高中数学练习-函数零点问题

高中数学专题练习-函数零点问题

[题型分析•高考展望]函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难

度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数;二是由函数零点的个数或

取值范围求解参数的取值范围.

常考题型精析

题型一零点个数与零点区间问题

例1（1）（•湖北）已知段）是定义在R上的奇函数，当xNO时，兀¥）=/—3x,则函数g（x）=/（x）

一x+3的零点的集合为（）

A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}

C.{2一巾，1,3}D.{-2—巾，1,3}

2X—元＜1,

（2）（2015.北京）设函数段）=<

4(x—a)(x—2〃)，xNl.

①若a=\,则"r）的最小值为；

②若«x）恰有2个零点，则实数。的取值范围是.

点评确定函数零点的常用方法：

（1）若方程易求解时，用解方程判定法；

（2）数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，

可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式

等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.

变式训练1（•东营模拟）制表示不超过x的最大整数，例如[2.9]=2,[―4.1]=-5.已知凡r）=x

—[x](xGR),g(x)=log4(x—1),则函数/?(x)=Ax)—g(x)的零点个数是()

A.lB.2

C.3D.4

题型二由函数零点求参数范围问题

["F+Sx+q,xWO,

例2（•天津）已知函数危）=[、若函数y=«x）一如|恰有4个零点，则实数

2\x-2\,x>0.

a的取值范围为.

点评利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：

(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.

(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

变式训练2(•北京东城区模拟)函数加)是定义在R上的偶函数，且满足於+2)=%).当造［0,1］

时，段)=2x若在区间［—2,3］上方程以+2a—於)=0恰有四个不相等的实数根，则实数。的取

值范围是.

高考题型精练

1.已知xi,X2是函数_/0)=户一|lnx|的两个零点，则()

AA<¥1X2<1B.l<¥lX2<e

e

C.l<x\X2<10D.e<xi%2<10

2—\x\xW2,

2.(.天津)已知函数於)=3f函数g(x)=b—X2—x),其中若函数y=«x)

.(x2)2”,x>2,

一g(x)恰有4个零点，则8的取值范围是()

Ag，+°°)B.(-8,J

C(0,(ID.(2)

24一1xW］

3.(•福州模拟)已知函数*x)=一，’.'：则函数於)的零点为()

/十log”，X>1,

A.；,0B.-2,0

C.1D.O

4.函数,/(x)=2sinTLX—x+1的零点个数为()

A.4B.5

C.6D.7

5.设函数Hx)=4sin(2r+1)—x,则在下列区间中函数«r)不存在零点的是()

A.[-4,-2]B.[-2,0]

C.[0,2]D.[2,4]

6.(•课标全国I)己知函数人外二加一31+1,若/(九)存在唯一的零点xo,且xo>O,则a的取值

范围是()

A.(2,+°°)B.(—8,—2)

C.(l,+°°)D.(—8,—1)

logo.5(x+l),O<x<l,

7.定义在R上的奇函数人x),当x20时，〜则关于x的函数F(x)

、1\X3|9X19

=/U)—a(O<a<l)的所有零点之和为()

A.l-2aB.2a-1

C.l-27D.2-a-l

rn+3I/

8.(•北京朝阳区模拟)已知函数次x)=12J4，’若函数g(x)=/U)—Z有两个不同的零

Jog2X,0<x<2.

点，则实数%的取值范围是.

9.已知函数兀x)=logar+x—b(a>0,且a#函当2<a<3<b<4时,函数加)的零点次s(〃,〃+

1),z?eN\则〃=.

10.方程2一，十/=3的实数解的个数为.

［0,0«,

11.(•江苏)已知函数以)=|lnx|,g(x)=,2,，c〜则方程府)+g(x)|=l实根的个数为

Lr~4—2,x>l,

12.已知/U)是以2为周期的偶函数，当尤《［0,1］时，/W=x,且在［—1,3］内，关于龙的方程人龙)

=kx+k+l(k^R,AW-1)有四个根，则及的取值范围是.

