四川孰眉市2024-2025学年高二数学下学期4月月考理科

Page9四川省峨眉市2024-2025学年高二数学下学期4月月考理科 本试题卷分第一部分（选择题）和其次部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，其次部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷.草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共50分）留意事项： 1．选择题必需用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上. 2．第一部分共12小题，每小题5分，共60分.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题只有一项是符合题目要求的.1.eq\f(1＋2i,1－2i)＝()A.－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)iB.－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)iC.－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)iD.－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i2．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极大值点的个数为()A．1B．2C．3D．43．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递减区间是()A．(－∞,2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2,＋∞)4．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1),若f′(1)＝－1,则a＝()A．eB.eq\f(1,e2)C.eq\f(1,e)D.eq\f(1,2)5.已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则eq\f(a＋i2020,1＋i)＝()A．1B．0C．1＋i D．1－i6．f(x)＝x(2020＋lnx)，若f′(x0)＝2021，则x0等于()A．1B．ln2C．e D．e27．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值为()A．0B.eq\f(4,e4)C.eq\f(2,e2) D.eq\f(1,e)8．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)()A．在(0，＋∞)上单调递增B．在(0，＋∞)上单调递减C．在上单调递减D．在上单调递增9.一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为()A．24＋2eq\r(5)B．24＋4eq\r(5)C．20＋4eq\r(5) D．20＋2eq\r(5)10.正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(7),2)11．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2021(x)＝()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．sinx＋cosx D．－sinx＋cosx12.已知函数f(x＋1)是偶函数，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝sinx－x，设a＝f，b＝f(3)，c＝f(0)，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜c其次部分（非选择题90分）留意事项： 1．考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清晰，答在试题卷上无效. 2．本部分共11小题，共100分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．已知函数f(x)＝x2－x,则f′(x)＝_______．14.设z＝eq\f(1－i,1＋i)，则|z|＝_______．15.若函数f(x)＝x－eq\f(1,3)sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是________．16.已知曲线f(x)＝x3＋ax＋eq\f(1,4)在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－lnx相切，则a的值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17．（本题10分）(1)已知曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).求曲线在点P(1,2)处的切线方程；(2)若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3,2)x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为?18．（本题12分）已知函数f(x)＝eq\f(x,4)＋eq\f(a,x)－lnx－eq\f(3,2),定义域(0,＋∞)其中a∈R,且曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y＝eq\f(1,2)x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．19．（本题12分）已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋b(x≠0),其中a,b∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y＝3x＋1,求函数f(x)的解析式；(2)探讨函数f(x)的单调性；(3)若对于随意的a∈,不等式f(x)≤10在上恒成立,求b的取值范围．20.（本题12分）峨眉山市某商场销售脆红李的阅历表明，该脆红李每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满意关系式y＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出脆红李11千克．(1)求a的值；(2)若脆红李的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售脆红李所获得的利润最大．21.（本题12分）如图所示，四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，△DAB≌△DCB，E为线段BD上的一点，且EB＝ED＝EC＝BC，连接CE并延长交AD于F.(1)若G为PD的中点，求证：平面PAD⊥平面CGF；(2)若BC＝2，PA＝3，求二面角B­CP­D的余弦值．22.（本题12分）已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2－ax＋a(a∈R)．(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且x2≥eq\r(e)x1(e为自然对数的底数)，求f(x2)－f(x1)的最大值．2024届高二下期4月月考数学试卷理科答案选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.eq\f(1＋2i,1－2i)＝(B)A.－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)iB.－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)iC.－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)iD.－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i2．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极大值点的个数为(A)A．