高中数学集合考试题型大全,共17种题型(数学浪子制作)

集合重点考试题型大全 目录集合基本知识点 2题型一：元素的互异性 4题型二：含参方程的解集 5题型三：二次方程解集个数问题 6题型四：根据要求确定集合元素 8题型五：已知包含关系求参数值 9题型六：一次不等式解集间的关系 11题型七：二次方程解集相等的条件 12题型八：二次方程解集间的包含关系 13题型九：二次方程解集间的包含关系 14题型十：集合相等 16题型十一：二次不等式的交集 17题型十二：已知交并补集结果求参数值 18题型十三：已知交、并补集结果求参数范围 20题型十四：集合的混合运算 22题型十五：集合之间的关系 24题型十六：点集运算问题 25题型十七：用Venn图计算集合 27 集合基本知识点一、集合的含义与表示1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系3．常用数集及其表示符号：4．集合常用的表示方法：列举法、描述法、Venn图法．二、集合间的基本关系1．集合间的基本关系2．空集的定义及性质（1）我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做（2）空集是任何集合的子集，（3）空集是任何非空集合的真子集，3．子集的个数A为有限集合，，则：（1）A的子集个数是（2）A的真子集个数是（3）A的非空子集个数是（4）A的非空真子集个数是三、集合的运算题型一：元素的互异性例，求m的值．解析：，分两种情况讨论：①，解得，此时，违反了集合元素的互异性，舍去；②，解得（舍去）或，时，，符合条件；综上．变式,求m的值．解析：，需分三种情况讨论：①，解得，此时，违反了集合元素的互异性，舍去；②，解得，此时，符合条件，即成立；③，解得，此时，符合条件，即成立；综上．总结：按要求算出字母的值，一定要带回原集合验证是否满足互异性．练习1已知集合，则a的值为_______．解析：，∴；当时，，此时，违反了的互异性，不合题意；当时，，不合题意舍去，时，，符合题意．综上．答案：练习2已知集合，则实数a的值为________．解析：，则，分三种情况讨论：①当时，，，违反互异性，舍去；②当时,时，，符合条件；时，，不符合条件，舍去；③当时，，根据之前计算，舍去；综上答案：0题型二：含参方程的解集例分别求，，的解集．解析：第一个方程解集为；第二个方程有两个相等的实根3，根据互异性，它的解集为；第三个方程，由于m的值不确定，考虑到互异性的特殊情况，需分情况讨论：时，有重根，解集为；时，没有重根，解集为．变式方程的解集，元素总和恰好为3，求m．解析：①时，有重根，解集为，符号条件，∴时成立；②时，没有重根，解集为，令，解得，成立；综上．总结：对于含有参数的方程，因为集合互异性的存在，需对方程中的参数做讨论，通常为有重根和没有重根两种情况。练习1方程的解集，元素总和恰好为3，求m．解析：需讨论有重根和无重根的情况：①时，有重根，解集为，符合条件，∴成立；②时，有重根，解集为，符合条件，∴成立；③时，无重根，解集为，令，解得符合条件；综上或．练习2若集合中所有元素的和为1，则实数a的值是（）A．0B．1C．0或1D．解析：A集合中元素可能是a和1；根据元素和为1，当A中没有重根时，，集合为，符合要求；当A中有重根时，，集合为，符合要求；综上，a为0或1．答案：C题型三：二次方程解集个数问题例集合中有两个元素，求a的范围．解析：集合中有两个元素，说明方程有两个不相等的实数根，需同时满足两个条件：①保证方程式二次方程，即；②二次方程有两个不相等的根，即，解得；综上且．变式1集合中有一个元素，求a的范围．解析：集合中只有一个元素，说明方程的解只有一个，a为二次项的系数，所以首先要对a进行讨论，确定函数的性质，分为两种情况：①时，方程变为一次方程，有且只有一个解，∴符合题意；②时，方程变为二次方程，只有一解，则需满足，解得符合题意；综上或．变式2集合中有没有元素，求a的范围．解析：集合中没有元素，即为空集，方程无根，a为二次项的系数，所以首先要对a进行讨论，确定函数的性质，分为两种情况：①时，方程变为一次方程，有且只有一个解，不符合题意，舍去；②时，方程变为二次方程，无解，则需满足，解得符合题意；综上．总结：解决二次方程集合解集个数问题两个元素两根同时成立一个元素一根两种情况分开讨论没有元素无解两种情况分开讨论练习1若集合其中只有一个元素，则a=（）A．4B．2C．0D．0或4解析：①当时，方程为无解，此时A为空集，不符合题意；②当时，，解得（舍去）和；综上符合题意．答案：A练习2若集合中有且只有一个元素，则a的取值集合是（）A．B． C． D．