2021-2022学年安徽省六安外国语某中学高二（上）期末数学试卷（附答案详解）

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202L2022学年安徽省六安外国语高级中学高二(上)期末数学

试卷

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知4(2,旧)，8(1,0),则直线48的倾斜角为()

A.B.IC.vD,

6436

2.圆心为(1,一2),半径为3的圆的方程是()

A.(x+I)2+(y-2)2=9B.(x-I)2+(y4-2)2=3

C.(x+I)2+(y—2)2=3D.(x—1尸+(y+2)2=9

3.已知直线x+ay-2=0与圆产+*=1相切，则。的值是()

A.1B.±1C.V3D.+V3

4.已知等差数列｛即｝且3(。2+。6)+2^6+a10+诙4)=24,则数列｛斯｝的前13项之和为

()

A.26B.39C.104D.52

5.已知数列｛&｝中，%=2,a=1—~~(«>2),则02021等于()

nan-l

A.-1B.C.ID.2

6.己知数列｛5｝为等差数列，且2%,2,2a6成等比数列，则｛%｝前6项的和为()

A.15B.yC.6D.3

7.已知4（一1,1,2）,8（1,0,—1）,设。在直线48上，且而=2而，设+九1+，），若CD_L

AB,贝D的值为（）

A.B.CC.|D.1

8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PB1平面ABCD,ABIBC,PB=2B=p

2BC=2.则点C到直线P4的距离为（）飞、

A：W

B«lZ\/

C.V28c

D.2

9.已知双曲线的两个焦点为0（一圾0）,「2（6,0）,P是此双曲线上的一点，且P&1PF2，

\PF1\-\PF2\=2,则该双曲线的方程是（）

A'B.JT=1C.^-y2=lD.x2-^=l

10.己知点Fi，F2分别是椭圆||+9=1的左、右焦点，点P在此椭圆上，Z.F1PF2=60°,则

△PF1F2的面积等于（）

A.V3B.3V3C.6V3D.9娼

11.已知抛物线C：、2=4%的焦点为凡点「为抛物线（;上一点，点4（2,2）,则|P4|+|PF|的最

小值为（）

A.V5B.2C.V10D.3

12.已知抛物线C：y2=2Px（p>0）的焦点F与椭圆E：[+[=1的一个焦点重合，过坐标原

43

点。作两条互相垂直的射线。M,ON,与C分别交于M,N,则直线MN过定点（）

A.（4,0）B.（-4,0）C.（-1,0）D.（1,0）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知元=（1,2,-1）为平面a的一个法向量，日=（一2,尢1）为直线1的方向向量.若1〃a,则

X■.

14.圆/+y2=4上的点到直线4x+3y-12=0的距离的最大值为.

15.己知数列｛斯｝的前几项和为，且满足S.，的=1,anan+1=2",则S2021=.

16.已知椭圆［+4=1的左焦点为尸，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原

95

点0为圆心，|0F|为半径的圆上，则直线PF的斜率是.

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知公差不为零的等差数列｛斯｝的前n项和为又，的，a2,成等比数列且满足______.请在

①S4=16；（2）ag=3a3+2.③S5=a”+6这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并

回答以下问题.（1）求数列｛a｝的通项公式；（2）设b=——，求数列｛%｝的前n项和

nnanan+l

18.（本小题12.0分）

如图所示,ABCD-公名口劣是棱长为a的正方体,M是棱长［的中点，N是棱为以的中点.

（1）求直线4N与平面所成角的正弦值;

（2）求当到平面4NC的距离.

19.（本小题12.0分）

已知椭圆C：务*l（a>b>0）的长轴长是短轴长的鱼倍，且经过点（企,1）.

（1）求C的标准方程；

（2）已知C的右顶点为4,过C右焦点的直线I与C交于不同的两点M,N,求AAMN面积的最大

值.

20.（本小题12.0分）

已知等比数列｛an｝的公比q>1,且由，的等差中项为10,a2=8.