1B．2C．3D．43.设x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于(D)A．第一象限B．其次象限C．第三象限 D．第四象限4．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1),若f′(1)＝－1,则a＝(C)A．eB.eq\f(1,e2)C.eq\f(1,e)D.eq\f(1,2)5.已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则eq\f(a＋i2020,1＋i)＝(D)A．1B．0C．1＋i D．1－i6．f(x)＝x(2020＋lnx)，若f′(x0)＝2021，则x0等于(A)A．1B．ln2C．e D．e27．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值为(D)A．0B.eq\f(4,e4)C.eq\f(2,e2) D.eq\f(1,e)8．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)(C)A．在(0，＋∞)上单调递增B．在(0，＋∞)上单调递减C．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上单调递减D．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上单调递增9.一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为(A)A．24＋2eq\r(5)B．24＋4eq\r(5)C．20＋4eq\r(5) D．20＋2eq\r(5)解析：如图所示，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE­DCMH，则该几何体的表面积S＝(2×2)×5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×2＋2×1＋2×eq\r(5)＝24＋2eq\r(5).10.正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(7),2)解析：如图，连接BE，因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝eq\r(5).又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).故选C.11．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2021(x)＝(C)A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．sinx＋cosx D．－sinx＋cosx解析：∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，…，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2021＝4×505＋1，∴f2021(x)＝f1(x)＝sinx+cosx.12.已知函数f(x＋1)是偶函数，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝sinx－x，设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，b＝f(3)，c＝f(0)，则a，b，c的大小关系为(D)A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜c解析：∵函数f(x＋1)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))，b＝f(3)，c＝f(0)＝f(2)．又∵当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝sinx－x，∴当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＝cosx－1≤0，即f(x)＝sinx－x在(1，＋∞)上为减函数，∴b＜a＜c.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．已知函数f(x)＝x2－x,则f′(x)＝_______．解析：f′(x)＝2x－1.14.设z＝eq\f(1－i,1＋i)，则|z|＝_______．解析：∵z＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝eq\f(－2i,2)＝i，∴|z|＝1.15.若函数f(x)＝x－eq\f(1,3)sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是________．解析：函数f(x)＝x－eq\f(1,3)sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f′(x)＝1－eq\f(2,3)cos2x＋acosx＝－eq\f(4,3)cos2x＋acosx＋eq\f(5,3)≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cosx＝t，则g(t)＝－eq\f(4,3)t2＋at＋eq\f(5,3)≥0在[－1,1]恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＝－\f(4,3)＋a＋\f(5,3)≥0，,g－1＝－\f(4,3)－a＋\f(5,3)≥0，))解得－eq\f(1,3)≤a≤eq\f(1,3).16.已知曲线f(x)＝x3＋ax＋eq\f(1,4)在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－lnx相切，则a的值为________．解析：由f(x)＝x3＋ax＋eq\f(1,4)，得f′(x)＝3x2＋a.∵f′(0)＝a，f(0)＝eq\f(1,4)，∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－eq\f(1,4)＝ax.设直线y－eq\f(1,4)＝ax与曲线g(x)＝－lnx相切于点(x0，－lnx0)，g′(x)＝－eq\f(1,x)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－lnx0－\f(1,4)＝ax0，①,a＝－\f(1,x0)，②,))将②代入①得lnx0＝eq\f(3,4)，∴x0＝eeq\f(3,4)，∴a＝－eq\f(1,e\f(3,4))＝－e－eq\f(3,4)三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17．（本题10分）(1)已知曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).求曲线在点P(1,2)处的切线方程；(2)若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3,2)x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为?解(1)∵P(1,2)在曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)上，且y′＝x2，2分∴在点P(1,2)处的切线的斜率为y′|x＝1＝14分∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－2＝1(x－1)，即x－y+1＝05分(2)f′(x)＝x2－3x＋a，7分且f(x)恰在[－1，4]上单调递减，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0，8分因此－1，4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－410分18．