解析：①当时，方程只有一个解，符合题意；②当时，，解得，符合题意；综上．答案：D练习3若集合有且仅有两个子集，则a=________．解析：因为A的子集只有两个，所以A中只有一个元素．①当时，方程只有一个解，符合题意；②当时，，解得，符合题意；综上．答案：题型四：根据要求确定集合元素例集合，，那么M的元素有几个？解析：把所有可能的情况列举出来：共6个结果，根据集合元素的互异性，重复结果只保留一个，∴，共4个元素．变式设集合，，则C中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6解析：根据题意，的值所有情况为：，，，，，．根据互异性，集合中的元素只有：1，2，3，4，共4个．答案：B总结：计算完成后一定要记得检验互异性，相同的结果只能记入一次．练习1已知集合，，则B中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．10解析：根据题意，的值所有情况为：当时，y分别取1，2，3，4，成立；当时，y分别取1，2，3，成立；当时，y分别取1，2，成立；当时，y取1，成立；综上可知，B中元素个数为10个．答案：D练习2已知集合，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．解析：，则带入不等式不成立，有两种情况：①时，分式无意义，即分母，，则；②时，，即，解得；综上．答案：A练习3已知集合，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．解析：由题意可知带入不等式成立，带入不等式不成立，则：解得：答案：D题型五：已知包含关系求参数值例1，求m的值．解析：由包含关系，中所有的元素都在中，对比两个集合中的元素，可知．变式1，求m的值．解析：由包含关系，中元素都在中，对比两个集合中的元素，需分情况讨论：①时，解得，此时变为或，前者违反了集合元素的互异性，舍去，∴符合题意；②时，解得或，此时变为或，变为或，均符合题意；综上或．总结：按要求算出字母的值，一定要带回原集合验证是否满足互异性．互异性！互异性！！互异性！！！三遍！！！例2，求m的值．解析：，，，则：①，得；②，得；综上或．变式2，求m的值．解析：，，，则：①时，成立；②时，成立；③时，成立；综上或．总结：当一次项或者二次项系数不确定时，应首先讨论系数为0时是否符合题意．练习1已知集合，，若,则x=（）A．0B．C．D．解析：，所以或，解得；时，，违反了集合的互异性，舍去．时符合题意．答案：C练习2已知集合，，若，则实数a的所有可能取值的集合为（）A．B．C．D．解析：，B是A的子集，B可能的情况为；当时，；当时，分别等于和1，．综上a所有可能取值集合为．答案：D题型六：一次不等式解集间的关系例已知集合，集合，且，求m的取值范围．解析：画出数轴，根据条件可得．变式1已知集合，集合，且，求m的取值范围．解析：根据题意画出数轴，可知，解得．变式2已知集合，集合，且，求m的取值范围．解析：由题意，可知B是A的子集，分两种情况讨论：①，令，解得，成立；·②，即时，由数轴可知，与无交集，所以无解；综上：．总结：画数轴分析是解决问题的好办法，不等式中x居于中间未必能取到数，忽略空集是常见的错误。练习1设集合，，若，则a的取值范围为_______．解析：画出数轴，根据包含关系，可知．答案：练习2已知集合，，若，实数m的取值范围是（）A．B．C．D．解析：分两种情况讨论：①时，成立，此时，解得；②时，即时，要使成立，画出数轴可知应满足，解得，又，∴综合①②，．答案：题型七：二次方程解集相等的条件例集合，，若，求a．解析：两集合相等，说明两二次方程解相等，方程的根一样，可以用系数相等来求解：令解得．变式1集合，，若，求a．解析：两集合相等，说明两二次方程解相等，方程的根一样，可以用系数相等来求解：首先B中的两边同除以2得到，保证两个方程二次项系数相等，再令保证一次项和常数项相等，解得．变式2集合，，若，求a．解析：A中方程，即，若，则，即B中方程，解得．总结：二次方程解集相等时，先看方程是否有解，有解时，令对应系数相等求解；无解时，令．练习已知集合，，若，则______．解析：，则两个方程对应系数相等，即，解得，所以34．答案：34题型八：二次方程解集间的包含关系例集合，，若，求a．解析：，，则B的可能集合为，，；①时，，解得；②B中只有一个元素时，方程，解得，分别代入B中方程，，可得时满足题意．综上：变式1设，，若，则实数a的取值范围是_______．