（I）求数列｛a"的通项公式；

（H）设垢=£,求数列｛b｝的前n项和5.

21.(本小题12.0分)

如图，矩形4BCD和菱形48EF所在的平面相互垂直，/.ABE=60",G为BE的中点.

(1)求证：4G,平面40F；

(【1)若43=百8(2,求二面角。一C4-G的余弦值.

22.(本小题12.0分)

已知抛物线7：/=2py(p>0),直线y=kx+1交7于4,B两点，且当k=l时，\AB\-8.

(1)求p的值；

(2)如图，抛物线7在4,B两点处的切线分别与y轴交于C,D,AC和BC交于G,GC+GD+GE=

0.证明：存在实数入，使得福=A而.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

先求出直线AB的斜率，由此能求出直线AB的倾斜角.

本题考查直线的倾斜角的求法，考查斜率计算公式、直线的倾斜角等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

【解答】

解：•.•4(2,®5(1,0),

•・・直线4B的斜率k=等=遮，

1—2

.••直线4B的倾斜角为宗

故选：B.

2.【答案】D

【解析】解：•.•圆心为(1,一2),半径为3

二圆的方程为(％-1产+(y+2/=9

故选：D.

根据圆心坐标及半径，即可得到圆的方程.

本题考查圆的标准方程，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：,:直线x+ay-2=0与圆/+y2=1相切，

2

•••击下=1nM=3,即。=+V3.

故选：D.

由圆心到直线的距离对于半径即可列式求解.

考查了直线与圆的位置关系，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的运算，考查等差数列的通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

利用等差数列通项公式和前n项和公式能求出结果.

【解答】

解：等差数列｛即｝且3®2+。6)+2(。6+aio+a14)=24,

:.3(。1+3+%+5d)+2(。］+5d+%+9d+的+13d)=24,

整理得的+6d=2,

1o

二数列｛0｝的前13项之和为S13=—(ax+a13)=13(%+6d)=13x2=26.

故选：A.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查数列的周期性，属于基础题.

由己知条件分别求出数列的前4项，从而得到数列｛斯｝是以3为周期的周期数列，由此能求出

0-2021=。2，可得结果.

【解答】

1

解：：数列｛a.｝中，%=2,a=1---(n>2),

nun-l

d11

a2=1--=

的=1~T=-1,

a4=1—(―1)=2,

数列｛an｝是以3为周期的周期数列，

•・・2021=3x673+2,

1

a2021=a2=2'

故答案选：c.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的通项公式和等比数列的性质，求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题.

设等差数列的公差为d,由等比数列的中项性质，结合等差数列的求和公式，即可得到所求和.

【解答】

解：数列｛斯｝为公差为d的等差数列，且2%,2,2a$成等比数列，

可得4=2al•2a6=2g+a6,

可得的+a6=2,

即有｛即｝前6项的和为:x6(即+a6)=6.

故选：C.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的共线定理与数量积的应用问题，是基础题.

设出点。(x,y,z),利用向量的坐标表示与共线定理求出点。的坐标，再利用向量垂直数量积为0,

列出方程求出4的值.

【解答】

解:设。(x,y,z),则而=(x+l,y-l,z-2),

AB=(2,—1,-3)>DB=(1—x,—y,—1—z),

■■■AD=2~DB,

••(%+l,y—l,z—2)=2(1—x,~y,-1—z)；

俨+1=2(1—%)

即y—1=-2y,

z—2=-2—2z

解得％=py=pz=0；

•••呜11泰0),又caW1+AJ+Q,

CD=—A,—A,—1—A),

•••CD1说，

.-.CD-AB=2(^-A)+X-3(-1-A)=0,

解得;1=一”.

6

故选B.

8.【答案】A

【解析】解：取P4中点M,连接BM、CM和4C,

因为PBJ•平面ABCD,所以PB_L4B,PB1BC,

因为PB=AB=2BC=2,所以BC=1,PA=2&，PC=V22+I2=

6，

又因为4B_LBC,所以AC=>/22+1.2=有,

因为4C=PC,所以CM1P4

所以点C到直线PA的距离为CM=>JPC2-PM2=V5^2=8,

故选：A.

