2023-2024学年四川省康定市数学高二年级上册期末检测试题含解析

2023-2024学年四川省康定市数学高二上期末检测试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/(x)=sinx+cosg,则/()

A.73B巫

2

C6+1D6

22

,CD,AC的中点，则g(A3+3C+CD)化简

2.如图，在四面体ABC。中，E,F,G,H分别为AB,BC

的结果为()

、匕D

B

A・BFB・EH

ULIUL

C.HGD.FG

已知函数一加的图象在点(；，/(；))处的切?

3./(x)=/nx+2x戋与直线x-2y=0垂直，则机=()

55

A.—B.——

44

55

C.-D.——

22

4.如图，已知四棱锥P-A5CD,底面A3CD是边长为4的菱形,且PB=PC=PD=4,E为AO的中点，

ZBAD=60°，则异面直线PC与5E所成角的余弦值为()

p

//\\

//D\*/C'

-----------

A8R6

A.»-----上5・------

46

C.昱D.@

46

5.已知直线依+2y—l=0与直线2x—3y+4=。垂直，则。=()

44

A.—B.----

33

C.-3D.3

6.若a>b,则下列正确的是()

A.a2>b2B.ac>be

11

C.—<—B.b—c<a—c

ab

22

7.设耳，8为双曲线G：j-1=1与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点尸，尸耳月是以线段PK

-25"

为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为,则双曲线C的离心率取值范围是()

二5]「125一

A.2,—B.—

L2J152」

-12-一

C.2,—D.[2,5]

8.某中学的校友会为感谢学校的教育之恩，准备在学校修建一座四角攒尖的思源亭如图它的上半部分的轮廓可近似看

作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30。，侧棱长为亚米，则以下说法不正确()

p

A.底面边长为6米B.体积为12石立方米

D.侧棱与底面所成角的正弦值为好

C.侧面积为24g平方米

5

9.已知直线/过点G（l,—3）,H（-2,1）,则直线/的方程为（)

A.4x+y+7=0B.2x-3y-n=0

C.4x+3y+5=0D.4x+3y—13=0

10.若双曲线经过点（6,6），且它的两条渐近线方程是y=±gx则双曲线的离心率是（）

10

B.—

3

C.y/wD.10

11.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）

45

A.-B.-

56

56

C.一D.-

77

12.已知抛物线J/=4x的焦点为R,点/在抛物线上，且|同|=3,则M的横坐标为（）

A.1B.V2

C.2D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.将车行的30辆大巴车编号为01,02,…，30,采用系统抽样方法抽取一个容量为3的样本，且在某组随机抽得

的一个号码为08,则剩下的两个号码依次是（按号码从小到大排列）

14.已知曲线y=/（九）在点/（2,〃2））处的切线方程是了=2%+5,则/⑵+/'（2）的值为

15.设向量b=（1,j,l）,c=（2,-4,2）,且a_Lc,bile，贝”a+0卜.

16.已知函数C:/（x）=lnx+x3,则曲线在点（L/（D）处的切线方程为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐

年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限x（单位：年）与失效费了（单位：万元）

的统计数据如下表所示：

使用年限X（单位：年）1234567

失效费y（单位：万元）2.903.303.604.404.805.205.90

（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与X的关系.请用相关系数加以说明；（精确到0.0D

（2）求出y关于X的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费

i=l

参考公式：相关系数r=

线性回归方程y^bx+a中斜率和截距最小二乘估计计算公式:d=y-bx

2

才卜-4

i=l

参考数据:7198.24^14.10

18.（12分）求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：

（1）已知椭圆的焦点在x轴上且一个顶点为4（2,0）,离心率为孝；

（2）求一个焦点为（5,0）,渐近线方程为y=的双曲线的标准方程；

（3）抛物线丁=2加（。＞0）,过其焦点斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,且线段A5的中点的纵坐标为2.

19.（12分）已知三棱柱ABC—A与£中，NAC3=90°,BB〔=2BC,平面ABC,AC=BC,E为A5中

点，。为A4上一点

（1）求证：AD±CE,

（2）当。为4片中点时，求平面ADC与平面44用3所成角的正弦值

22

20.（12分）已知椭圆。：=+2=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为耳，居，过右焦点B作直线/交。于

ab

A6,y）,5（孙%），其中%>0,%<0,-ABF］的周长为4应,C的离心率为与.