解析：，即B是A的子集，共有四种可能的情况；①当时，方程无根，即，解得；②当时，方程有两个相等的实根0，由韦达定理；③当时，方程有两个相等的实根，由韦达定理；④当时，方程有两个不相等的实根0和,；综上．答案：变式2设集合，，若，则实数a=_______．解析：，，，则，∴．答案：2或3总结：处理二次方程解集包含关系，容易遗漏空集情况，要形成条件反射，把空集放在第一位来讨论，至于求子集对应的字母或系数，上面一共列出了三种方法，分别是带入法、韦达定理法、以及因式分解法，根据不同的题目选择合适的方法可提高解题速度，这里面的奥妙就是多加练习．练习设集合，集合，其中，如果，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．解析：，，则B可能的情况为；①当时，方程无根，即，解得；②当时，方程有两个相等的实根0，由韦达定理；③当时，方程有两个相等的实根，由韦达定理；④当时，方程有两个不相等的实根0和,；综上．答案：C题型九：二次方程解集间的包含关系例集合，，若，求k范围．解析：,，分两种情况讨论：①，即，得符合条件；②，即时，B的解集在之间，令，对称轴在之内，只需满足解得，又前提，∴；综上．总结：披着羊皮的狼！名为考察不等式集合，实质是对二次函数性质的深入挖掘，属于集合中的较高难度题型，结合图像掌握二次方程根的分布策略是解题的关键．练习1已知集合，集合，若，则集合A与实数k的取值范围分别是（）A．B． C．D．解析：；①当时，成立，此时满足，解得；②当时，B中方程的两根应均在内，设，则，解得；综上．答案：D练习2已知集合，，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．解析：①当时，成立，此时满足，解得；②当时，B中方程的两根应均在内，设，它的图像是一条开口向上的抛物线，结合二次函数图像，得，解得；综上．答案：A题型十：集合相等例集合，，求a和b的值．解析：两集合相等，说明集合中对应元素相同，经分析，若，则无意义，∴只能，则，集合变为，令，得，时违反集合元素的互异性，舍去，∴，综上，．总结：解决此类问题时，首先要有敏锐的观察力找到集合中可能相等元素，其次注意分式情况，分母不为0可以省去一支的讨论，缩短判断和解题的时间，最后就是一定要验证集合的互异性．练习1设，集合，则（）A．1B．C．2D．解析：由条件，且，可知，即，∴，自然，，则．答案：C练习2已知集合，，若，则a,b的值分为别（）A．B．C．D．解析，由题意可知①或②；由①解得或（不满足集合元素的互异性，舍去）；由②解得；综上．答案：D练习3已知集合，且下列三个关系：；；有且只有一个正确，则等于_______．解析：当时，都不满足条件；当时，都不满足条件；当时，不满足条件，满足条件；综上知带入．答案：201题型十一：二次不等式的交集例集合，，求．解析：，由题意画出数轴，．总结：主要考察二次不等式解集的求法，结合集合的知识点出题，比较基础．练习1集合，，求．解析：，由题意画出数轴，．练习2已知集合，集合B为整数集，则=（）A．B．C．D．解析：，B为整数集，则．答案：D题型十二：已知交并补集结果求参数值例1已知，，，求实数a．解析：由题意可知是3个9当中的两个，很明显．变式已知，，，求的值．解析：差1，,差3，比对并集中的数字，可知，符合题意，解得．例2，，，求a的取值．解析：由条件可知B中含有元素3，则．变式，，，求a的取值．解析：由条件知5是两个集合的公共元素，所以，解得；时，符合题意；时，，违反了集合元素的互异性，舍去；综上．例3设，，若，那p=________．解析：由题意可知，设两根为，令，则．变式不等式解集为Q，，若，那a=________．解析：，时恒成立，此时，不符合条件舍去，时，，根据题意画出数轴，可得，解得．总结：由交并补集的结果以及相应的运算性质去推导原来两个集合中的元素值，比较简单的题目可以直接观察出来，比较麻烦的题目需要多做几次尝试，但一定要注意元素的互异性．练习1已知集合，，且，求m，n的值．解析：，则两个方程的根只能从这三个数中取，设A中方程两根为，设B中方程两根为，根据韦达定理，根据对应关系，可知，即，分别代入一个根到原方程，解得．练习2设集合，，，则实数a=_______．解析：由知，在B中，则：①时，，此时，不满足元素的互异性，舍去；②时，，此时，，符合条件；综上．答案：练习3设，，若，则实数m=_______．解析：由题意可知，即0，3是方程的两个根，∴，解得．答案：题型十三：已知交、并补集结果求参数范围例1已知集合，，且，求m的取值范围．解析：根据条件画出数轴，可知m需在2的右侧，即．变式1已知集合，，，求a的取值范围．