寻找CM垂直P4转化为解直角三角形问题.

本题考查了点到直线的距离问题，属于基础题.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的定义与标准方程，属于基础题.

先设双曲线的方程，求得。2=4,川=5—4=1,即可得解.

【解答】

解：设双曲线的方程为刍一斗=1.

*廿

由题意得：\\PF1\-\PF2\\=2a,

|P0|2+仍尸2『=(2而)2=20,

又•••|PF1|“PF2|=2,

:.4a2=20—2x2=16,

a2=4,h2=5—4=1,

2

所以双曲线的方程为3-y2=i.

4J

故选c.

10.【答案】B

【解析】解：由椭圆|^+卷=1可得：a2=25,b2=9,c2=a2-b2=16.

即I&F2I=2c=8,

若P在此椭圆上，且NF/%=60°,

则IPF/+IPF2I=2a=10,

rncnr._|PFi『+|PF2『-|FiF2|2_100-2|PFi|・|PF2|-64_1

12

-2\PFA\\PF2\一2\PFy\-\PF2\-2'

解可得IPFSPF2I=12,

则4MF/2的面积S=g\PF1\\PF2\sin600=33

故选：B.

根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，求出a、b的值，由椭圆的几何性质可得c的值，则有

\FJ2\=2c,由椭圆的定义可得IMF/+IMF2I=2a,结合余弦定理计算可得IMaIIMF2I的值，由

余弦定理分析可得答案.

本题考查椭圆的几何性质，涉及余弦定理、正弦定理的应用，关键是运用余弦定理分析得到

IPF/IPF2I的值•

11.【答案】D

【解析】解：抛物线C：y2=4x的准线1：x=-l,

显然点4在抛物线C内，过4作于M,交抛物线C于P,如图所示,

在抛物线C上任取不同于点P的点P',过P作PN11于点N,连接PF,AN,P'A,P'F,

由抛物线的定义可知，|P4|+\PF\=\PA\+\PM\=\AM\<\AN\<\P'N\+\P'A\=\P'A\+\P'F\,

故(|P4|+仍川U讥=\AM\=2-(-1)=3,即点P是过4作准线的垂线与抛物线C的交点时，

\PA\+|PF|取最小值,

故|P4|+|PF|的最小值为3.

故选：D.

求出抛物线C的准线1的方程，过4作，的垂线段，结合几何意义，以及抛物线的定义，即可求解.

本题主要考查抛物线的定义，属于基础题.

12.【答案】A

【解析】解：由椭圆E方程知其焦点坐标为(±1,0),

又抛物线C的焦点Fg,O),

P

解得

所

以-=P2

2=

所以抛物线C的方程为y2=4x,

设直线MN的方程为x=my+t,

联立［；2一2?^+'，得V--4t=0,

则4=16m2+16t>0,即m2+t>0.

设照2，丫2），

则yi+y2=4m,yry2=-4t,

所以x62==t2,

因为OM1ON,

2

所以。M-ON—XyXj+VIVT=t_4t=0,

解得t=0或4,

又M,N与坐标原点。不重合，

所以t=4,

所以直线MN的方程为x=my+4,

当y-。时，x=4,

所以直线MN恒过定点(4,0),

故选:A.

由椭圆方程可得F点坐标，由此求得抛物线的方程，设MN直线的方程为x=rny+t,与抛物线方

程联立得韦达定理，根据OM1ON,可得丽.丽=0,由此构造方程求得3根据直线过定点的

求法可得答案.

本题考查了直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.

13.【答案】|

【解析】解：l//a,An-a=-2+2/1-1=0,

可得;l=|.

故答案为:|.

由〃/a,可得五•五=0,即可得出.