（本题12分）已知函数f(x)＝eq\f(x,4)＋eq\f(a,x)－lnx－eq\f(3,2),定义域(0,＋∞)其中a∈R,且曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y＝eq\f(1,2)x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解：(1)对f(x)求导,得f′(x)＝eq\f(1,4)－eq\f(a,x2)－eq\f(1,x)(x>0),2分由f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y＝eq\f(1,2)x,f′(1)＝－24分知f′(1)＝－eq\f(3,4)－a＝－2,解得a＝eq\f(5,4)6分(2)由(1)知f(x)＝eq\f(x,4)＋eq\f(5,4x)－lnx－eq\f(3,2),则f′(x)＝eq\f(x2－4x－5,4x2),8分令f′(x)＝0,解得x＝－1（舍去）或x＝59分当x∈(0,5)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,5)为减函数；10分当x∈(5,＋∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(5,＋∞)为增函数．11分由此知函数f(x)在x＝5时取得微小值f(5)＝－ln5,无极大值．12分19．（本题12分）已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋b(x≠0),其中a,b∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y＝3x＋1,求函数f(x)的解析式；(2)探讨函数f(x)的单调性；(3)若对于随意的a∈,不等式f(x)≤10在上恒成立,求b的取值范围．解：(1)f′(x)＝1－eq\f(a,x2)(x≠0),由已知及导数的几何意义得f′(1)＝3,则a＝－22分由切点P(1,f(1))在直线y＝3x＋1上可得－1＋b＝4,解得b＝5,3分所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－＋54分(2)由(1)知f′(x)＝1－eq\f(a,x2)(x≠0)．当a≤0时,明显f′(x)>0,这时f(x)在(－∞,0),(0,＋∞)上是增函数．5分当a>0时,令f′(x)＝0,解得x＝±eq\r(a),6分当x改变时,f′(x),f(x)的改变状况如下表：x(－∞,－eq\r(a))－eq\r(a)(－eq\r(a),0)(0,eq\r(a))eq\r(a)(eq\r(a),＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)极大值微小值所以当a>0时,f(x)在(－∞,－eq\r(a)),(eq\r(a),＋∞)上是增函数,在(－eq\r(a),0),(0,eq\r(a))上是减函数．8分(3)由(2)知,对于随意的a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)),不等式f(x)≤10在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))上恒成立等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))≤10，,f1≤10，))10分即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b≤\f(39,4)－4a，,b≤9－a))对于随意的a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))成立,从而得b≤eq\f(7,4),所以满意条件的b的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,4)))12分20.（本题12分）峨眉山市某商场销售脆红李的阅历表明，该脆红李每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满意关系式y＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出脆红李11千克．(1)求a的值；(2)若脆红李的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售脆红李所获得的利润最大．解(1)因为x＝5时，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝22分(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜64分从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)＝30(x－4)(x－6)．6分于是，当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减（若没有例表，求出单调递增或单调递减范围各给2分），表中有一处错扣一分10分由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大12分21.（本题12分）如图所示，四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，△DAB≌△DCB，E为线段BD上的一点，且EB＝ED＝EC＝BC，连接CE并延长交AD于F.(1)若G为PD的中点，求证：平面PAD⊥平面CGF；(2)若BC＝2，PA＝3，求二面角B­CP­D的余弦值．解：(1)证明：在△BCD中，EB＝ED＝EC＝BC，故∠BCD＝90°，∠CBE＝∠BEC＝60°.∵△DAB≌△DCB，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABE＝∠CBE＝60°，∴∠FED＝∠BEC＝∠ABE＝60°.∴AB∥EF，∴∠EFD＝∠BAD＝90°，∴EF⊥AD，AF＝FD.又PG＝GD，∴GF∥PA2分又PA⊥平面ABCD，∴GF⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，∴GF⊥AD.又GF∩EF＝F，(没有就扣1分)∴AD⊥平面CGF.又AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面CGF6分(2)以A为坐标原点，射线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(3，eq\r(3),0)，D(0,2eq\r(3),0)，P(0,0,3)，故eq\o(CB,\s\up7(→))＝(－1,－eq\r(3)，0),eq\o(CP,\s\up7(→))＝(－3,－eq\r(3)，3),eq\o(CD,\s\up7(→))＝(－3，eq\r(3),0)．设平面BCP的一个法向量为n1＝(1，y1，z1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·eq\o(CB,\s\up7(→))＝0，,n1·eq\o(CP,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－\r(3)y1＝0，,－3－\r(3)y1＋3z1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＝－\f(\r(3),3)，,z1＝\f(2,3)，))即n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),3)，\f(2,3)))8分设平面DCP的一个法向量为n2＝(1，y2，z2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，,n2·eq\o(CP,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＋\r(3)y2＝0，,－3－\r(3)y2＋3z2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝\r(3)，,z2＝2，))即n2＝(1，eq\r(3)，2)．10分所以cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq\f(\f(4,3),\r(\f(16,9))×\r(8))＝eq\f(\r(2),4)，由图知二面角B­CP­D为钝角，所以二面角B­CP­D的余弦值为－eq\f(\r(2),4)12分（符号错就扣1分）22.（本题12分）已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2－ax＋a(a∈R)．(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且x2≥eq\r(e)x