第08讲 全等三角形的常见模型（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（8年级人教版）

第08讲全等三角形的常见模型【人教版】·模块一“X”型·模块二共顶点的三角形旋转（手拉手模型）·模块三一线三垂直型·模块四中点型·模块五课后作业模块一模块一“X”型【例1】如图，AB与CD相交于点O，且O是AB，CD的中点，则△AOC与A．SAS B．ASA C．SSS D．HL【例2】如图，线段AC，BD相交于点O，且AO=OC，BO=OD，DE=BF，CE=9cm，求AF【例3】如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)若AE=13，AF=7，试求DE的长．【变式1】如图，点C是AE上一点，CD交EB于点F，CF=DF，EA∥

模块二模块二共顶点的三角形旋转（手拉手模型）【例1】如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为（）A．6 B．5 C．3 D．2【例2】如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝10°，则∠ABE是()A．75° B．78° C．80° D．92°【例3】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，点C的对应点为点C'，C'B'的延长线交A．△ABC≅△AB'CC．∠CDC'=∠CAC'【变式1】如图，已知O是等边△ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD=OA，∠AOB=120°，那么∠BDC=_____．【变式3】以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连结BE、CF.（1）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角.（2）试探索BE和CF有什么数量关系和位置关系？并说明理由.模块三模块三一线三垂直型【例1】如图，两座建筑物AB，CD相距160m，小月从点B沿BC走向点C，行走ts后她到达点E，此时她仰望两座建筑物的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA=ED．已知建筑物AB的高为60m，小月行走的速度为1m/s，则小月行走的时间t的值为（

）A．100 B．80 C．60 D．50【例2】如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是（A．8cm B．4cm C．3cm D．2cm【例3】如图，已知点O（0，0），P（1，2），将线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，则第19秒时，点O的对应点坐标为（）A．（0，0） B．（3，1） C．（﹣1，3） D．（2，4）【变式1】如图，点A，B，D在同一条直线上，且∠A=∠D=90°，AC=BD，∠ABC=∠DEB．连接CE，试判断△CBE的形状，并说明理由．【变式2】如图，RtΔABC中，∠ACB=90°, BC=2, AC=3，点D在RtΔABC的边AC上，DC=m，以BD为直角边在AC同侧作等腰直角三角形BDE，使BD=DE=n，连接AE，若A．nm=6 B．m+n=5 C．n-m=1 D．2n=3m【变式3】已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）模块四模块四中点型【例1】在△ABC中，AC=6，中线AD=10，则AB边的长可以是（

）A．30 B．22 C．14 D．6【例2】某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程．(1)求证：△ABD≌△ECD证明：延长AD到点E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（）CD＝（中点定义）∴△ABD≌△ECD（）(2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是；(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】如下图，△ABC中，∠B=90°，AB=2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=4，且∠ADE=90°，求AE的长．【例3】我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．【变式1】如图，在△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．【变式2】如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交AD于点F，已知AE=EF．求证：AC=BF．【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为__________．模块五模块五课后作业1．如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BBA．SSS B．SAS C．AAS D．ASA2．如图，在△ABC中，AB=7，AC=9，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（

）A．2<AD<16 B．0<AD<16 C．1<AD<8 D．7<AD<93.如图，ΔABC中，D是边BC的中点，过点C作CE//AB,交AD的延长线于点E．求证:D是AE的中点．证明:∵CE//AB(已知)，∴∠B=_(两直线平行，内错角相等)，∵D是边BC的中点，∴BD=(_），(_），在ΔABD和ΔECD中，∠ADB=∠EDCBD=CD∴ΔABD≅ΔECD()，∴AD=(全等三角形的对应边相等)，∴D是AE的中点．4.如图,点P是等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB的度数______．5．如图，AB，CD相交于点O，AO=CO，DO=BO，连接AD，6．如图，AD，BC相交于点O，OB=OC，OA=OD，延长AD到F，延长DA到E，AE=DF，连接

7．（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A,BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D,E．求证：DE=BD+CE．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由．8．如图，A4,0,B0,6，以B点为直角顶点在第一象限作等腰直角ΔABC，则C9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．10.如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD．（1）试证明：△ACD≌△EBD；（2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求证：BG＝AC．11．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．(1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系．(2)如图2，当点D在线段BC延长线