《工程力学》第 8 章 扭 转

第8章

扭转§8-1薄壁圆筒扭转时的应力与应变§8-2圆杆扭转时的应力与变形§8-3强度条件及刚度条件§8-4等直圆杆在扭转时的应变能§8-5矩形截面杆的扭转§8-0扭矩和扭矩图2024/7/21§8-0扭矩和扭矩图ABlABlooabb′OO′bTT2024/7/21如上图所示，杆件在横向平面内的外力偶作用下发生扭转变形。其侧面上原有的直线ab变为螺旋线ab′,诸横截面绕杆的轴线相对转动，例如B截面相对于A截面转过一角度∠bOb′。为了分析横截面上的内力，取m--m截面。mABlooabb′OmbTTO′2024/7/21由图示任意横截面m-m左边一段杆的平衡条件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于横截面平面内的力偶。这一力偶之矩称为扭矩，常用符号MT表示。mxTMTmmABlooabb′OmbTTO′2024/7/21由∑Mx（F）=0T–MT=0即MT=TmxmMTTmABlooabb′OmbTTO′2024/7/21扭矩的正负号由右手螺旋法则规定：使卷曲右手的四指其转向与扭矩MT的转向相同，若大拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反之为负。MT(a)MT(b)例：扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。2024/7/21一传动轴的计算简图如图所示，作用于其上的外力偶矩之大小分别是：TA=2kN·m,TB=3.5kN·m,TC=1kN·m,TD=0.5kN·m,转向如图。试作该传动轴之扭矩图。解：只要求出AB、BC、CD段任意截面上的扭矩，即可作出扭矩图。aaaABCDTATBTCTD例题6-62024/7/211-1截面：∑Mx（F）=0MT1+TA=0得MT1=TA=-2kN.m

分别作截面1-1、2-2、3-3，如右图所示。aaaABCDTATBTCTD112233TAMT1xA11考虑1-1截面例题6-62024/7/212-2截面：MT2-TB

+TA=0得MT2=TB-TA=3.5-2=1.5kN·m

ABxTATB22MT2aaaABCDTATBTCTD112233∑Mx（F）=0例题6-62024/7/21同理得MT3=0.5kN·m由此,可作扭矩图如下：xMT(kN·m)1.50.5+2aaaABCDTATBTCTD例题6-62024/7/21该传动轴横截面上的最大扭矩是多少？思考题6-6xMT(kN·m)1.50.5+2aaaABCDTATBTCTD2024/7/21作杆的扭矩图。1m1m0.2m0.1m0.1m4kN1kN2kN思考题6-72024/7/211m1m0.2m0.1m0.1m4kN1kN2kN思考题6-7参考答案MT/kN·mx0.40.2O2024/7/21我们在讲扭矩与扭矩图的时候，涉及到这样的问题：mmMTTxxMTTABABabT|m|m

lTb′O′2024/7/21杆件在横向平面内的外力偶的作用下，要发生扭转变形，产生相对扭转角

bO′b(B截面相对于A截面），受扭杆之内力如上。用分离体分析扭矩MT

。本章主要研究以下内容：(1)薄壁圆筒扭转时的应力和应变；

(2)圆截面等直杆受扭时的应力和变形；（等直圆杆受扭时其横截面仍为平面，求解较简单。）(3)简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学中的分析结果。（非圆截面杆受扭时，横截面不再保持平面，要发生扭曲，求解复杂。）2024/7/21受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力是正应力还是切应力？为什么？思考题8-1答：切应力，因为与正应力相应的分布内力之合力不可能是个作用在横截面上的力偶。2024/7/21受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变了一数量。物体受力变形时，直角的这种改变量（以弧度计）称之为切应变。§8-1薄壁圆筒扭转时的应力与应变TTφg(rad)l平均半径为

r。厚度为且δ«r。2024/7/21根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下，圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，系TTφg(rad)l2024/7/21沿外圆周的切向，如下图所示。TφMT（MT

=T）上述内容主要说明：(1)薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同；(2)薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等；2024/7/21(3)薄壁圆筒圆周上各点处剪应力的方向沿外周线的切线。对于薄壁圆筒（d

很小），横截面上其它各点处的切应力可以认为与外圆周处相同，即不沿径向变化。于是可以认为薄壁圆筒受扭时，横截面上的切应力大小处处相等，方向则垂直于相应的半径。即如图中所示。TφMT（MT

=T）2024/7/21这样，知道了切应力t的分布规律后，便可以利用静力学关系r——用平均半径r0代替上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算公式是在假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情况下导出的。则从而有(8-1)2024/7/21当d