解析：由题目条件，画出数轴，可知a应在2和6中间，研究端点处的取值，如果，则A与B集合均取不到2，不符合题意，∴，如果，则符合题意，综上．变式2已知集合，，若，求a的取值范围．解析：，根据题意画出数轴，欲使，则A集合需把B集合取不到的中间区域覆盖，则在左侧，在3右侧；再讨论端点处，时，两集合都取不到，∴，即，时，A集合可取到3，符合条件，∴，即；综上．例2已知集合，，若，求a的取值范围．解析：由条件，画出数轴，可知a在7的右侧，则．变式1已知集合，，若，求a的取值范围．解析：由题意，画出数轴，可知要满足，即可．变式2已知集合，，若，求a的取值范围．解析由题意知，两个集合没有交集，可分两种情况讨论：①，令，解得，满足条件；②，此时，要使，画出数轴，可知B整体在A的左侧或者右侧；在左侧时，，解得，又，得；在右侧时，，又，得；综上或．总结：根据不同的情况灵活处理，核心思想是画数轴，通过尝试来满足题目的要求．关键点有两个：第一是端点处的讨论，能不能取到一定要仔细看好；第二是交集为空集的情况，有可能其中一个集合本身可知制造为空集．练习1设常数，集合，，若，则a的取值范围为（）A．B．C．D．解析：A中不等式的解集不确定，需要对a进行讨论；①时，恒成立，此时，，∴成立，；②时，，要满足，则，即，结合前提可得；③时，,要满足，则应满足，是恒成立的，所以可得符合条件．综上．答案：B练习2已知，，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．解析：分两种情况讨论：①，即时，，此时符合题意；②，此时，要，通过数轴可知需满足，解得，综上或．答案：D题型十四：集合的混合运算例1，，，求．解析：，则变式，，，求．解法一：，，则．解法二：，．例2已知集合，集合，其中，求a的值．解析：，A集合有解，所以令两集合中方程系数相等，得．变式1已知集合，集合，其中且，求a的值．解析：，，且满足，∴令B中方程，解得．变式2已知集合，集合，其中，求a的值．解析：，，根据题意画出数轴，可得，解得．总结：关于集合的混合运算，只需要按部就班的求交并补集即可，对于能用快速公式简化计算的，可以用一下和这两个公式．由混合运算的结果分析，可以得到原始两个集合的关系，例如：练习1已知集合A、B，全集，且，，则（）A．B．C．D．解析：由，可知，，则或或或，，则．答案：A练习2已知，，若，且，则m的取值范围是（）A．B．C．D．解析：，，又，B在A中但它们的交集为空集，只有这一种情况；所以当时，此时应满足且，解得．答案：A练习3已知集合，，若，且，则m的取值范围是（）A．B．C．D．解析：，又，B在A中但它们的交集为空集，只有这一种情况；当时，应满足，即．答案：A题型十五：集合之间的关系例1已知集合，，，求x．解析：，分两种情况讨论：①时，，此时违反集合中元素的互异性，舍去；②时，，时，，符合题意；综上：．例2，，则M和N的关系是（）A．B．C．D．解析：N中元素都在M中，则满足，C选项符合条件．答案：C例3，，A．B．C．D．解析：，画出数轴看一下关系，可知D正确．答案：D例4，，A、B的关系？解析：B中，A中，，都是平方加2的形式，则比a多取到一个0，由此可知B集合比A多一个元素，其余的都相同，则．总结：通过集合的相关性质，把题目中的条件转化为集合的包含关系，属于简单题型．判断集合之间的关系，从列举、不等式以及表达式三个方面来看，列举主要通过观察元素来确定关系，不等式可以借助数轴来观察，表达式需要一定的化简基础，尽量两个式子变成同样的构造．练习1若集合，，满足，则实数a组成的集合为_______．解析：由可知，，B中方程至多有1解，∴；当时，；当时，；当时，；故a的取值为．答案：练习2若，，且，则实数m=_______．解析：可知，，B中方程至多有1解，∴且；当时，解得；当时，解得；综上．答案：练习3已知集合，，则（）A．B．C．D．解析：，由集合关系可判断出，故B正确．答案：B题型十六：点集运算问题例1，，求．解析：两个集合中的元素均为对应函数上的点，所以两个集合的交集变为两个函数的交点问题，解方程组可得例2，，求．解析：A集合是函数上所有点的集合，B集合是上所有点的集合，B集合可变形为，即B中取不到点，其余与A一样，则．总结：点集的交集即为函数的交点，注意数集和点集的区分，如．在处理点集问题时，一定要小心函数解析式相同但定义域不同的情况，尤其是分式存在的情况，分母不为0这个小学生都明白的道理现在可不能翻车．练习1设集合，，则=______．解析：．答案：练习2设，，则A、B两个集合的关系是（）A．B．C．D．以上都不对解析：满足的条件为，解得，∴，A是点集，B是数集，它们之间不存在相互包含关系，所以选D．答案：D练习3，，求．解析：A集合是函数