高中数学-直线与平面所成角的求法-学法指导

PAGE高中数学直线与平面所成角的求法学法指导聂文喜 直线与平面所成角是空间三大角之一，它既是教与学的难点，又是高考的热点，为帮助同学们学好这一内容，本文系统介绍求直线与平面所成角的常用方法。 一、直接法 直接法就是根据斜线与平面所成角的定义，直接作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影所成角就是斜线与平面所成角，这是解题时首先要考虑的方法，直接法的关键是确定斜线在平面内的射影，下列结论常作为找斜线在平面内射影的依据。 （1）（两平面垂直的性质定理）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 （2）（教材P23·例4）如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在平面内的射影在这个角的平分线上。 （3）（教材P25·T6）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，设它和已知角的两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在平面的射影是这个角的平分线。 （4）若三棱锥的三条侧棱相等，则其顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。 例1已知正四面体ABCD中，E为AD的中点，求EC与平面BCD所成角的大小。 解：如图1，作EF⊥面BCD于F，AO⊥面BCD于O，连结FC，则∠ECF是直线EC与平面BCD所成角。图1 因E为AD的中点，所以EF=。 因为AB=AC=AD，所以O为正三角形BCD的中心。 设正四面体的棱长为a，则，AO=，所以EF=a。又EC=，在Rt△EFC中，sin∠ECF=。从而EC与平面BCD所成角为。 例2如图2，在正方体中，E、F分别是AB与的中点，求与平面所成角的大小。图2 解：如图2，设正方体的棱长为a，则，易证四边形A1ECF为菱形，A1C为∠EA1F 因为，所以在平面A1ECF的射影是∠EA1F的平分线A1C，所以∠B1A1C为直线A1B1与平面A1ECF所成角，连结B1C，在Rt△A1B1C中，tan∠ 故直线A1B1与平面A1ECF所成角为。 二、间接法 间接法就是当直接法不便于求解时，利用已知条件进行间接求解或证明的方法。 1.平移法 平移法就是利用两平行线与同一个平面所成角相等或一直线与两平行平面所成角相等，将斜线平移或将平面平移到恰当的位置，以便于确定斜线的射影位置。 例3如图3，在正方体中，求直线AA1与平面BDC1所成角的大小。图3 解法1：如图3，因为AA1//CC1，则CC1与平面BDC1所成角大小就是所求角大小。 连结AC交BD于O，再连结OC1 因为BD⊥面OCC1 所以面BDC1⊥面OCC1 过C作CE⊥OC1于E，则CE⊥面BDC1 所以∠CC1E是直线CC1与平面BDC1所成角 设正方体的棱长为a，则， 所以 在Rt△中，sin∠，所以直线AA1与平面BDC1所成角为 解法2：如图3，连结，则易知平面。 则AA1与平面AB1D1所成角大小即为所求角大小，同解法1，易得所求角大小为。2.公式法 如图4，斜线AO在平面α内的射影是AB，直线AC在平面α内，若∠OAB=θ1，∠BAC=θ2，∠OAC=θ，则cosθ=（见教材P44）。利用此公式可快捷、准确地求出一类直线与平面所成角。图4 例4（教材P46·T2）已知三个平面OAB、OBC、OAC相交于一点O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60°，求交线OA与平面OBC所成的角。 解：如图5，作AH⊥面OBC于H，连结OH图5 因为∠AOB=∠AOC=60°，所以点H在∠BOC的平分线上，所以∠BOH=30°，且∠AOH为直线OA与平面OBC所成角 由公式 所以cos60°=cos∠AOH·cos30° 所以cos∠AOH= 故直线OA与平面OBC所成角为3.向量法 设平面α的法向量为，斜线AB与平面α所成角为θ，与所夹锐角，则，从而。 例5（2004年重庆市高考题）如图6，四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF//CD，AM=EF。 （1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线； （2）若PA=3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。图6 解：（1）略 （2）建立如图6所示的空间直角坐标系，设AB=a，