2024-2025学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（教学用书）教案 新人教A版选修2-1

2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质（教学用书）教案新人教A版选修2-1授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容《新人教A版选修2-1》第2章“圆锥曲线与方程”的第2.2.2节“椭圆的简单几何性质”。本节课的主要内容包括：

1.椭圆的标准方程及其性质

2.椭圆的长轴、短轴、焦距、半焦距的定义与计算

3.椭圆的离心率及其计算方法

4.椭圆的面积公式及其应用

5.椭圆与其他圆锥曲线的比较和联系

本节课的重点是让学生掌握椭圆的基本几何性质，理解椭圆的标准方程与性质之间的关系，并能运用所学知识解决实际问题。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象和逻辑推理能力。通过学习椭圆的标准方程及其性质，学生能够抽象出椭圆的基本特征，并用数学语言进行描述。同时，通过推导椭圆的长轴、短轴、焦距、半焦距和离心率的计算方法，学生能够锻炼自己的逻辑推理能力。此外，通过比较和联系椭圆与其他圆锥曲线，学生能够提升自己的数学建模和数学运算能力，将所学知识应用于解决实际问题。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：在学习本节课之前，学生应该已经掌握了初中阶段关于圆锥曲线的基本知识，包括抛物线和双曲线的性质。同时，学生应该具备一定的高中数学基础，如函数、方程、坐标系等。此外，学生还需要了解一些几何图形的性质，如三角形的边角关系等。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：针对高中生，他们对数学具有一定的兴趣和热情。在学习能力方面，高中生具备较强的逻辑推理和抽象思维能力，能够理解和掌握较为复杂的数学概念和性质。在学习风格上，一部分学生喜欢通过自主探索来学习新知识，而另一部分学生则更倾向于通过听讲和模仿来学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习椭圆的简单几何性质时，学生可能对椭圆的标准方程与性质之间的关系产生困惑。此外，计算椭圆的长轴、短轴、焦距、半焦距和离心率时，学生可能会遇到难以理解和运用公式的问题。此外，将所学知识应用于解决实际问题，如地理测绘中的地球椭球体问题，可能对学生提出较高的要求。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《新人教A版选修2-1》第2章“圆锥曲线与方程”的第2.2.2节“椭圆的简单几何性质”的教材或学习资料，以便学生能够跟随教学进度进行学习和复习。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，以便在课堂上进行直观展示和解释，帮助学生更好地理解和掌握椭圆的简单几何性质。例如，可以准备椭圆的图形、长轴、短轴、焦距、半焦距和离心率的示例图和计算公式的推导过程。

3.实验器材：如果本节课涉及到实验操作，需要提前准备实验器材，并确保其完整性和安全性。例如，可以准备一些小球和绳子，让学生通过实际操作来观察和体验椭圆的形成和几何性质。

4.教室布置：根据教学需要，对教室环境进行布置。可以设置分组讨论区，供学生进行小组讨论和合作学习；设置实验操作台，供学生进行实验操作和观察。此外，还需要确保教室内的黑板、投影仪等教学设备正常运行，以便进行多媒体教学和演示。

5.教学工具：准备教学PPT或者黑板教案，将教学内容和知识点进行系统整理和展示。通过清晰的PPT或者黑板教案，能够帮助学生更好地理解和掌握椭圆的简单几何性质。

6.练习题库：准备一些与本节课内容相关的练习题，以便在课堂结束后进行巩固练习和复习。练习题可以包括选择题、填空题、解答题等形式，难度要适中，能够检验学生对椭圆简单几何性质的理解和掌握程度。

7.反馈问卷：准备一些反馈问卷，以便在课程结束后收集学生对课程内容和教学方法的反馈意见。反馈问卷可以包括对椭圆简单几何性质的理解程度、学习兴趣、教学资源的充足程度等方面的评价。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对椭圆的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道椭圆是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”

展示一些关于椭圆的图片或视频片段，让学生初步感受椭圆的魅力或特点。

简短介绍椭圆的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.椭圆基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解椭圆的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解椭圆的定义，包括其主要组成元素或结构。

详细介绍椭圆的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.椭圆案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解椭圆的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的椭圆案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解椭圆的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用椭圆解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与椭圆相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对椭圆的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调椭圆的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括椭圆的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调椭圆在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用椭圆。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于椭圆的短文或报告，以巩固学习效果。知识点梳理本节课的主要知识点包括：

1.椭圆的定义及标准方程：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。椭圆的标准方程为：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(a\)和\(b\)分别是椭圆的半长轴和半短轴。

2.椭圆的性质：

-焦点：椭圆的两个焦点到中心的距离分别为\(c\)和\(-c\)，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。