（1）求C的方程；

（2）已知△4月乙的重心为G,设34G和的面积比为彳，求实数X的取值范围.

21.（12分）已知圆C：£+2奴+2丁+4。—4=0的半径为1

（1）求实数。的值；

（2）判断直线/：%-丁-2=0与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长

22.（10分）已知数列｛q｝满足q=-1,记数列｛4｝的前几项和为S“，且5,+/=4为+1）,

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若々=4沁sg,求数列出｝的前100项和小

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】求出了'(%)，代值计算可得/的值.

【详解】因为/(x)=sinx+cos工，则/'G)=cosx,故/(工］=«)5工=走

316)62

故选：B.

2、C

【解析】根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案；

【详解】|(AB+BC+CD)=1(AC+CD)=|AD=|X2HG=HG

故选：C

3、C

【解析】对函数〃x)求导，利用导数的几何意义结合垂直关系计算作答.

【详解】函数/(x)=l2—mlnx+2x定义域为(0,+8),求导得尸(x)=2x---+2,

x

于是得函数/(X)的图象在点(1处切线的斜率k=n1)=3-2m,

而直线x—2y=0的斜率为:，依题意，gk=-l,即3—2m=—2,解得加=°,

所以加=*.

2

故选：C

4、B

【解析】根据异面直线的定义找出角NQEG即为所求，再利用余弦定理解三角形即可得出.

【详解】分别取BC,尸5的中点凡G,连接。凡尸G,DG,如图，

P

因为E为AO的中点，四边形A3C。是菱形，版以DFHBE,FGHPC,

所以NDEG(其补角)是异面直线PC与5E所成的角

因为底面ABC。是边长为4菱形，且PB=PC=PD=4,ZBAD=6Q°，

由余弦定理可知BE=JAE。+府-2AE•ABcos60°=,4+16—2>2>4xg=2G,

所以DF=BE=2瓜FG=2,DG=4XB=20，

2

DF°+FG°DG?_(2百)2+2?(2A)?_币

所以cosZDBG=

IDF-FG2X2A/3X26

所以异面直线PC与BE所成角的余弦值为鱼

6

故选：B

5、D

【解析】先分别求出两条直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积为-1,即可求出.

【详解】由已知得直线ox+2y—1=0与直线2x—3y+4=0的斜率分别为—■!、

•・•直线办+2y—l=0与直线2x—3y+4=0垂直，

a21y

•*------=-I,解得4=3,

23

故选：D.

6、D

【解析】根据不等式性质并结合反例，即可判断命题真假.

【详解】对于选项A：若〃2〉〃，贝!||。|〉|加，

由题意，a>b,不妨令a=l,b=-29则此时|。|<|口，这与结论矛盾，故A错误；

对于选项B：当时，若c=0,贝!）ac=Z?c,故B错误；

对于选项C：由不妨令4=1,b=-2f则此时,〉:，故C错误；

ab

对于选项D：由不等式性质，可知D正确.

故选：D.

7、A

22

【解析】设椭圆的标准方程为。2：三+二=1（根〉〃〉0），根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关

mn

系，再根据椭圆C2的离心率范围可得双曲线G的离心率取值范围.

22

【详解】设椭圆的标准方程为。2：三+与=1（根〉”〉0），归勾=2。，

mn

尸鸟PF】+2c=2m

则有已知＜]p41+1

[附I-照PFX-2c-la

rnn

两式相减得4c=2根—2a,即2=-------,

cc

c_1

"m2+->

c

25

因为一©

m~5'n

■—<------<——5

-5一°工。一12,解得2«c_«三

z+—a2

c

故选：A.

8、D

【解析】连接底面正方形ABCD的对角线AC,5。交于点。，连接P0,则P0为该正四棱锥P-ABC。的高，即

P0,平面ABC。，取CD的中点”，连接OH,PH,则的大小为侧面与底面所成，设正方形ABC。的边

长为。，求出该正四棱锥的底面边长，斜高和高，然后对选项进行逐一判断即可.

【详解】连接底面正方形ABCD的对角线AC,3。交于点。，连接P0

则P0为该正四棱锥P-ABCD的高，即POL平面ABC。

取CD的中点H,连接OH,PH,由正四棱锥的性质，可得PHLCD

由。H分别为的中点，所以OH//BC,则

所以ZPHO为二面角P-CD-0的平面角，由条件可得ZPHO=30°

设正方形ABCD的边长为a,则OH=£又=VPC2-CH2=J21-—

2V4

a

故选项A正确.

