2023年高考数学压轴题-圆锥曲线第08讲：三点共线问题（原卷版）

第八讲：三点共线问题

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，坐标的表示；

应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物线联立求解，并表示交点，向量，斜率等计算量；

拓展目标：能够熟练掌握三点共线的表达和求解方法.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生

的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形和坐标等的分析，在一定程度上可以进行坐标的计算,

达到解决解析几何的目的，因此在解析几何中的三点共线证明上，重点放在点的坐标的表示和计算中.

解析几何证明三点共线的方法：

(1)直接证明其中一点在过另两点的直线上；

(2)证明过其中一点和另两点所连两条直线斜率相等；

(3)证明过其中一点和另两点所连两个向量共线.

【考点剖析】

考点一：证明三点共线

例L已知椭圆u]+∕=lS>b>O)的离心率为正，上下顶点分别为48,且IN8∣=4.过点(1,0)的直线

与椭圆C相交于不同的两点N(不与点48重合).

⑴求椭圆C的方程；

⑵若直线与直线N=4相交于点P,求证：B,RM三点共线.

变式训练1：已知椭圆cJ+,=l(α>6>0)的离心率为当且过点卜网.

⑴求椭圆C的方程；

⑵已知力、8分别是椭圆C的左、右顶点，M是直线χ=2上不与8点重合的任意一点，O是坐标原点，与

直线OM垂直的直线8尸与C的另一个交点为P.求证：A.P、M三点共线.

变式训练2：已知椭圆cW+E=l(a>b>O)的右焦点为/(1,0),且经过点0(0,远).

Crb2

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的左顶点为P,过点尸的直线/(与X轴不重合)交椭圆于48两点，直线尸4交直线/':x=2〃于

点"，若直线/'上存在另一点N,使丽.丽=0.求证：P,8,N三点共线.

变式训练3：如图，在平面直角坐标系如中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线

交椭圆于P,A两点，其中点P在第一象限，过尸作X轴的垂线，垂足为C,设直线尸骨的斜率为底

⑴若直线RI平分线段朋N,求女的值；

⑵求APΛ∕N面积S的最大值，并指出对应的点尸的坐标；

⑶对任意的左>0,过点P作P/的垂线交椭圆于8,求证：A,C,B三

点共线.

考点二：已知三点共线(求坐标)

221

例L如图，已知椭圆E：⅞+4=l(α>⅛>0)的右焦点为F(1,0),离心率e=：,过F作一直线4交椭

ab^2

圆E于A,B两点(其中A在X轴的上方)，过点A作直线4：χ=4的垂线，垂足为C.

(1)求椭圆E的方程;

(2)问：在X轴上是否存在一个定点T,使得B,T,

线？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.

22

变式训练1：已知长轴长为2√Σ的椭圆C:：+4=l(a>6>0)过点,点尸是椭圆C的右焦点.

ab

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在X轴上的定点D,使得过点D的直线/交椭圆C于48两点，设E为点B关于X轴的对称点,

且三点共线？若存在，求。点坐标；若不存在，说明理由.

22

变式训练2：已知椭圆C:云r+方v=l(α>b>0)的一个顶点恰好是抛物线=4y的焦点，其离心率与双

曲线《-《=1的离心率互为倒数.

62

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若过椭圆的右焦点尸作与坐标轴不垂直的直线/交椭圆C于48两点，设点A关于X轴的对称点为P,

当直线/绕着点尸转动时，试探究：是否存在定点。，使得民P,。三点共线？若存在，求出点。的坐标；若

不存在，请说明理由.

变式训练3：已知椭圆。，+/=1(°>6>0)的一个顶点恰好是抛物线。“2=”的焦点，其离心率与双

曲线二一/=［的离心率互为倒数

4

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若过椭圆的右焦点尸作与坐标轴不垂直的直线/交椭圆C于A、B两点,设点A关于X轴的对称点为P,

当直线/绕着点尸转动时，试探究：是否存在定点。，使得8、P、。三点共线？若存在，求出点。的坐标;

若不存在，请说明理由.

考点三：已知三点共线求参

例L已知椭圆C：⅞+^-=l(a>h>O)的短轴长为2√L离心率为1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设",N分别为椭圆C的左、右顶点，过点。(1,0)且不与X轴重合的直线4与椭圆C相交于48两点

是否存在实数r(f>2),使得直线小X=，与直线BN的交点P满足尸,4M三点共线？若存在，求出4的

方程；若不存在，请说明理由.

22

Xy(α>ft>O)的右准线方程为x=4

变式训练1：已知椭圆C：RF=右顶点为A,上顶点为B,右焦

点为F,斜率为2的直线经过点A,且点F到直线的距离为W•

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)将直线绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P,当B,F,P三点共线时，试确定直线的斜率.

变式训练2：设双曲线UV-Δ-=1的上焦点为N是双曲线C上的两个不同的点.

3

⑴求双曲线C的渐近线方程；

⑵设直线MN与>轴交于点0(0,q),M关于y轴的对称点为ΛΓ.若M',EN三点共线，求证：4为定值.

变式训练3：已知椭圆C：+，=l(a>6>0)的离心率为半，N为椭圆C上任意一点，且已知P(1,0).

(1)若椭圆C的短轴长为4,求MPl的最大值；

(2)若直线4P交椭圆C的另一个点为3,直线/:x=4交X轴于点。，点A关于直线/对称点为/,且/,

8三点共线，求椭圆C的标准方程.

考点三：已知三点共线求范围

22ɔ

例L已知椭圆C：5+A∙=l(α>b>0)的离心率为且过点(一1,彳)，椭圆C的右顶点为A,点8的坐

abl2

标为(―,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知纵坐标不同的两点尸，。为椭圆C上的两个点，且S,P,。三点共线，线段尸。的中点为R,求

直线NR的斜率的取值范围.