-顶点：椭圆的四个顶点分别为\((a,0)\)、\((-a,0)\)、\((0,b)\)和\((0,-b)\)。

-离心率：椭圆的离心率\(e\)为\(\frac{c}{a}\)，它是一个无单位的数值，用于描述椭圆的扁率。

-面积公式：椭圆的面积\(S\)为\(\piab\)。

3.椭圆的长轴、短轴、焦距、半焦距：

-长轴：椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，长度为\(2a\)。

-短轴：椭圆的短轴是垂直于长轴的线段，长度为\(2b\)。

-焦距：椭圆的焦距是两个焦点之间的距离，长度为\(2c\)。

-半焦距：椭圆的半焦距是焦距的一半，长度为\(c\)。

4.椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为\(x=a\cos\theta\)和\(y=b\sin\theta\)，其中\(\theta\)是参数，取值范围为\([0,2\pi]\)。

5.椭圆与其他圆锥曲线的比较：椭圆与其他圆锥曲线（如抛物线和双曲线）的主要区别在于它们的标准方程、几何性质和应用领域。

6.椭圆的实际应用：椭圆在现实生活中有广泛的应用，例如地球的椭球体模型、卫星轨道、光学仪器等。反思改进措施（一）教学特色创新

1.情境教学：通过引入生活实例和实际应用场景，让学生更好地理解和感受椭圆的意义和作用。例如，可以借助地球椭球体模型来说明椭圆在地理测绘中的应用。

2.互动式学习：鼓励学生积极参与课堂讨论和问题解答，促进师生之间的互动和交流。可以设置一些开放性问题，引导学生进行思考和探索，培养他们的创新思维。

3.多元化的评价方式：不仅仅依赖于传统的笔试考试，还可以通过学生的课堂表现、小组讨论和作业完成情况进行综合评价，以全面了解学生的学习情况。

（二）存在主要问题

1.学生理解困难：部分学生可能对椭圆的概念和性质理解起来比较困难，特别是对于焦距、半焦距等概念的计算和应用。

2.教学方法单一：如果只是单纯地讲解和演示，学生可能会感到枯燥乏味，缺乏主动学习的动力。

3.实践机会不足：由于课堂时间有限，学生可能缺乏足够的实践机会来巩固所学知识，特别是对于实际应用的练习。

（三）改进措施

1.差异化教学：针对不同学生的学习水平和理解能力，采取差异化教学策略，给予学生个性化的指导和帮助。对于理解有困难的学生，可以通过举例和讲解来加深他们的理解。

2.引入互动教学：通过小组讨论、角色扮演等方式，让学生在互动中学习，提高他们的学习兴趣和参与度。例如，可以让学生分组讨论椭圆在实际应用中的例子，并互相分享。

3.增加实践环节：尽量在课堂上安排一些实践活动，让学生亲手操作和体验，从而加深对椭圆性质的理解。例如，可以让学生自己动手制作椭圆模型，观察和测量其几何性质。

4.利用多媒体资源：合理利用多媒体课件和视频资源，以生动形象的方式展示椭圆的性质和应用，帮助学生更好地理解和记忆。

5.鼓励学生提问和思考：鼓励学生积极提问，引导他们进行思考和探索，培养他们的批判性思维和问题解决能力。

6.定期进行教学反馈：及时收集学生的学习反馈，了解他们的学习需求和困难，不断调整和改进教学方法和内容。课后作业1.计算椭圆的长轴、短轴、焦距和半焦距，给定椭圆的半长轴\(a=6\)和半短轴\(b=4\)。

2.求椭圆的离心率，已知椭圆的半长轴\(a=10\)和半短轴\(b=4\)。

3.计算椭圆的面积，给定椭圆的半长轴\(a=8\)和半短轴\(b=3\)。

4.求椭圆的参数方程，已知椭圆的半长轴\(a=5\)和半短轴\(b=3\)。

5.画出一个椭圆，其半长轴\(a=7\)和半短轴\(b=3\)，标注焦点和顶点。

答案：

1.长轴\(2a=12\)，短轴\(2b=8\)，焦距\(2c=6\)，半焦距\(c=3\)。

2.离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{6}{10}=0.6\)。

3.面积\(S=\piab=\pi\times8\times3=24\pi\)。

4.参数方程：\(x=5\cos\theta\)，\(y=3\sin\theta\)，其中\(\theta\)取值范围为\([0,2\pi]\)。

5.画图略。板书设计1.椭圆的定义及标准方程：

椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。

标准方程：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

2.椭圆的性质：

焦点：\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)

顶点：\((a,0)\)，\((-a,0)\)，\((0,b)\)，\