高中数学《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)

例典型例题一例1椭圆的一个顶点为A02分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．A0为长轴端点时，2，1，abx2y2椭圆的标准方程为：411；（2）当A0为短轴端点时，2，4，bax2y2椭圆的标准方程为：41；能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．a213解：2c2∴ca，22c13∴．e33说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．典型例题三例3x轴上的椭圆与直线xy10交于、两点，ABM为中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．x2解：由题意，设椭圆方程为1，y2a2xy1022由，得1ax2ax0，2x22y12axx1a12∴，y1x，x1221aa2MMM2.11yxk，∴4，2aMM4a2x2∴y1为所求．24题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四9x2y2例4椭圆91上不同三点Axy，B，，Cxy与焦点F0的51122距离成等差数列．（1）求证xx8；12（2）若线段的垂直平分线与x轴的交点为，求直线的斜率．kACT5，3，4．abcc由圆锥曲线的统一定义知：，a2axc14∴AFaex5x．5114同理∵CF5x．5292，且BF，544∴即5x5x，55512xx8．12yy（2）因为线段的中点为，，所以它的垂直平分线方程为AC122yyxx12yx4．122yy12又∵点T在x轴上，设其坐标为x0，代入上式，得0y2y2x4122xx012.又∵点Axy，Bxy都在椭圆上，112292211y259211212129550典型例题五1，F、F为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使Mx2y212到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点l12标；若不存在，请说明理由．111a2，b3，∴1，．ce2121111MFaex2x．2211∵MNMFMF，21211222111整理得5x32x480．211.12解之得x4或x．①511另一方面2x2．②1则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在．M说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设M2cos，3sin典型例题六11例6已知椭圆y1，求过点P，且被平分的弦所在的直线方程．x2P2222分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求．kk11，则直线方程为ykx．代入椭圆k22方程，并整理得1312kx2k2kxkk0．2222222k2k2由韦达定理得xx．12k1221∵P是弦中点，∴xx1．故得k．212所以所求直线方程为2x4y30．x，y、xy，列关于x、x、y、y的方程11221212yy组，从而求斜率：．21xx1211P，的直线与椭圆交于Axy、Bxy，则由题意得221122.x2y，①②1221x2y，2222，xx③④12yy1.12x2x22①－②得yy0．⑤122221yy11将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．12x22x12所求直线方程为2430．xy说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点6；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．x2y22分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由1求出a2bx2y2y2x2a2148b211．x2y22y2x21或1．a2ba2b2由已知ab．①又过点6，因此有222662221或1．②a2b2a2b2由①、②，得a148，b或a，b13．故所求的方程为2222.x2y2y2x2x2y（2）设方程为1．由已知，3，3，所以a2．故所bcca2bx2y21．x2yy2x2焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程a2ba2b2典型例题八1的右焦点为，过点A，3，点x2y2FM2为最小值时，求点M的坐标．121e1a4，c2．所以e，右准线2A2．显然2的最小值为，即M为所求点，因此y3，且M在椭圆上．故Mx23．所以M2，3．M说明：本题关键在于未知式2中的“2”的处理．事实上，如图，1e，即是M到右准线的距离的一半，即图中的，问题转化为求椭圆2上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九x2y23.出距离的最小值．x3，解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为3cossin，ysin.则点到直线的距离为2sin63cossin63d．22当1时，d22．3最小值说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十33例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点P，22到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标．d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．x2y22解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是1，其中ab0待定．a2bc22a2b2b2由e1可得2aa2a2b311e21，即2．aba42设椭圆上的点y到点P的距离是d，则3y942213d2x2ya2y2y2b29122b3y3y3yb32224.其中．byb1如果b，则当时，d（从而）有最大值．yb2d23231，由此得b7，与b矛盾．2212由题设得72b211因此必有b成立，于是当y时，d（从而）有最大值．2d22由题设得7243，可得1，2．b2bax2y2∴所求椭圆方程是411．111由y及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点，点到2223点P，的距离是7．2cosxa0，abybsin待定，0，为参数．2c22a2b2b由1可得e2aa2aba311e21，即2．ab423设椭圆上的点y到点P，的距离为，则d23322d2x2ya2cos2bsin229bbsinbsin222412bsinb322b11如果1，即b，则当sin1时，d（从而d）有最大值．2b2.3231，由此得b7，与b矛盾，因此必有2212由题设得72b211成立．b1于是当sin时d2（从而）有最大值．db由题设知7243，∴1，2．b2ba2cosx∴所求椭圆的参数方程是．ysin1311由sin，，可得椭圆上的是，．2222典型例题十一例11设x，yR，2x3y6x，求xy2x的最大值和最小值．2222分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程2x3y6x与椭圆方程的22结构一致．