J12—9=百

则该正四棱锥的体积为丫=工义62义6=12&,故选项B正确.

3

该正四棱锥的侧面积为4X-XCDXPH=2X6X2A/3=24退，故选项C正确.

2

由题意NPCO为侧棱与底面所成角，则sin/PCO=£e=g=也，故选项D不正确.

PC7217

故选：D

9、C

【解析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.

【详解】由直线的两点式方程可得，

直线/的方程为2三=士1,即4x+3y+5=0

1+3-2-1

故选:C

10、A

2

【解析】由已知设双曲线方程为：会->2=/1（/1。0）,（6,6）代入求得4=1,计算即可得出离心率.

【详解】双曲线经过点（6,6），且它的两条渐近线方程是y=士；尤，

22人

设双曲线方程为：（6,6）代入得：y-3=2,2=1.

所以双曲线方程为：y-/=l.

a=3,b=l,c=y/10・

.••双曲线c的离心率为工=亚.

a3

故选：A

11、B

【解析】根据程序框图的循环逻辑写出其执行步骤，即可确定输出结果.

【详解】由程序框图的逻辑，执行步骤如下：

1、S=O,k=lkv6执行循环，S=-k=2；

z29

12

2、S=—,左=2：4＜6执行循环，S=—,k=3；

23

23

3、S=-,k=3：左＜6执行循环，S=—,左=4；

34

34

4、S=—,左=4：左＜6执行循环，S=—,k=5；

45

45

5、S=-,k=5t左＜6执行循环，S=—,k=6；

56

6,S=2,左=6：左＜6不成立，跳出循环.

6

输出的值为s=

6

故选：B.

12、C

【解析】利用抛物线的定义转化为到准线的距离，即可求得.

【详解】抛物线的焦点坐标为尸。⑼，准线方程为X=-1,|画|=如+1=3,

•*,均=2，

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、18,28

【解析】根据等距抽样的性质确定剩下的两个号码即可.

【详解】由于从30辆大巴车中抽取3辆车，故分组间距为10,又第一组的号码为08,

所以其它两个号码依次是18,28

故答案为：18,28.

14、11

【解析】根据给定条件结合导数的几何意义直接计算作答.

【详解】因曲线y=/（可在点M（2,〃2））处的切线方程是y=2x+5,则八2）=2,/⑵=2x2+5=9,

所以〃2）+/'（2）=9+2=11.

故答案为：11

15、3

【解析】利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出工九再由空间向量坐标运算法则求出Q+人由此能求

出|a+b|

【详解】解：设x,y^R,向量d=(羽1,1),b=(l,y,l)，C=(2,-4,2),

且a_L。，bile，

2x-4+2=0

，解得x=l,y=一2,所以@=(1,1,1),b=(1-2,1),

工一N一5

a+fe=(1,1,1)+(1,-2,1)=(2,-1,2),

:]a+b\=yj4+l+4=3

故答案为：3

16^4%—y—3=0

【解析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程.

，1

【详解】解：因/(x)=-+3x92,

X

所以左=/(1)=4,

又/⑴=L

故切线方程为y—i=4(x-1),

整理为4x-y-3=0,

故答案为：4x-y-3=0

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)答案见解析；(2)g=0.5x+2.3；失效费为6.3万元

【解析】(1)根据相关系数公式计算出相关系数厂可得结果;

(2)根据公式求出$和&可得V关于x的线性回归方程，再代入％=8可求出结果.

1+2+3+4+5+6+7

【详解】(1)由题意，知呈==4,

7

-2.90+3.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.90

y==4.30,

7

+（2-4）2+（3-4）2+（4-4）2+（5-4）2+（6-4）2+（7-4）2=28

i=l

14.0014.0014.00

结合参考数据知：r=.i=/--合--0-.-99

128x7.08V198.2414.10

因为y与X的相关系数近似为0.99,所以y与X的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与X的关系

a=y-bx=4.3-0.5x4=2.3

...y关于X的线性回归方程为y=0.5X+2.3,

将％=8代入线性回归方程得e=0.5x8+2.3=6.3万元,

.•.估算该种机械设备使用8年的失效费为6.3万元

22

18、（1）土+匕=1

42

22

⑵乙-乙=1

916

（3）y2=4x

【解析】(1)设椭圆的标准方程为=+A=l(a〉b〉0)，根据题意a=2,e=£=YZ，进而结合。？=/一02求解

aba2

即可得答案;

fb4

(2)设双曲线的方程为0—斗进而结合题意得。=5,-=再结合〃+4=/解方程即可

a2b2、)a3

得答案;、

(3)根据题意设直线AB的方程为丫=工-噂，进而与抛物线联立方程并消去x得2py-p2=。，再结合韦达定

理得P=2,进而得答案.

