2020-2021学年新教材高中数学导数及其应用6.1导数6.1.4求导法则及其应用课时素养检测含解析

十六求导法则及其应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.函数y=QUOTE的导数是 ()A.y′=QUOTE B.y′=QUOTEC.y′=-QUOTE D.y′=QUOTE【解析】选A.令u=1+v2,v=lnx,则y=QUOTE,所以y′x=y′u·u′v·v′x=QUOTE·2v·QUOTE=QUOTE·2lnx·QUOTE=QUOTE.2.若f(x)=QUOTE,则f(x)的导数是 ()A.f′(x)=QUOTEB.f′(x)=QUOTEC.f′(x)=QUOTED.f′(x)=QUOTE【解析】′(x)=QUOTE=QUOTE.【补偿训练】函数y=xln(2x+5)的导数为 ()A.y′=ln(2x+5)-QUOTEB.y′=ln(2x+5)+QUOTEC.y′=2xln(2x+5)D.y′=QUOTE【解析】′=[xln(2x+5)]′=x′ln(2x+5)+x[ln(2x+5)]′=ln(2x+5)+x·QUOTE·(2x+5)′=ln(2x+5)+QUOTE.3.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 () 【解析】′=3x2,故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3,故切线方程是y-12=3(x-1),令x=0得y=9.4.已知函数f(x)=QUOTEx2+cosx,f′(x)是函数f(x)的导函数,则f′(x)的图像大致是 ()【解析】选A.因为函数f(x)是偶函数,所以其导函数f′(x)=QUOTEx-sinx是奇函数,所以图像关于原点对称,所以排除B,D两项,又因为在原点右侧靠近原点的区间上,sinx>QUOTEx,所以f′(x)<0,所以原点右侧靠近原点的图像应该落在第四象限,故选A.【补偿训练】若函数f(x)=x2+bx+c的图像的顶点在第四象限,则函数f′(x)的图像是 ()【解析】选A.由函数f(x)=x2+bx+c的图像的顶点在第四象限,得b<0.又f′(x)=2x+b在R上是增函数且在y轴上的截距小于0,所以选A.5.(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为 ()A.y=-2x-1 B.y=-2x+1C.y=2x-3 D.y=2x+1【解析】选B.因为f(x)=x4-2x3,所以f′(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f′(1)=-2,因此,所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.6.(多选题)下列各函数的导数正确的是 ()A.(QUOTE)′=QUOTEB.(ax)′=axlnxC.(sin2x)′=cos2xD.QUOTE′=QUOTE【解析】选AD.(QUOTE)′=(QUOTE)′=QUOTE,A正确;(ax)′=axlna,B错误;(sin2x)′=cos2x·(2x)′=2cos2x,C错误;QUOTE′=QUOTE=QUOTE=QUOTE,D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2018·全国卷Ⅲ)曲线y=QUOTEex在点QUOTE处的切线的斜率为-2,则a=________.

【解析】由y=(ax+1)ex,所以y′=aex+(ax+1)ex=(ax+1+a)ex,故曲线y=(ax+1)ex在(0,1)处的切线的斜率为k=a+1=-2,解得a=-3.答案:-38.已知f(x)=QUOTEx3+3xf′(0),则f′QUOTE=________,f′(1)=________.