/r0=10％，其误差为4.5％。TTφg(rad)l至于切应变，由上图得式中r为圆筒外半径。则2024/7/21通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以发现，当外加力偶矩在某一范围内时，扭转角f

与外力偶矩T之间成正比。TO剪切比例极限

O2024/7/21剪切比例极限

O图中的线性关系为t=Gg上式称之为材料的剪切胡克定律，不只是适用于薄壁圆筒。(拉压胡克定律s=Ee)式中G—材料切变模量，量纲为MPa。如各种钢的切变模量均约为8.0×104

MPa，至于剪切比例极限，则随钢种而异；Q235钢，tp=120MPa。2024/7/21理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，剪切弹性模量与其它两弹性参数E和n

之间存在下列关系：泊松比以上即为薄壁圆筒受扭时的变形与应力理论。它是实心圆杆扭转时变形与应力理论的基础。2024/7/21实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面受扭时，我们没有理由认为它们横截面上的切应力如同在受扭的薄壁圆筒中那样是均匀的分布的。§8-2圆杆扭转时的应力与变形8.2.1横截面上的切应力现在的关键在于：确定切应力在横截面上的变化规律，即横截面上距圆心为任意半径r的一点处切应力tr与r的关系。2024/7/21首先观察受扭时，表面的变形情况，据此作出涉及杆件内部变形情况的假设，最后还要利用应力和应变之间的物理关系。

(1)几何关系

(2)物理关系

(3)静力学关系2024/7/211.几何关系：(1)等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状都不改变；且在变形较小的情况时，圆周线的相对纵向距离也不变。如下图，实验表明：ABab′O′bTT2024/7/21(2)平截面假设等直杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘那样绕杆的轴线转动。同样，等直圆杆受扭时，其横截面上任一根半径其直线形状仍然保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度。ABab′O′bTT2024/7/21取微段dx分析：得半径为r的任意圆柱面上的切应变。

(a)rd

x式中：df/dx

是长度方向的变化率，按平面假设是常量。这样，等直圆杆受扭时，r与gr

成线性关系。(1)2024/7/212.物理关系：由剪切胡克定律：tr=Ggr

，在t<tp

时，可把(1)式代入，得：上式表明：受扭的等直杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径r的圆周上各点处大小相同，但它们随r

作线性变化，同一横截面上的最大切应力在圆周边缘上（图(b))，方向垂直于各自的半径。(b)(2)2024/7/21上式与MT没有联系起来。若等截面圆杆在MT

作用下，则t如何？3.静力学关系：(2)2024/7/21整个横截面面积A范围内每个微面积dA乘以它到圆心的距离平方之总和，因此它是一个几何性质，称之为横截面的极惯性矩，常用Ip来表示，即：(2)（单位：mm4或m4）2024/7/212024/7/21上式为等直圆杆受扭时横截面上任一点处切应力的计算公式。若求tmax，则令r

=r，有又故2024/7/21上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线性弹性范围内受扭情况。改写成其中抗扭截面模量，常用单位：mm3或m3。2024/7/21.OABMT思考题8-2下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之横截面，该截面上的扭矩MT亦如图所示，试绘出水平直经AB上各点处切应力的变化图。2024/7/21MTABO思考题8-2参考答案:2024/7/21一受扭圆轴,由实心杆1和空心杆2紧配合而成。整个杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出切应力沿水平直经的变化图，若(1)两杆材料相同，即G1=G2=G；(2)两材料不同，G1=2G2。MT12思考题8-32024/7/21思考题8-3(1)答案：MTG1=G2=G212024/7/21思考题8-3(2)答案：MTG1=2G2212024/7/21主要计算实心圆截面和空心圆截面。如图有o8.2.2极惯性矩和抗扭截面模量Ip和Wp

对于实心圆截面2024/7/21o对于空心圆截面（外径D，内径d）

式中：a=d/D2024/7/21千万不要出错！应当注意：2024/7/21思考题：教材133页思考题８－２（第二版165页思考题８－３）2024/7/218.2.3扭转角2024/7/21若l范围内，T是常量，GIp也为常量，则上式GIp越大，扭转角越小，故称为抗扭刚度。lgTT比较：2024/7/21一水轮机的功率为Nk=7350kW，其竖轴是直径为d=650mm，而长度为l=6000

mm的等截面实心钢轴，材料的剪切弹性模量为G=0.8×105MPa。求当水轮机以转速n=57.7r/min匀速旋转时，轴内的最大切应力及轴的两个端面间的相对扭转角f。OTa例题8-22024/7/21OTa解：轴传递功率Nk(kW)，相当于每分钟传递功W=1000×Nk×60(N·m)(1)令(1)、(2)相等，得外力偶作功