【小问1详解】

V2y1

解：根据题意，设椭圆的标准方程为工+=1（〃>Z?>0）,

aF

因为顶点为4（2,0）,离心率为当，

所以a=2,e=£=,

a2

所以c=\/2,b2=a2—c2=29

22

所以椭圆的方程为土+匕=1

42

【小问2详解】

解：因为双曲线的一个焦点为（5,0）,

22

设双曲线的方程为彳―*=1（。〉0力〉0）,c=5

4

因为渐近线方程为y=%，

所以—b=4因为从+〃2=。2

a3

所以〃=3,Z?=4,

22

所以双曲线的标准方程为±-2-=1

916

【小问3详解】

解：由题知抛物线的焦点为

因为过抛物线焦点斜率为1的直线交抛物线于4、5两点,

所以直线A3的方程为y=x-存，

y=x-P-

所以联立方程.'2,消去x得/一2座—p2=0,

/=2px

设人（%，％），5（%2，%），

所以％+%=2。，

因为线段A5的中点的纵坐标为2,

所以％+%=2。=4,解得p=2.

所以抛物线的标准方程为y2=4x.

19、(1)证明见解析；

⑵工

17

【解析】(1)利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即证;

(2)利用坐标法即求.

【小问1详解】

VC4=CB,E为A3中点，

：.CE±AB,

VM1平面ABC,CEu平面ABC,

：.AA.LCE,又CELAB,AB^AAl=A,

/.CE，平面A34A，ADu平面ABB^,

:.CE_LAD；

【小问2详解】

以C点为坐标原点，CA,CB,CG分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，不妨设AC=6C=1,则

11

C(O,O,O),JE[|,1,O|,A(I,O,O),D[1,1,2

22

B

平面AM出的法向量为EC=g,0

设平面ADC法向量为〃]=(再,％*1),

(x1,y1,z1)-(l,0,0)=0f_

nCA=0Ai-U

则A/、门1Ac，即,

4•CD=0'(Xi，%,zJ[/,/,2j=01为=一44

令4=1,则〃=(o,—4,1)

/.平面ADC与平面A&用5所成角的余弦值为

所以平面ADC与平面AA.B.B所成角的正弦值主叵.

17

2

20、(1)—+y2=1

2

(6-06+0、

(2)112,12J

【解析】(1)已知焦点弦三角形的周长，以及离心率求椭圆方程，待定系数直接求解即可.

(2)第一步设点设直线，第二步联立方程韦达定理，第三步条件转化，利用三角形等面积法，列方程，第四步利用韦

达定理进行转化，计算即可.

【小问1详解】

因为A34的周长为4夜，。的离心率为日，

所以4a=40，，所以a=0，c=l,

a2

又〃=a2—c1=],

2

所以椭圆C的方程为r工+V=1.

2

【小问2详解】

方法一：^(-1,0),6二(1,0),

BF】G的面积为SBFG=SB0F[+SGOF]+SGOB=SB0F[+,S40F1+§SAOB

111/、1/c\

：—5%++%(X-%)=-2%),

的面积为

ABF1sABFi=%-,

1Y]-2y2y32-2

则2=端—不，得①

3(%—%)为32-1

设/:%=。+1,与椭圆C方程联立,消去y得仔+2卜2+24-1=0,

-2t-1

由韦达定理得-%+%=/=不，乂%=/7?・

LI乙LI乙

令弘=加%,②

m<0

_j-za(m+lY-4/

则,(加可得1------L

mt2+2

2—1

I吵K

当f=0时，(2)=0

m

2

(m+1)-4z、

当。0时，m=-fe(-4,0)

1+产

所以T<('"+1)K0,又加<0

m

解得-3-20<m<-3+26③

由①②③得—3—2后<^^<—3+2后，解得

32-11212

(6-06+0)

所