二次方程；（2）中含有两个未知数；（3）是分式方程；（4）中x最高次数是4，故不是一元二次方程。第13页点拨：同时满足：（1）是整式方程。（2）只含有一个未知数；（3）未知数最高次数是2这三个条件方程才是一元二次方程。第14页[例2]已知方程(m

2)

(m

2)x

4

0（1）m为何值时它是一元二次方程？（2）m为何值时它是一元一次方程？分析：（1）由一元二次方程普通形式，m2

2

2，故m

2

0，故m

2；（2）需分三种情况讨论：①m

2

0，此时m

2；②m2

2

1，此时m

；③显然x

0，故若m2

2

0，则原方程也是一元一次方程第15页解：（1）由m2

2

2，m

2

0 得m

2；（2）分三种情况讨论：一元二次方程中未知数最高次数是2，且二次项系数不为0。第16页

①m

2

0,即m

2时,原方程为4x

4

0，是一元一次方程；②m2

2

1，即m

时，原方程为

2x

4

0，是 一元一次方程；③显然x

0，不然有

4

0；故当m2

2

0，即m

时， 原方程为(

2)x

6

0，也是一元一次方程。 综上：当m

2时，它是一元二次方程；当m

2，

，

时，它是一元一次方程。不然有4=0第17页

点拨：对于方程ax2

bx

c

0(x为未知数)，若a

0时，它是一元二次方程；当a

0，b

0时，它是一元一次方程。对于方程axm

bx

c

0，当a

0，m

2时，它是一元二次方程；当a

0或m

1或m

0（此时必须x

0）时，它是一元一次方程。第18页

[例3]把方程(1

3x)(x

3)

2x2

1化成普通形式，并写出它二次项系数、一次项系数和常数项。分析：经过去括号、移项、合并同类项可将方程化成普通形式。第19页[例3]把方程(1

3x)(x

3)

2x2

1化成普通形式，并写出它二次项系数、一次项系数和常数项。解：去括号，得x

3x2

3

9x

2x2

1，移项、合并同类项，得5x2

8x

2

0。所以得出该方程二次项系数是5，一次项系数是8，常数项是

2。第20页点拨：（1）写各项系数时，应包含其符号。如5x2

8x

2

0中常数项是

2而不是2；（2）将一元二次方程化为普通形式时，普通二次项系数应为正数。如：本题也可化成

5x2

8x

2

0，那么此时其二次项系数为

5，一次项系数为

8，常数项为2。但习惯上化成5x2

8x

2

0形式。一元二次方程普通形式即是左边是未知数二次三项式，右边是0。第21页

[例4]若关于x一元二次方mx2

3x

m2

m

0

一个解是0，求m值。分析：由方程解意义，将x

0代入方程中，得m2

m

0，再结合m

0，可求m值。第22页若关于x一元二次方程mx2

3x

m2

m

0一个解是0，求m值。解：将x

0代入原方程中，得 0

0

m2

m

0，即m(m

1)

0。 由已知得m

0。故m

1=0，即m

1. 所以m值为1.点拨：在求一元二次方程中字母系数时，要注意该字母值不能使原方程二次项系数为0.一元二次方程二次项系数不为0。第23页[例5]依据题意，列出方程，并用试验方法探索所列出方程解，你能由此得出问题吗？ 某商场销售一批名牌衬衫，平均天天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快降低库存，商场决定采取适当降价办法，经调查发觉，假如每件衬衫每降价1元，那么商场平均天天可多售出2件。问：若商场平均天天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？第24页分析：设每件衬衫降价x元，则天天可多售出2x件，即天天销售(20

2x)件，这时每件盈利(40

x)元，故天天盈利(40

x)(20

2x)元。再依据题意可列方程。解：设每件衬衫应降价x元。依据题意得， (40

x)(20

2x)

1200整理，得x2

30x

200

0。 令x

10时，左边

102

30

10

200

100

300

200

0

右边 故x

10是方程x2

30x

200

0解； 令x

20，则左边202

30

20

200

400

600

200

0

右边， 故x

20也是方程x2

30x

200

0解。第25页 令x

30，则左边302

30

30

200

200

0， 故x

30不是方程x2

30x

200

0解。 所以，方程x2

30x

200

0解为x1

10，x2

20.因为要尽快降低库存，故x

10不合题意。从而x

20。 答：每件衬衫应降价20元。总利润

每件利润件数第26页点拨：（1）因为

30x，200都是10倍数（当x为整数时），故x应是10倍数，从而探索方程解时可从x

10，20，30试起；（2）因为要尽快降低库存，所以降价越多，销售越快，库存越少，在确保利润不变前提下，降价越多越好，从而x

10不合题意。第27页第二节一元二次方程解法1、一元二次方程解法。（1）直接开平方法：依据平方根意义，利用直接开平方求解一元二次方程方法，叫做直接开平方法。①直接开方法依据是平方根意义。因为负数没有平方根，故对于方程x2

a，若a

0，则无实数解，只有当a

0，它才有解x1

，x2

。第28页②对于方程ax2

b(a

0)，普通先化成x2

形式，当b

0时，或a、b同号时，

0，这时再用直接开平方法求解。③对于方程(x

a)2

b（b

0），也可用直接开平方法求解，得x

a。第29页（2）因式分解法：把一元二次方程经过分解因式化成一边是两个一次式积，另一边是零形式，再化成两个一元一次方程，从而求出一元二次方程解方法叫做因式分解法。①因式分解法依据是a·b

0，则a

0或b

0。②利用因式分解法解一元二次方程时，必须先将方程变形为

0形式，再将左边分解因式变形为a·b

0形式，然后得到两个一元一次方程，并分别求两个一元一次方程解，从而求出原方程解。第30页③因式分解法解一元二次方程本质是将一元二次方程降次变形为两个一元一次方程。由此求解一元二次方程。④能用直接开平方法求解一元二次方程，都可用因式分解法来求解。第31页（3）配方法：把一元二次方程变形为左边是一个含有未知数完全平方式，右边是一个非负常数，然后利用直接开平方法求解。这种解一元二次方程方法叫做配方法。①配方法依据是公式a2

2ab

b2

(a

b)2。

第32页②用配方法解一元二次方程普通步骤是：第一步：方程两边都除以二次项系数，将二次项系数化为1（假如方程二次项系数是1，则不需此步，直接进行下一步）。第二步：移项，将含未知数项移至方程左边，常数项移到方程右边。第三步：配方，先在方程左、右两边都加上一次项系数二分之一平方，再利用公式a2

2ab

b2

(a

b)2将方程化成2

a形式。第四步：当a

0时，利用直接开平方法求解。第33页（4）公式法：把一元二次方程化成普通形式后，把各项系数a、b、c值代入求根公式

中，直接求得方程解。这种解方程方法叫做公式法。①利用公式法求解一元二次方程时，需先将其转化成普通形式ax2

bx

c

0(a

0)，再明确a、b、c值，并求出b24ac值，当b24ac

0时，即可将a、b、c及b24ac值代入公式中求出方程解。第34页②因为负数没有平方根，故当b24ac＜0时， 无意义，从而原方程无实数根。③求根公式推导利用是配方法，还可用另一个方法推导：在方程ax2

bx

c

0两边都乘以4a，得4a2x2

4abx

4ac

0。移项，得4a2x2

4abx

4