答案精析

函数零点问题

常考题型精析

例1(1)D(2)①一1②1)”2,4-0°)

解析⑴令x<0,贝Ix>0,

所以—%)=(-+3x=/+3x.

因为7U)是定义在R上的奇函数，

所以>(—x)=—/U).

所以当x<0时，«x)=—%2—3x.

所以当xNO时，8(*)=/—以+3.令g(x)=O,即/—4x+BuO,解得x=l或x=3.当x<0时，

g(x)=—JC2—4x+3.令g(x)=O,即x2+4尤-3=0,解得x=-2+书>0(舍去)或x=—2一由.所

以函数g(x)有三个零点，故其集合为{—2—由，1,3}.

2X—1,x<\,

(2)①当。=1时，J(x)-

、4(x—1)(%—2),42L

当xvl时，危)=2工一1£(一1,1),

当工21时，段)=4(f一3%+2)

•»/(X)min=11.

②由于义X)恰有2个零点，分两种情况讨论：

当次》)=2*—4,x<l没有零点时，.22或aWO.

当心2时，j(x)=4(x-a)(x-2a),时，有2个零点;

当“W0时,J(x)=4(x-a)(,x-2d),时无零点.

因此“22满足题意.

当式x)=2'-a,x<l有一个零点时，0<a<2.

.*x)=4(x—a)(x—2a),有一个零点，此时a<l,2a»l,因此;Wa<l.

综上知实数a的取值范围是或。221.

变式训练1B[函数〃(x)=Ax)-g(x)的零点个数可转化为函数式光)与g(x)图象的交点个数，作

x+1,—IWXVO,

出函数y(x)=x-[x]=<X,0Wx<l,与函数g(x)=log4(尤一1)的大致图象如图，由图可

X—1,lWx<2,

知两函数图象的交点个数为2,即函数4(x)=/(x)—g(x)的零点个数是2.]

y

例2l<a<2

解析画出函数兀0的图象如图所示.

函数y=/U)—。国有4个零点，即函数的图象与函数兀X)的图象有4个交点(根据图象知

需a>0).

当a=2时，函数.*x)的图象与函数yi=a|x|的图象有3个交点.故«<2.

当了=。|川。应0)与、=4+5*+4|相切时，在整个定义域内，/U)的图象与>|=4国的图象有5个

交点，

y=­ax,

此时，由f,得f+(5—a)x+4=O.

j=-5x—4

由』=O得(5—a)?—16=0,解得a=l,或a=9(舍去),

则当l<a<2时，两个函数图象有4个交点.

故实数a的取值范围是1<«<2,

变式训练2声2a。2

解析由/(x+2)=/")得函数的周期是2.

由ax+2a—fix)=^得/U)=ax+2a,

设y=_Ax)，y=ax+2a,作出函数y=«r),y=ar+2a的图象，如图,

要使方程ax+2a-/U)=0恰有四个不相等的实数根，

则直线y=ax+2a=a(x+2)的斜率满足kAH<a<kAG,

由题意可知，G(l,2),H(3,2),4(—2,0),

22

所以碗=5,kAG=y

22

所以§<a<T

高考题型精练

1.A[在同一坐标系中画出函数y=e「与y=|lnx|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交

点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+8),即在

xi,九2中，其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+8).不妨设加金(0,1),326(1,+°°),

则有e-xi=|lnxi|=-lnxi£(eul),e-X2=|lnX2|=lnx2^(0,e'),e-X2-e—xi=

Inxj+lnxi=lnxix2£(—1,0),于是有e1<riX2<e°,即:<riX2<l.]

2.D防法一当x>2时，g(x)=x+b-4,/U)=(无一2%

当0W尤W2时，g(x)=b—x,«r)=2—x;

当x<0时，g(x)=h—x2,j(x)=2+x.