(2)即例题8-22024/7/21因此作用在轴上的外力偶矩T为OTa极惯性矩例题8-22024/7/21图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知：

T1=1592N·m，T2=955N·m，T3=637N·m截面A与截面B、C之间的距离分别为lAB=300mm和lAC=500mm。轴的直径d

=70mm,

钢的剪切弹性模量G=8×104

MPa。试求截面C对B的扭转角

dABC例题8-32024/7/21

dABC解：由截面法得Ⅰ，Ⅱ两段内扭矩分别为MTⅠ=955N·m,MTⅡ=637N·m。先分计算B，C截面对A之扭转角fAB，fAC

,则可以假想此时A不动。例题8-32024/7/21

dABC由于假想截面A固定不动，故截面B、C相对于截面A的相对转动应分别与扭转力偶矩T2、T3的转向相同，从而fAB和fAC的转向相同。由此可见，截面C对B的扭转角fBC应是：上两式中的Ip可以利用例题8-32024/7/21其转向与扭转力偶矩T3相同。

dABC例题8-32024/7/21直径50mm的钢圆轴，其横截面上的扭矩MT=1.5kN·m，求横截面上的最大切应力。思考题8-4T=1.5kN·mTlT2024/7/21思考题8-5空心圆轴的直径d=100mm，长l=1m，作用在两个端面上的外力偶之矩均为T=14kN·m，但转向相反。材料的切变模量G=8×104MPa。求：(1)横截面上的切应力，以及两个端面的相对扭转角。(2)图示横截面上ABC三点处切应力的大小及方向。ABCO25TlT2024/7/21(1)

tmax=71.3

MPa

f=0.01784rad(2)tA=tB=tmax=

71.3

MPa

tC=35.7MPa思考题8-5答案：ABCO252024/7/21下图(a)所示的扭转超静定问题，若假想地解除B端的约束，而利用B截面的扭转角为零作为位移条件求解(图(b))，试列出其求解过程。AablCBT思考题8-62024/7/21ATBTB思考题8-6答案：先考虑

T作用，则只考虑TB的作用，则2024/7/21ATBTB相容条件：则TA=Tb/l上述结果可与书例题8-4进行比较。得2024/7/218.2.4斜截面上的应力通过扭转实验发现：(1)低碳钢试件系横截面剪断；(2)铸铁试件则沿着与轴线成45º的螺旋线剪断；(3)木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。研究类似铸铁试件破坏原因考虑斜截面上的应力。2024/7/21方法：扭杆假想切开斜截面扭杆，应力分布不均匀，不能切开斜截面xTA(a)点上切一个单元体2024/7/21(1)左、右横截面(2)顶、底面，径向截面前、后面，切向截面切应力互等，纯剪切状态xx(b)adcd2024/7/21思考题8-7如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截面ABEF取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出（1）横截面AGB上应力沿直径AB的分布；（2）径截面ABEF上应力分别沿直径AB、CD、EF的分布。ECFDBAG2024/7/21思考题8-7答案:ECFDBAG2024/7/21现从受扭圆杆件的表面A取出一单元体（图(b)）,图(b)处于纯剪切状态,现改其为平面图表示：xTA(a)xx(b)adcbyabcdenx(a)detnxc(b)2024/7/21yabcdenx(a)研究垂直于前后两个面的任意斜截面de上的应力,如图(a)、(b)。de

斜面作着未知的正应力sa和切应力ta。detnxc(b)设de的面积为dA，则2024/7/21detnxc(b)简化后：同理得：2024/7/21detnxc(b)当a＝0o与a＝90o时：

ta有最大值，即为ta=±45o的情况下：

sa有极值，即为t。a=145o，sa=smin=-ta=-45o，sa=smax=+t2024/7/21由此看来，铸铁圆柱的所谓扭转破坏，其实质上是沿45º方向拉伸引起的断裂。也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂的最大拉应力smax总是等于横截面上相应的切应力，所以在铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就以横截面上的t作为依据。如下图所示。TT断裂线σmin2024/7/211.薄壁圆筒扭转时的应力和变形。小结：2.圆杆扭转时的应力和变形。(1)横截面上的应力——材料的剪切胡克定律——Ｅ、Ｇ、n三者之间的关系2024/7/21

