湖南省常德市临澧县2024-2025学年高二数学永通班下学期入学考试试题含解析

Page20湖南省常德市临澧县2024-2025学年高二数学永通班下学期入学考试试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点为抛物线的准线上一点，直线交抛物线于M，N两点，若的面积为20，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】求得两点的坐标，依据的面积列方程，解方程求得的值.【详解】由题意不妨设，则的面积为，解得.故选：C2.过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先由圆方程得到圆心和半径，求出的长，以及的中点坐标，得到以为直径的圆的方程，由两圆方程作差整理，即可得出所在直线方程.【详解】因为圆的圆心为，半径为，所以，的中点为，则以为直径的圆的方程为，所以为两圆的公共弦，因此两圆的方法作差得所在直线方程为，即.故选：B.【点睛】本题主要考查求两圆公共弦所在直线的方法，属于常考题型.3.若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有A.条 B.条 C.条 D.条【答案】C【解析】【详解】试题分析：以点为圆心，以为半径长的圆的方程为，以点为圆心，且以为半径的圆的方程为，则直线为两圆的公切线，，即圆与圆外切，因此两圆的公切线有条，即直线有三条，故选C.考点：1.两圆的位置关系；2.两圆的公切线4.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据等比数列和等差数列的性质求得和，同时利用下标和的性质化简所求式子，可知所求式子等价于，利用诱导公式可求得结果.【详解】是等比数列是等差数列本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质的应用，其中还涉及到诱导公式的学问，属于基础题.5.已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】先依据题意得双曲线的方程为，再结合双曲线的定义得，故，连接，交双曲线于，交圆于，此时取得最小值，再计算即可得答案.【详解】由题意可得，即，渐近线方程为，即有，即，可得双曲线方程为，焦点为，，由双曲线的定义可得，由圆可得，半径，，连接，交双曲线于，交圆于，此时取得最小值，且为，则的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，双曲线上的点到定点的距离最值问题，考查数形结合思想，是中档题.6.已知数列满意…，设数列满意：,数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出的通项，再求出的通项，从而可求，利用参变分别可求的取值范围.【详解】因为…，所以…，故即，其中.而令，则，故，.，故，故恒成立等价于即恒成立，化简得到，因为，故.故选D.【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，假如通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；假如通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；假如通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；假如通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.参数的数列不等式的恒成立问题，可以用参变分别的方法构建新数列，通过探讨新数列的最值来求参数的取值范围.7.已知双曲线的上、下焦点分别是，，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的值是（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】【分析】设，结合以及列方程，化简求得离心率.【详解】设，则①，利用向量加法法则知，则即，故②，设，则，③，由②③得，即，又，所以，即，即所以双曲线离心率值是3故选：D8.已知函数的定义域为，对随意的实数，，当时，且数列满意，且，则下列结论成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由利用特值法可得，所以可得，由递推关系可知数列为以3为周期的数列，依据周期化简即可求解.【详解】依题意，对随意的实数，等式成立，令得，所以或，又当时，所以，所以，令，则，因为当时，不妨令，则，所以对随意有，任取，则，因为，所以，所以，即，单调递减，所以有唯一解，又数列满意，所以，又因为，所以，，，由数列的递推关系知数列为以3为周期的数列，所以，，，，，，当时，所以，，所以，，又，所以故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知过点A（a，0）作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的值可以是（）A.－2 B.4 C.0 D.6【答案】AD【解析】【分析】设出切点，写出切线方程，将点代入，化简后方程有两根，即可得到的取值范围.【详解】设切点为，则，所以切线方程为：，切线过点A（a，0），代入得：，即方程有两个解，则有或．故选：AD.10.已知抛物线焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A.点的坐标为B.若直线过点，则C.若，则的最小值为D.若，则线段的中点到轴的距离为【答案】BCD【解析】【分析】由抛物线方程确定焦点坐标知A错误；直线与抛物线方程联立，利用韦达定理可知B正确；依据过焦点可知最小值为通径长，知C错误；利用抛物线焦半径公式，结合中点坐标公式可求得点纵坐标，知D正确.【详解】解：抛物线，即，对于A，由抛物线方程知其焦点在轴上，焦点为，故A错误；对于B，依题意，直线斜率存在，设其方程为，由，消去整理得，，，故B正确；对于C，若，则直线过焦点，所以，所以当时，的最小值为抛物线的通径长，故C正确；对于D，，，即点纵坐标为，到轴的距离为，故D正确.故选：BCD.11.无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（）A.可能为等差数列B.可能为等比数列C.中肯定存在连续三项构成等差数列D.中肯定存在连续三项构成等比数列【答案】ABC【解析】【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当时，．当时，．当时，上式＝．所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列，时是等比数列；当时，从其次项起先是等差数列．故选：ABC【点睛】本题只要考查等差数列前n项和与通项公式的关系，利用求通项公式，属于基础题．12.已知双曲线且，设直线与双曲线在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为，记的面积为，则下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为 B.C.数列为等差数列 D.【答案】ACD【解析】【分析】依据双曲线的方程求出渐近线方程，设点，求出到两渐近线的距离，从而得到，即可得到的通项公式，再依据等差数列的前项和公式计算可得；【详解】解：因为双曲线的方程为且，所以渐近线方程为，设点，则且，记到两条渐近线的距离分别为，则、，则，故因此为等差数列，故，故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若函数f（x）＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【详解】试题分析：函数定义域为，导函数为，使得存在垂直于y轴的切线，即有解，可得有解，因为，所以，当且仅当““时等号成立，所以实数a的取值范围是考点：导数的应用14.