变式训练1：在平面直角坐标系中，A∕8C的两个顶点A,8的坐标分别为(-1,0),(1,0),平面内两点G,

M同时满足以下3个条件：

①G是BC三条边中线的交点；②也是“8C的外心；③GM7/49.

(I)求AZ8C的顶点C的轨迹方程；

(D)若点P(2,0)与(I)中轨迹上的点E,♦三点共线,求IPEH尸尸I的取值范围.

变式训练2：如图，已知椭圆G：1+/=l,抛物线C2：/=2px(p>0),点A是椭圆G与抛物线G的交

点，过点A的直线，交椭圆G于点B,交抛物线C2于点”(B,〃不同于A).

(1)求椭圆G的焦距;

(2)设抛物线ɑ的焦点为尸，尸为抛物线上的点，且A、F、P三点共线，若存在不过原点的直线/使M

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为线段“5的中点，求由+同的最小直

考点四：证明三点共线(充要条件)

例L已知椭圆C方程为、+与=l(">6>0),右焦点为F(√∑,O),且离心率为逅.

a2b23

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线一+产=加。>0)相切证明：”,N,厂三点共线的充要

条件是IMNI=√3.

变式训练1：已知平面内两点片(-√∑,0)Z(√∑,0),动点P满足：|尸耳|+|尸用=2√J.

⑴求动点P的轨迹C的方程；

(2)设M,N是轨迹C上的两点，直线MN与曲线/+/=1。>0)相切.证明：M,N,乙三点共线的充要条

件是∣"N=√L

变式训练2：已知椭圆C的方程为捺+]∙=l(">6>0),长轴长为2√J,且离心率为牛

⑴求圆C的方程；

(2)过椭圆C上任意一点A作两条直线，与椭圆的另外两个交点为M,N,。为坐标原点，若直线和直

线/N的斜率存在且分别为勺和/.证明：M,O,N三点共线的充要条件是£•&=-3.

【当堂小结】

1、知识清单：

(1)椭圆，双曲线，抛物线弦长公式；

(2)弦长最值的基本不等式求解；

(3)交点坐标的求解和非弦长的计算；

2、易错点：弦长公式的计算，基本不等式的应用；

3.考查方法：基本不等式，数形结合思想，数与形的转化;

4、核心素养：数学运算，数学抽象.

【过关检测】

1.已知椭圆，+]∙=l(α>6>0)的左右顶点分别记为A、B,其长轴的长为4,离心率为孝.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)记08的中点为P,若动点”的横坐标恒为过点A作〃PH交椭圆于点Λ/,直线54交椭圆

于点N,求证：M、P,N三点共线.

2.过抛物线Cy=2px(p>0)焦点厂的直线交C于45两点，/为C的准线，O为坐标原点.过5做1/

于8∣,设/(士,必),8伍,必).

(1)求必”的值;

(2)求证：40,用三点共线.

2.已知椭圆。:£+与=1(α>6>0)的右焦点为F(1,O),左右顶点分别为A、B,∖BF∖=l,过点尸的直

ab

线/(不与X轴重合)交椭圆C于M、N点，直线x=4与X轴的交点为。，与直线的交点为P.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若APHDM,求出点P的坐标；

(3)求证：A、N、P三点共线.

3.如图，已知椭圆C：捺+/=l(α>b>0)的左、右顶点分别为4,4右焦点为尸(LO),右准线/的方程为

χ=4,过焦点厂的直线与椭圆C相交于点48(不与点重合).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)当直线的倾斜角为45°时，求弦48的长；

(3)设直线4"交/于点”，求证：民4,M三点共线.

4.已知抛物线C:_/=2px(p>0),广为其焦点，P(IM(y>0),48三点都在抛物线C上，且IEPl=2,

设直线AB,PA,PB的斜率分别为k,kl,k2.

(1)求抛物线C的方程，并证明(+；=：+1；

•VIK)ZC

⑵已知且4民M三点共线，若PALPB且&>右,求直线产/的方程.

5.在平面直角坐标系中，动点M到点尸(2,0)的距离和它到直线X=1的距离的比是常数2叵.

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(1)求动点M的轨迹方程；

(2)若过点尸作与坐标轴不垂直的直线/交动点M的轨迹于48两点，设点A关于X轴的对称点为尸，当

直线/绕着点厂转动时，试探究：是否存在定点。，使得民P,Q三点共线？若存在，求出点。的坐标；若不

存在，请说明理由.

2

6.已知椭圆的焦点在X轴上，它的一个顶点恰好是抛物线∕=4y的焦点，离心率e=忑，过椭圆的右焦点

F作与坐标轴不垂直的直线1,交椭圆于A、B两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设点用(见0)是线段OF上的一个动点，且(而+砺)1荏，求m的取值范围；

(3)设点C是点A关于X轴的对称点，在X轴上是否存在一个定点N,使得C、B、N三点共线？若存在,

求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由.

2

7.已知椭圆的焦点在X轴上，它的一个顶点为(0,1),离心率e=而，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直

的直线1,交椭圆于A、B两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设点/(m,0)是线段。尸上的一个动点，且(而+丽)1万，求m的取值范围；

(3)设点C是点A关于X轴的对称点，在X轴上是否存在一个定点N,使得C、B.N三点共线？若存在,

求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由.

8.已知焦点为F的抛物线C：/=2px(p>0)经过圆。：(x-4)2+(y-盯=U(r>0)的圆心,点E是抛物线C

与圆。在第一象限的一个公共点，且但司=2.

(1)分别求P与K的值;

(2)点M与点E关于原点。对称，点A,8是异于点。的抛物线C上的两点，且A,8三点共线，

直线比1,