(a)几何关系

(b)物理关系(c)静力学关系2024/7/21(d)极惯性矩和抗扭截面模量实心圆截面代入Ip得2024/7/21空心圆截面扭转角斜截面上的应力2024/7/21思考题8-8直径d=25mm的钢圆杆，受轴向拉力60

kN作用时，在标距为200

mm的长度内伸长了

0.113

mm；当它受一对矩为0.2

kN·m的外力偶作用而扭转时，相距200

mm的两个横截面相对转动了0.732º的角度。试求此圆杆所用钢材的弹性常数E、G和v。2024/7/21思考题8-8答案2024/7/21实心或空心圆截面杆受扭时,杆内所有的点均处于纯剪切应力状态,而整个杆的危险点在横截面的边缘处。§8-3强度条件及刚度条件1.强度条件受扭圆杆的强度条件：对于等截面杆：危险点必在MTmax

所在截面边缘处,即由以上两式得到2024/7/21根据上述公式，可对空心或实心圆截面受扭杆件进行(1)校核强度(2)选择截面尺寸(3)计算容许荷载2.刚度条件满足了强度条件，但若变形过大，必将对正常工作产生影响。刚度条件通常是以扭转角沿杆长的变化率q(=df/dx),其最大值qmax不超过某一规定的容许值[q]来表达，即2024/7/21式中[q]为单位长度杆的容许扭转角，单位°/m来计算。化为角度每米则为对于等直的圆杆，其qmax按式：(8-17)式中，MTmax—N·m，G—Pa，Ip—m42024/7/21容许扭转角[q]，对于精密仪器的轴，常常取0.15～0.30°/m。至于一般的轴则取2°/m。书例[8-4]校核强度和刚度书例[8-5]选择截面尺寸书例[8-6]建立强度条件2024/7/21阶梯形圆柱直径分别为d1=4cm,d2=7cm,轴上装有3个皮带轮如图所示。已知由轮3输入的功率为T3=30kW,轮1输出的功率为

T1=13kW,轴作匀速转动,转速n=200转/分,材料的剪切许用应力[t]=60

MPa,G=80GPa,许用扭转角[q

]=2

º/m。试校核轴的强度和刚度。0.5m0.3m1mACDB123d1d2第八章扭转例题8-72024/7/21解:计算扭矩：0.5m0.3m1mACDB123d1d2强度校核：例题8-72024/7/21故强度满足。刚度校核：AC段：0.5m0.3m1mACDB123d1d2例题8-72024/7/210.5m0.3m1mACDB123d1d2故刚度满足。DB段：例题8-72024/7/21实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速n=100

转/分，传输功率N=7.5kW,材料的容许切应力[t]=40MPa,试选择实心轴直径d1和内外径比值为0.5的空心轴的外径D。例题8-82024/7/21解:扭矩计算：计算实心轴直径,由强度条件例题8-82024/7/21计算空心轴直径,由强度条件:例题8-82024/7/21如同拉伸和压缩时一样，杆件在受扭时杆内也积蓄有应变能。杆在弹性范围内工作，f

与Me成线性关系。§8-4等直圆杆在扭转时的应变能MeMe2024/7/21MeMe又则或2024/7/21对于杆的各横截面上扭矩不相等的情况，取微段分析入手。例如：从而知：左段杆内的应变能：2024/7/21整个杆内积蓄的应变能为：右段杆内：2024/7/21思考题8-9(1)求图示同一杆件在三种受力情况下的应变能。此杆在线弹性范围内工作，且变形微小。l=1md=80mmMe1=4kN·m(a)0.6

m0.4mMe2=10kN·m(b)0.6

m0.4mMe2=10kN·mMe1=4kN·m(c)2024/7/21(2)杆在第三种受力情况下的应力和变形是否分别等于前两种情况下的叠加？应变能呢？l=1md=80mmMe1=4kN·m(a)0.6

m0.4mMe2=10kN·m(b)0.6

m0.4mMe2=10kN·mMe1=4kN·m(c)2024/7/21思考题8-9答案：(1)l=1md=80mmMe1=4kN·m(a)0.6

m0.4mMe2=10kN·m(b)2024/7/21(2)l=1md=80mmMe1=4kN·m(a)0.6

m0.4mMe2=10kN·m(b)0.6

m0.4mMe2=10kN·mMe1=4kN·m(c)2024/7/21思考题8-10求下列各图杆的应变能。Fp=F/ll(a)(b)ABABAAlT(c)dABlt(d)dAB2024/7/21思考题8-10答案：Fl(a)ABAp=F/llABAxdxFN(x)px(b)(b)取微段分析(a)2024/7/21思考题8-10答案：lT(c)dABltdABdxtxT(x)(d)(c)其中(d)取微段分析2024/7/21ltdABdxtxT(x)(d)思考题8-10答案：2024/7/21§8-5矩形截面的扭转1.几个概念非圆截面杆受扭时,横截面会发生扭曲。因此其变形、应力