由于函数y=7U)—g(x)恰有4个零点，

所以方程«x)—gCr)=O恰有4个根.

当。=0时，当x>2时，方程y(x)—g(x)=O可化为/一5%+8=0,无解；

当0WxW2时，方程兀¥)—g(x)=O可化为2—x—(―x)=0,无解；

当x<0时，方程兀r)—g(x)=O可化为/+尤+2=0,无解.

所以。W0,排除答案B.

当8=2时，当尤>2时，方程式尤)一g(x)=O可化为(尤一2)2=%一2,得尤=2(舍去)或x=3,有1

解；

当0W无W2时，方程/U)—g(x)=O可化为2—尤=2—九，有无数个解；

当x<0时，方程凡r)—g(x)=0可化为2—/=x+2,得x=0(舍去)或x=-1,有1解.

所以。W2,排除答案A.

当6=1时，当x>2时，方程式外一g(x)=0可化为x2—5x+7=0,无解；

当0WxW2时，方程兀¥)—g(x)=0可化为1—x=2—x,无解；

当x<0时，方程«x)—g(x)=0可化为X2+光+1=0,无解.

所以。#1,排除答案C.因此答案选D.

方■法二记/?(x)=—A2—x)在同一坐标系中作出.*x)与/z(x)的图象如图，直线AB：y=x-4,当

\y=x+b',

直线/〃4?且与兀0的图象相切时，由f,

[y=(x—2Y，

997

解得分=一不一彳一(一4)=不

7

所以曲线久幻向上平移;个单位后，所得图象与./(X)的图象有两个公共点，平移2个单位后，两

7

图象有无数个公共点，因此，当a<〃<2时，凡r)与g(x)的图象有4个不同的交点，即y=/(x)

—g。)恰有4个零点.选D.]

1

--

3.D[当xWl时，由次0=2*—1=0,解得x=0;当x>l时，由/U)=l+log2%=0,解得2

又因为x>l,所以此时方程无解.综上，函数的零点只有0.]

4.B[V2sin7Lr—x+l=0,.*.2sin7tx=x—1,图象如图所示，由图象看出y=2sin⑪与y=x—

1有5个交点,

/.y（x）=2sinTtx~x+1的零点个数为5.]

5.A[/(0)=4sin1〉0,火2)=4sin5—2,由于兀<5<2兀,

所以sin5<0,故负2)<0,则函数在[0,2]上存在零点；

由于八一l)=4sin(—1)+1<0,故函数在［-1,0］上存在零点，也在［—2,0］上存在零点;

571-2

令xe[2,4],

4

„.57i—25兀5兀—25兀—218—5兀

则式)=4siny4-----4=4-4-----4〉0，

而人2)<0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]

6.B[f(1)=3加一6x,

当a=3时，f(x)=9x2—6x=3x(3x—2),

则当x£(—8,O)0t,f(x)>o^e(o,|)时，/(x)<o3e(|,+8)时，/(x)>0,注意.*0)=1,

x|)=|>0,则/(x)的大致图象如图1所示.

P产曲

/o\2x

图i

不符合题意，排除A、C.

433

当。=一)时，/(x)=-4/-6x=-2x(2x+3),则当日…，一2时"(*(),当正(一了

0)时，/(x)>0,当xW(0,+8)时，/。)<0,注意式o)=i,式一|)=一点则火》)的大致图象

如图2所示.

「J.

图2

不符合题意，排除D.］

7.A［当0Wx<l时，/U)W0.

由F(x)=«x)—a=0,画出函数y=«r)与y=a的图象如图.

函数F(x)=J(x')—a有5个零点.

当—l<x<0时，0<—%<1,

所以人一X)=Iog0.5(—x+1)=—log2(l—X),

即Xx)=log2(l—x),—1<r<0.

由兀v)=log2(l—x)=a,

解得尤=1—2“，

因为函数«x)为奇函