已知正项等比数列满意，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】依据整理代换法，结合等比数列的性质、换元法、基本不等式进行求解即可.【详解】设该等比数列的公比为，，因为数列是正项等比数列，所以，且，所以，令，于是有，当且仅当取等号，即时取等号，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：15.在平面直角坐标系中，若圆：上存在点，且点关于直线的对称点在圆：上，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】求出圆关于直线的对称圆的方程，由对称圆与圆有公共点即得．【详解】圆：的圆为，半径为1，它关于直线的对称圆的圆心为，半径仍旧为，圆的圆心为，半径为，由题意，解得．故答案为：．【点睛】方法点睛：本题考查圆与圆的位置关系，解题关键是把问题转化为两圆相交．圆与圆的位置关系：两圆圆心距离为，半径分别为，则相离，外切，相交，内切，内含．16.已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过点F作倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点（其中点A在第一象限）．若直线AO与抛物线的准线l交于点D，设，的面积分别为，，则______．【答案】##0.5625【解析】【分析】直线方程为.联立直线方程与抛物线的方程，求出点的坐标，进而得到的坐标，表示出，，即可得出结果.【详解】由题意知，，直线方程为.设，.联立直线方程与抛物线的方程，解得或.因为点A在第一象限，所以，，直线方程为，点坐标为.因为，所以轴.所以，，所以.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列的前项的和为，且满意.（1）求数列的通项公式及；（2）若数列满意，求数列的前项的和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依据，得到，证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式与求和公式，即可求出结果；（2）由（1）求得，分和两种状况，结合等比数列的求和公式，即可求出结果.【详解】（1）由得：，即，由得：，两式相减得:，即，即数列是以1为首项，2为公比等比数列，则，则；（2）由（1）知：，则，则当时，，当时，，则.【点睛】本题主要考查求等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的求和问题，属于常考题型.18.已知函数()．（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；（2）证明：当时，．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由题意转化为有两个变号零点，再参变分别后得，利用图象求的取值范围；（2）首先构造函数()，求函数的二次导数，分析函数的单调性，并求函数的最值，并证明不等式.【详解】（1）的定义域为，，若函数有两个极值点，则有两个变号零点，等同于，即水平直线与曲线有两个交点(不是的切线)，令，的定义域为，则，令，解得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递减，则为的极大值，也为最大值，当时，，当时，，当时，且为正数，则的图像如图所示，则此时；（2）证明：令()，则只需证明当时恒成马上可，则，令，则，当时，，，，则，则在时单调递增，又，∴时，，则在时单调递增，∴当时，即当时，．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）干脆构造函数法：证明不等式（或）转化为证明或），进而构造协助函数；（2）适当放缩构造法：一是依据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，依据相像结构构造协助函数.其中一种重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的突破口.19.在等差数列中，已知公差，是与的等比中项（1）求数列的通项公式；（2）若数列满意，求数列的通项公式；（3）令，数列的前项和为.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）先依据条件求出首项，再依据等差数列通项公式得结果，（2）依据条件作差得结果，（3）依据错位相减法得结果.【详解】（1）因为是与的等比中项，所以，∴数列的通项公式为.（2）∵①∴②②－①得：，，故．（3），∴，令，①则②①－②得：，∴∴．∴数列的前项和【点睛】用错位相减法求和应留意的问题(1)要擅长识别题目类型，特殊是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特殊留意将两式“错项对齐”以便下一步精确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种状况求解.20.已知双曲线：一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．（1）求双曲线的标准方程与离心率；（2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．【答案】（1），离心率为（2）【解析】【分析】（1）依题意用点到直线的距离公式列方程可得c，然后由渐近线斜率和几何量关系列方程组可解；（2）设直线方程联立双曲线方程消元，利用韦达定理表示出直线，的斜率可得直线的方程，数形结合可解.【小问1详解】由题意知焦点到渐近线的距离为，则因为一条渐近线方程为，所以，又，解得，，所以双曲线的标准方程为，离心率为．【小问2详解】设直线：，，，联立则，所以，由解得或（舍去），所以，：，令，得，所以的面积为21.已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）【解析】【分析】（1）求导得，分别令和，进而可求出函数的单调区间；（2）令，可知时，恒成立，进而分、和三种状况，分别探讨函数的单调性，进而可求出的取值范围.【详解】（1）的定义域为，，明显，令，则，解得，当时，，即函数在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增.（2）令，则当时，恒成立，求导得，且，①当时，令，即，则时，恒成立，∴在上是增函数，且，∴不符合题意；②当时，，则时，恒成立，∴在上是增函数，且，∴不符合题意；③当时，，则时，恒有，即在上是减函数，所以时，，所以，解得，故.综上，的取值范围是.【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题，考查分类探讨思想在解题中的运用，属于难题.22.如图，椭圆的两顶点，，离心率，过y轴上的点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线与直线交于点Q.（1）当且时，求直线l的方程；（2）当点P异于A，B两点时，设点P与点Q横坐标分别为，，是否存在常数使成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）或（2）存在，【解析】【