2025版新教材高中数学第七章三角函数7.1任意角的概念与蝗制7.1.2蝗制及其与角度制的换算课时作业新人教B版必修第三册

7．1.2弧度制及其与角度制的换算必备学问基础练进阶训练第一层1．300°化为弧度制是()A．eq\f(4π,3)B．eq\f(5π,3)C．eq\f(11π,6)D．eq\f(23π,12)2．下列各对角中，终边相同的是()A．eq\f(3,2)π和2kπ－eq\f(3,2)π，k∈ZB．－eq\f(π,5)和eq\f(22,5)πC．－eq\f(7,9)π和eq\f(11,9)πD．eq\f(20,3)π和eq\f(122,9)π3．一个扇形的弧长和面积的数值都是2，则这个扇形的中心角的弧度数为()A．eq\f(π,6)B．1C．eq\f(π,3)D．24．假如一扇形的圆心角为60°，半径等于3cm，则该扇形的弧长为________cm，面积为________cm2.5．已知角α＝－920°.(1)把角α写成2kπ＋β(0≤β<2π，k∈Z)的形式，并确定角α所在的象限；(2)若角γ与α的终边相同，且γ∈(－4π，－3π)，求角γ.6．用弧度制表示顶点在原点，始边位于x轴的正半轴，终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．关键实力综合练进阶训练其次层7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A．2B．4C．6D．88.如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π).若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为()A.eq\f(π,2)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,8)D．eq\f(π,16)9．(多选)下列转化结果正确的是()A．67°30′化成弧度是eq\f(3π,8)B．－eq\f(10π,3)化成角度是－600°C．－150°化成弧度是－eq\f(7π,6)D．eq\f(π,12)化成角度是15°10．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)11．时钟的分针在从1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为()A．eq\f(14,3)πB．－eq\f(14,3)πC．eq\f(7,18)πD．－eq\f(7,18)π12．集合{α|kπ＋eq\f(π,4)≤α≤kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}中角α表示的范围(阴影部分)是()13．已知扇形的面积为3π，圆心角为eq\f(2π,3)，则该扇形的弧长为________．14．已知扇形的周长为30.(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角α，弧长l及面积S；(2)求该扇形面积S的最大值及此时扇形的半径．核心素养升级练进阶训练第三层15.数学中到处存在着美，机械学家莱洛发觉的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是________．7．1.2弧度制及其与角度制的换算必备学问基础练1．答案：B解析：依据180°＝πrad，得300°＝eq\f(300,180)π(rad)＝eq\f(5π,3)(rad).故选B.2．答案：C解析：在弧度制下，终边相同的角相差2π的整数倍，eq\f(11,9)π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)π))＝2π，故选C项．3．答案：B解析：设扇形的中心角的弧度数为α，半径为r，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(αr＝2,\f(1,2)αr2＝2))，解得α＝1，r＝2，故选B.4．答案：πeq\f(3,2)π解析：圆心角为60°，即等于eq\f(π,3)，由弧长公式可得l＝αr＝eq\f(π,3)×3＝π，由扇形面积公式可得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×π×3＝eq\f(3π,2).5．解析：(1)因为α＝－920°＝－3×360°＋160°，160°＝eq\f(8π,9)，所以α＝－920°＝(－3)×2π＋eq\f(8π,9).所以角α与eq\f(8π,9)的终边相同．所以角α是其次象限角．(2)因为角γ与α的终边相同，所以设γ＝2kπ＋eq\f(8π,9)(k∈Z).因为γ∈(－4π，－3π)，由－4π<2kπ＋eq\f(8π,9)<－3π，k∈Z，可得－eq\f(22,9)<k<－eq\f(35,18)，k∈Z，所以k＝－2.所以γ＝－4π＋eq\f(8π,9)＝－eq\f(28π,9).6．解析：(1)如题图1，以射线OB为终边的一个角为330°，可看成－30°，化为弧度，即－eq\f(π,6)，而75°＝eq\f(5,12)π，∴终边落在阴影部分(不包括边界)内的角的集合为{α|2kπ－eq\f(π,6)<α<2kπ＋eq\f(5,12)π，k∈Z}．(2)如题图2，以射线OB为终边的一个角为225°，可看成是－135°，化为弧度，即－eq\f(3,4)π，而135°＝eq\f(3,4)π，∴终边落在阴影部分(不包括边界)内的角的集合为{β|2kπ－eq\f(3,4)π<β<2kπ＋eq\f(3,4)π，k∈Z}．(3)如题图3，∵30°＝eq\f(π,6)，210°＝eq\f(7π,6)，∴终边落在阴影部分(不包括边界)内的角的集合为{θ|2kπ＋eq\f(π,6)<θ<2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}∪{θ|2kπ＋eq\f(7π,6)<θ<2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z}＝{θ|2kπ＋eq\f(π,6)<θ<2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}∪{θ|(2k＋1)π＋eq\f(π,6)<θ<(2k＋1)π＋eq\f(π,2)，k∈Z}＝{θ|nπ＋eq\f(π,6)<θ<nπ＋eq\f(π,2)，n∈Z}．关键实力综合练7．答案：C解析：设扇形所在圆的半径为R，则2＝eq\f(1,2)×4×R2，所以R2＝1，所以R＝1.所以扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.故选C.8．答案：C解析：由图可知，α＝eq\f(1,8)×2π＝eq\f(π,4)，所以该扇形的面积S＝eq\f(1,2)×eq\f(π,4)×12＝eq\f(π,8).故选C.9．答案：ABD解析：对于A，67°30′＝67.5×eq\f(π,180)＝eq\f(3π,8)，故A正确；对于B，因为－eq\f(10π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－600°，所以－eq\f(10π,3)＝－600°，故B正确；对于C，－150°＝－150×eq\f(π,180)＝－eq\f(5π,6)，故C错误；对于D，因为eq\f(π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝15°，所以eq\f(π,12)＝15°，故D正确．故选ABD.10．答案：B解析：因为弦长等于半径，所以弦和两半径构成等边三角形，所以弦所对圆心角为60°，即为eq\f(π,3)rad.11．答案：B解析：明显分针在从1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了eq\f(7,3)周，故转过的弧度数为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)))×2π＝－eq\f(14,3)π.12．答案：C解析：kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)的终边为第一、三象限的角平分线，kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)的终边为y轴所在直线，故选C项．13．答案：2π解析：设扇形的半径为r，则S＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×r2＝3π⇒r＝3，所以该扇形的弧长为l＝αr＝eq\f(2π,3)×3＝2π.14．解析：(1)由题知扇形的半径r＝10，扇形的周长为30，∴l＋2r＝l＋20＝30，∴l＝10，α＝eq\f(l,r)＝eq\f(10,10)＝1，S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×10×10＝50.(2)设扇形的圆心角α，弧长l，半径为r，则l＋2r＝30，∴l＝30－2r，∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(30－2r)r＝(15－r)r≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15－r＋r,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(225,4)，当且仅当15－r＝r，即r＝eq\f(15,2)取等号，所以该扇形面积S的最大值为eq\f(225,4)，此时扇形的半径为eq\f(15,2).核心素