高中数学选修21课时达标训练（十二）抛物线的几何性质

课时跟踪训练(十二)抛物线的几何性质1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是________．2．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．3．过点(0,1)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线有________条．4．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为________．5．已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则FM∶MN＝________.6．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．7．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1＝0截得的弦长为eq\r(15)，求此抛物线方程．8．已知抛物线y2＝2x.(1)设点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．答案1．解析：这里p＝4，焦点(2,0)，准线x＝－2，∴焦点到准线的距离是4.答案：42．解析：抛物线y2＝2x的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，准线方程为x＝－eq\f(1,2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AF＋BF＝x1＋eq\f(1,2)＋x2＋eq\f(1,2)＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.答案：23．解析：过点(0,1)，斜率不存在的直线为x＝0，满足与抛物线y2＝4x只有一个公共点．当斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1，再与y2＝4x联立整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，当k＝0时，方程是一次方程，有一个解，满足一个交点；当k≠0时，由Δ＝0可得k值有一个，即有一个公共点，所以满足题意的直线有3条．答案：34．解析：设抛物线方程为y2＝2px，则焦点坐标为(eq\f(p,2)，0)，将x＝eq\f(p,2)代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，故p＝6.点P在准线上，到AB的距离为p＝6，所以△PAB的面积为eq\f(1,2)×6×12＝36.答案：365．解析：如图所示，，过点M作MM′垂直于准线y＝－1于点M′，则由抛物线的定义知MM′＝FM，所以eq\f(FM,MN)＝eq\f(MM′,MN)，由于△MM′N∽△FOA，则eq\f(MM′,M′N)＝eq\f(OF,OA)＝eq\f(1,2)，则MM′∶MN＝1∶eq\r(5)，即FM∶MN＝1∶eq\r(5).答案：1∶eq\r(5)6．解：法一：设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点F(eq\f(p,2)，0)，由题设可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝6p，,\r(m2＋3－\f(p,2)2)＝5.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝2\r(6)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝－2\r(6).))故所求的抛物线方程为y2＝8x，m的值为±2eq\r(6).法二：设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，焦点F(eq\f(p,2)，0)，准线方程x＝－eq\f(p,2)，根据抛物线定义，点M到焦点的距离等于M到准线方程的距离，则3＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝4.因此抛物线方程为y2＝8x.又点M(3，m)在抛物线上，于是m2＝24，∴m＝±2eq\r(6).7．解：设抛物线方程为：x2＝ay(a≠0)，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝ay，,x－2y－1＝0.))消去y得：2x2－ax＋a＝0，∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a)2－4×2×a>0，即a<0或a>8.设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(a,2)，x1x2＝eq\f(a,2)，弦长为|AB|＝eq\r(\f(5,4)x1－x22)＝eq\r(\f(5,4)[x1＋x22－4x1x2])＝eq\f(1,4)eq\r(5a2－8a).∵|AB|＝eq\r(15)，∴eq\f(1,4)eq\r(5a2－8a)＝eq\r(15)，即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，∴所求抛物线方程为：x2＝－4y或x2＝12y.8．解：(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)))2＋2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))2＋eq\f(1,3).∵x≥0，且在此区间上函数单调递增，故当x＝0时，|PA|min＝eq\f(2,3)，故距点A最近的点的坐标为(0,0)．(2)法一：设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则P到直线x－y＋3＝0的距离为d＝eq\f(|x0－y0＋3|,\r(2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2)－y0＋3)),\r(2))＝eq\f(|y0－12＋5|,2\r(2)).当y0＝1时，dmin＝eq\f(5,2\r(2))＝eq\f(5\r(2),4).∴点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).法二：设与直线x－y＋3＝0平行的抛物线的切线为x－y＋t＝0，与y2＝2x联立，消去x，得y2－2y＋2t＝0，由Δ