本题考查了线面平行性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

14.【答案】y

【解析】解：由圆/+y2=4可得圆心为(0,0),半径为2,

圆上的点到直线的最大距离为圆心(0,0)到直线距离d加半径r,则d=凉口=T，

则最大距离为d+r=y+2=y.

故答案为：y.

求得圆/+y2=4的圆心到直线4x+3y—12=0的距离即可求解.

本题考查直线与圆的位置关系，属基础题.

15.【答案】21°12—3

nn1

【解析】解：因为%=l9anan+1=2，所以助=2,当九＞2时,an^an=2一】，・•・如==2,

an—l2

所以数列｛an｝的奇数项和偶数项分别构成以2为公比的等比数列，

所以S2021=+。3+…+。2021+。2+。4+…+。2020=1+2+4+…+21010+21+2?+…+

21010_田门=2、

故答案为：21012—3.

利用数列的递推关系式推出数列｛斯｝的奇数项和偶数项分别是等比数列，然后求解数列的和即可.

本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

16.【答案】V15

【解析】

【分析】

本题主要考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理、余弦定理，属于中档题.

求得椭圆的a,b,c,设椭圆的右焦点为F',连接PF',运用三角形的中位线定理和椭圆定理求得

△PFF'各边长，利用余弦定理求NPFF'的余弦值，进而可求该角的正切值，即为直线PF的斜率.

【解答】

解：椭圆总+[=1的a=3,b=V5,c=2,

设椭圆的右焦点为F',连接PF',

线段PF的中点4在以原点。为圆心，2为半径的圆上,

连接40,可得|PF，|=2|40|=4,

△PFF'中，PF=6-PF'=2,FF'=4,PF'=4,

由余弦定理得C0S4PF9=也芷乎!

42+22-42_1,

2x2x4=4,

・•・sin乙PFF'=

・・・即直线的斜率为

hLC1n11"FF'=V15,PF5.

故答案为

17.【答案】①

【解析】解：(1)由题意,设等差数列｛an｝的公差为d(dHO),

则。2=Qi+d,Q5=+4d,

,：%，。2，。5成等比数列，

・•・al=%。5，即(％+切=。式的+4d),

化简整理，得d(d—2%)=0,

d丰0,d—2。］,

方案一：选择条件①

AyQ

由S4=16,可得S4=4al+—，—d=16,

化简整理，可得2%+3d=8,

联立3d=8,

(a=2al

解得｛建G

・•・Qn=1+2(n-1)=2n—1,nEN

方案二：选择条件②

由=3a3+2,可得%+8d=3(%+2d)+2,

化简整理，得出-d=—1,

联嘴二I'

解得｛建j

・•・an=14-2(n-1)=2n—1,nWN*.

方案三：选择条件③

由S5=%0+6,可得5alH——d.=%+9d+6,

化简整理，得4%+d=6,

解得｛建3

・•・an=1+2(n-1)=2n—1,nGN*.

(2)由(1),可得"i="n+i=(2n-l)(2n+l)=2(2n-l-2n+l)，

则〃=瓦+匕2+…+5n

1-1.,1A1、，，1,11、

=晨(1-5)+2.(§—/“+鼠(n一罚)

=1.(i++_2----------L_)

2k3352n-l2n+P

11

="一罚)

n

=2n+l*

(1)先设等差数列｛〃｝的公差为d(d丰0),再根据等差数列的通项公式和等比中项的性质列出关于

首项由与公差d的一个方程，然后根据条件①②③分别列出关于首项由与公差d的另一个方程，

联立组成方程组，解出的与d的值，即可计算出数列｛即｝的通项公式；

(2)先根据第(1)题的结果计算出数列｛%｝的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和巴.

本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和问题.考查了方程思想，转化与化

归思想，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.