【解析】由于f′(0)是一常数,所以f′(x)=x2+3f′(0),令x=0,则f′(0)=0,所以f′(1)=12+3f′(0)=1.答案:01三、解答题(每小题10分,共20分)9.求下列函数的导数.(1)f(x)=QUOTE+lnx;(2)f(x)=axsinx-QUOTE(a∈R);(3)f(x)=(ex-1)(2x-1)k.【解析】(1)f′(x)=-QUOTE+QUOTE=QUOTE.(2)f′(x)=asinx+axcosx.(3)f′(x)=(ex-1)′(2x-1)k+(ex-1)QUOTE′=ex(2x-1)k+(ex-1)·2k(2x-1)k-1=(2x-1)k-1QUOTE.10.已知f′(x)是一次函数,x2f′(x)-(2x-1)·f(x)=1.求f(x)的解析式【解析】由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b.把f(x),f′(x)代入方程x2f′得:x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1,即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0.要使方程对任意x恒成立,则需要a=b,b=2c,c-1=0,解得a=2,b=2,c=1,所以f(x)=2x2+2x+1.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知点P在曲线y=QUOTE上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】′=-QUOTE=-QUOTE,设t=ex∈(0,+∞),则y′=-QUOTE=-QUOTE,因为t+QUOTE≥2(t=1时取等号),所以y′∈[-1,0),α∈QUOTE.2.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE【解析】′=e-2x·(-2)=-2e-2x,当x=0时,y′=-2e-2×0=-2.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2,y=0与y=x的图像,因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是QUOTE,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),结合图像可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于QUOTE×1×QUOTE=QUOTE.3.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M0QUOTE,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率是-10ln2(太贝克/年),则M(60)= ()太贝克 2太贝克2太贝克 太贝克【解析】′(t)=-QUOTEln2×M0QUOTE,由M′(30)=-QUOTEln2×M0QUOTE=-10ln2,解得M0=600,所以M(t)=600×QUOTE,所以t=60时,铯137的含量为M(60)=600×QUOTE=600×QUOTE=150(太贝克).4.曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 ()A.QUOTE B.2QUOTE QUOTE 【解析】选A.设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.因为y′=QUOTE,所以y′QUOTE=QUOTE=2,解得x0=1,所以y0=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0).所以切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为d=QUOTE=QUOTE,即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是QUOTE.二、填空题(每小题5分,共20分)5.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=________.

【解析】令g(x)=(x+1)(x+2)…(x+n),则f(x)=xg(x),求导得f′(x)=x′g(x)+xg′(x)=g(x)+xg′(x),所以f′(0)=g(0)+0×g′(0)=g(0)=1×2×3×…×n.答案:1×2×3×…×n6.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为______.

【解析】设切点坐标是(x0,x0+1),依题意有QUOTE由此得x0+1=0,x0=-1,a=2.答案:27.曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为________.

【解析】y′=ex+xex+2,则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k=e0+0+2=3,所以所求切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.答案:y=3x+18.若曲线f(x)=x·sinx+1在x=QUOTE处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a=________.

【解析】因为f′(x)=sinx+xcosx,所以f′QUOTE=sinQUOTE+QUOTEcosQUOTE=1.又直线ax+2y+1=0的斜率为-QUOTE,所以根据题意得1×QUOTE=-1,解得a=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共30分)9.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+QUOTEx-9都相切,求实数a的值.【解析】因为y=x3,所以y′=3x2,设过(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,QUOTE),则在(x0,QUOTE)处的切线方程为y-QUOTE=3QUOTE(x-x0).将(1,0)代入得x0=0或x0=QUOTE.①当x0=0时,切线方程为y=0,则ax2+QUOTEx-9=0,Δ=QUOTE-4a×(-9)=0得a=-QUOTE.②当x0=QUOTE时,切线方程为y=QUOTEx-QUOTE,由QUOTE得ax2-3x-QUOTE=0,Δ=(-3)2-4aQUOTE=0,得a=-1.综上,a=-QUOTE或a=-1.10.已知曲线C:y2=2x-4.(1)求曲线C在点A(3,QUOTE)处的切线方程.(2)过原点O作直线l与曲线C交于A,B两个不同的点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【解析】(1)y>0时,y=QUOTE,所以y′=QUOTE,所以x=3时,y′=QUOTE,所以曲线C在点A(3,QUOTE)处的切线方程为y-QUOTE=QUOTE(x-3),即x-QUOTEy-1=0.(2)设l:y=kx,M(x,y),则将y=kx代入y2=2x-4,可得k2x2-2x+4=0,所以Δ=4-16k2>0,所以QUOTE>4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=QUOTE,所以y1+y2=QUOTE,所以x=QUOTE,y=QUOTE,所以线段AB的中点M的轨迹方程为y2=x(x>4).11.(1)已知函数y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=2x-1,求函数g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程.(2)已知函数f(x)=xlnx+mx2.若fQUOTE=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.【解析】(1)因为函数y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=2x-1,所以fQUOTE=3