2023-2024自主招生与竞赛第1讲集合的概念与运算-参考答案

第一讲集合的概念与运算例1设，，，求证：．【分析】中的元素是什么?是自然数，即由两个整数，的平方和构成的自然数，亦即从中任取两个（相同或不相同）数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即，其中，．【证明】设；，，，，，则，因为，，所以．例2．设，求证：，．【证明】因为，且，故．另外，假设，则存在，，使，即．由于与具有相同的奇偶性，所以左边有且仅有两种可能：奇数或的倍数，另一方面，右边只能是被除余的数，故不能成立．由此，．例3．已知二次函数，若方程无实根，求证：方程也无实根．【证明】已知，方程，即无实根，仍是二次函数，仍是二次方程，它无实根即．若，则函数的图象在轴上方，所以，即恒成立，即对任意实数恒成立，所以对有恒成立，所以无实根．若，函数的图象在轴下方，所以，即恒成立，即对任意实数，恒成立，所以对实数有恒成立，所以无实根，综上可知，当无实根时，方程也无实根．例4．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点"．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和．若，且集合，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，，则集合，满足题设．（2）当时，因为集合，所以方程有解，得．集合．因为，所以方程无解或与同解．由，得．由解得．综上得为所求．【点评】本题借用“不动点”和“稳定点”这两个概念来描述方程的解集问题，关键是对进行因式分解，由于不一定就是二次函数，所以要考虑是否等于．巩固练习一、单选题 1．【答案】D 【解析】由条件知，，，． 所以的非空真子集有（个）． 2．【答案】C 【解析】若存在集合使得，，则可以推出；若，由韦恩图可知，一定存在，满足，，故“存在集合使得，”是“”的充要条件． 3．【答案】D 【解析】根据题中保序同构的定义易知选D． 4．【答案】63 【解析】从集合的性质可得，必然是六个集合，，，，，中某几个的并集，因此符合要求的共有（个）． 5．【答案】C 【解析】用表示集的元素个数，设，由，得， 于是，，； 从而． 6．【答案】C 【解析】由，， 得，， 又，所以有或，即或． 7．【答案】D 【解析】因为有两个实根，， 故等价于且，即且， 解之得．二、多选题8.，集合，若，分别为集合，的元素个数，则下列结论可能的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】ABC①当，；②当，.i若；ii若；③当，，；④当，，；⑤当，.i若，则；ii若，则；⑥当，则.i若，则；ii若，则或，或；iii若，则，；⑦当，则.i若，则，；ii若，则，；iii若，则，；⑧当，则.i若，则或，或；ii若，则，；iii若，则，；iv若，则，；v若，则，.综上，当或或时，且；当或或时，且；当或或或时，且；当或或时，且；当或或时，且；当或时，且；故选：ABC9.对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集”，则下列说法正确的是（

）A．不是“可分集”B．集合中元素个数最少为7个C．若集合是“可分集”，则集合中元素全为奇数D．若集合是“可分集”，则集合中元素个数为奇数【答案】ABD根据“可分集”性质可知，当集合为时：去掉元素3，则不可拆分成符合题意的可分集，故A错误.设集合所有元素之和为M.由题意可知，均为偶数，因此同为奇数或同为偶数.(Ⅰ)当M为奇数时，则也均为奇数，由于，所以n为奇数.(Ⅱ)当M为偶数时，则也均为偶数，此时可设，因为为“可分集”，所以也为“可分集”.重复上述有限次操作后，便可得到一个各元素均为奇数的“可分集”，且对应新集合之和也为奇数，由(Ⅰ)可知此时n也为奇数.综上所述，集合A中元素个数为奇数.故C错D对.由上述分析可知集合中元素个数为奇数，不妨假设：当时，显然任意集合都不是“可分集”;当时，设集合，其中，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有或;将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有或由①，③可得，矛盾；由①，④可得，矛盾；由②，③可得，矛盾；由②，④可得，矛盾.因此当时，不存在“可分集”；当时，设集合，去掉元素1，；去掉元素3，去掉元素5，；去掉元素7，去掉元素9，；去掉元素11，去掉元素13，，所以集合是“可分集”.因此集合A中元素个数n的最小值是7，故B正确.故选：ABD10.设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有（）A． B． C． D．【答案】ABD∵，∴.∵，∴.∵，∴.若，则存在使得，则和的奇偶性相同.若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，不成立；若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.故选ABD.三、填空题 11.【答案】 【解析】由题意知，方程组有整数解，． 显然，，从而． 消去，可得，， 即，由于是负整数，所以只能等于． 当时，，所以． 12.【答案】46 【解析】中恰有2个不同数字时，能组成（个）不同的数； 中恰有3个不同数字时，能组成（