18.【答案】解：以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(a,0,0),N(],0,a),易知平面BBiDi。的一个法向量为前;=(—a,a,0)>

又前=(一，0,a),直线AN与平面8当。1。所成角为氏

则s讥"lcos<而方>।=।篇蓊=।标%+。2=端

.•・直线AN与平面BBiQD所成角的正弦值为得

(2)设平面ANC的一^法向量为元=(x,y,z),又才？=(一a,a,0)，AN=(-^,0,a),

n•~AC=—ax+ay=0

则可取元=(2,2,1),

n•~AN=-5X+QZ=0

又Bi(Q,a,a),则福*=(0,a,a)，

•••点/到平面4NC的距离为噜*=|"编|=a.

【解析】(1)建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为/=(-a,a,0)及丽=

(-，0,a),再利用向量的夹角公式即可得解；

(2)直接利用向量公式求点到平面的距离即可.

本题考查利用空间向量求线面角的正弦值以及点到平面的距离，考查运算求解能力，属于中档题.

a=y/2b

19.【答案】解：（1）由题意2,1

解得a=2,b=>/2>

所以椭圆的标准方程为1+4=1.

42

（2）点4（2,0）,右焦点F（加,0）,由题意知直线/的斜率不为0,

故设2的方程为%=my+故,M（孙兆）,'（外心），

y2

4.21，消去工,整理得（zn?+2）y2+2\/2my—2=0,

x=my4-V2,

・•・△=16（m2+1）>0,%+、2=一^为为=一;

2

•・・（加一为产=（乃+y2）-4yiy2=（篝/+岛=箫宇，

..4Vm2+1

・',MF=#/'

1广

・•・S—MN='x（2-V2）x\yr-y2\

1

=2(2-V2)

m2+2

=2(2-烟而士二“2-烟

Im2+l

当且仅当m=0时等号成立，此时/：x=V2,

所以△2MN面积的最大值为2-V2.

【解析】(1)利用已知条件，结合椭圆方程求出a,b,即可得到椭圆方程.

(2)设出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理，弦长公式，列出三角形的面积，再利用

基本不等式转化求解即可.

本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，是难题.

20.【答案】解：(I)由题意可得：F】a+y)=2o,

Q=o

:.2q2—5q+2=0,

•:q>1,

.pl=4

“b=2'

•・•数列｛a"的通项公式为斯=2n+1(nGN*).

(1【也=#f，

.•4=提+垓+於+…+向，

112n—1n

2与c=/+/+…+海I+9较，

上述两式相减,可得如=最+提+会+…黄一向'

1111n

••金=灵+小+丁严

1___1_

_2n+1n_【n+2

=-2T------=1-

【解析】本题考查数列的递推关系式，数列求和的方法，考查计算能力.

(I)利用已知条件求出首项与公差，然后求数列Sn｝的通项公式：

(n)化简%=利用错位相减法求数列｛bn｝的前n项和S".

21.【答案】(I)证明：•.•矩形4BCD和菱形4BEF所在的平面相互垂直，ADS.AB,平面4BCCn平

^ABEF=AB,4Du平面48CD,

AD，平面4BEF,

vAGu平面4BEF,•••AD1AG,

•••菱形4BEF中，/ABE=60。，则AABE为等边三角形，G为BE的中点.

AAG1BE,5LAF//BE,得4G1AF.

­,­ADQAF=A,4。u平面u平面ADF,

AG!_平面4DF；

(H)解：由(I)可知4D,AF,AG两两垂直，

如图所示以4为坐标原点，4G为%轴，4尸为y轴，4n为z轴，建立空间直角坐标系,

设AB=V3FC=V3,则BC=1,AG=

故A(0,0,0),C(|,-y,l).0(0,0,1)，G(1,0,0),

则前=(|,-91)，而=(0,0,1)，XG=(|,0,0),

设平面4CD的一个法向量为汨=(%i，yi，Zi),

由此生=%-%+?=。,取为=遮,得河=(1,6,0)，

显•AD=Zi=0

设平面ACG的法向量荻=(x2,y2fz2)f

由1\，取丫2=2,得何=(0,2,遮)，

(荻•AG=-x2=0

设二面角O-C4-G的平面角为凡由图可知J为钝角，

同•可二百

则cos。=-2V21