设xy2xm，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭22圆及圆的位置关系求得最值．解：由2x3y6x，得22322xy2193423可见它表示一个椭圆，其中心在0点，焦点在x轴上，且过（0，0）点2和（3，0）点．设xy2xm，则22x12y2m1它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为m1m1．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11，此时m0；当圆过（3，0）点时，半径最大，m.即m14，∴15．m∴xy2x的最小值为0，最大值为15．22典型例题十二x2y例12已知椭圆C：1ab0，、是其长轴的两个端点．ABa2b（1）过一个焦点作垂直于长轴的弦，求证：不论a、如何变化，Fb120．（2）如果椭圆上存在一个点Q，使AQB120，求的离心率e的取值范C和的正切值出发做出去列出离心率e满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：xa，yb，根据a2AQB120得到3，将xay代入，消去x，用a、、b222x222b2c表示y，以便利用yb列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵22x22y22b2b2b2k.∵是到的角．b2b2acaaca2a2∴tanAPBb4c21a2c2a2∵ac22∴tanAPB2故tanAPB3∴．yy（2）设Qy，则kQA，kQB．xaxa由于对称性，不妨设0，于是是到的角．yyy2ayyaxaxa∴tanAQBy2x2221x2a22ya∵AQB120，∴3x2222整理得3xya2ay022a2∵xay222b2a2∴31y2ay02b222c2∵y0，∴y22∵yb，∴bc22abc，4aacc22222∴c4ac4a0，ee4042244236∴e2或e2e1．223.典型例题十三x2y21例13已知椭圆1的离心率e，求的值．kk89分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x轴上时，ak8，b9，得ck1．由e，212222得4．k当椭圆的焦点在y轴上时，a9，bk8，得c1k．22211k15由e，得，即k．29445∴满足条件的k4或k．48与9的大小关系不定，k所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．典型例题十四x2y22例14已知椭圆准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．1上一点到右焦点F的距离为b，求到左PbPbb22x2y223解法一：由1，得ab，cb，e．bb22由椭圆定义，2ab，得12bbbb．12PF由椭圆第二定义，eP，d为到左准线的距离，11d1∴b23，d11e即P到左准线的距离为23．bPFc3解法二：∵e，d为P到右准线的距离，，2e22da2233∴db．22e.283a又椭圆两准线的距离为2b．c383233∴到左准线的距离为Pbb2b．3说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五4,x例15设椭圆y23sin.(为参数)上一点与x轴正向所成角POx，P3求点坐标．P分析：利用参数与POx之间的关系求解．解：设P(4cos,23sin)，由与x轴正向所成角为，P323∴，即tan2．345255而sin0，cos0，由此得到，，5454,∴P点坐标为()．55典型例题十六x2y22例16设P(x,y)是离心率为e的椭圆1(ab0)上的一点，到左P00a2b焦点F和右焦点F的距离分别为r和r，求证：raex，raex．12121020分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．.a2a2解：点到椭圆的左准线lx的距离，x，Pc0c∴rea，由椭圆第一定义，r2araex．10210的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y轴上的焦半径公式．典型例题十七x2y2例17已知椭圆9512点P是椭圆上一点．(1)求的最大值、最小值及对应的点坐标；P13(2)求PAPF的最小值及对应的点P的坐标．22(1)如上图，2a6，F(2,0)，2，设P是椭圆上任一点，由22.2a61222∴2a621122222时成立，此时、、F共线．PA2由，∴2a62，2211222222A222915P(71412PP112取最大值62．2223PF，2，∴e．由椭圆第二定义知3PQ3223∴PAPFPAPQ，要使其和最小需有A、P、Q共线，即求A到右准229线距离．右准线方程为x．27265,1)．51PAPFA向相应准线作e2.垂线段．巧用焦点半径与点准距互化是解决有关问题的重要手段．2典型例题十八x2y2例18(1)写出椭圆941的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积．常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．3cosx解：(1)()．Ry2sin(2)设椭圆内接矩形面积为x轴和yS轴，设cos,2sin)为矩形在第一象限的顶点，(0)，2则43cos2sin12sin12S故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九例19已知F，F是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且F60．P1212(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证F的面积与椭圆短轴长有关．12分析：不失一般性，可以设椭圆方程为x22y221（0P(x,y)（y0abab111思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即KKPFtan603，设P(x,y)，F(c,，F(c,，化简可得PF211KK11122PF1x2y23x3y2cyc0．又1，两方程联立消去x得222211111a2b21cybcyb0，由y(0,b]，可以确定离心率的取值范围；解出y22241111可以求出F的面积，但这一过程很繁．12思路二：利用焦半径公式a，a，在F中运用余112112.弦定理，求x，再利用x[a,a]，可以确定离心率e的取值范围，将x代入椭111圆方程中求y，便可求出F的面积．112思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合2a求解．12x22y22解：(法1)设椭圆方程为1（0P(x,y)，F(c,，abab111F(c,，c20，则a，a．1121在F中，由余弦定理得121(aex)(aex)4c222cos60，1122(aex)(aex)114ca22解得x．2e21(1)∵x(0,a]，2214ca22∴0a，即4ca0．222e2c1∴e．a21故椭圆离心率的取范围是e[,1)．24ca2xy222(2)将代入1得x2e2a2b21b4b2y12，即y．c2c111b23∴2FFy．b2Sc22c3PFF1212即F的面积只与椭圆的短轴长有关．12(法2)设m，n，F，F，122112则．.(1)在F中，由正弦定理得12mn2c．60mnc∴