2024徐州中考数学二轮重点专题研究 微专题 运动产生的特殊三角形问题（含菱形）（课件）

函数微技能一阶微专题运动产生的特殊三角形问题(含菱形)例1

(1)如图①，线段AB与直线l交于点A，且AB不与直线l垂直，请在l上找一点P，使△ABP为等腰三角形，请在图中画出所有符合要求的点P，保留作图痕迹，不写作法．例1题图①考向一运动产生的等腰三角形(含菱形)【作法提示】①以点A为圆心，AB长为半径画圆，交直线l于P1，P2两点；②以点B为圆心，AB长为半径画圆，交直线l于点P3；③连接以上两圆的交点作AB的垂直平分线，直线与l的交点即为P4.解：(1)如解图①，P1，P2，P3，P4即为所有满足要求的点．例1题解图①(2)如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，3)，在x轴正半轴上有一点B，使△AOB为等腰三角形，且BA＝BO，则点B的坐标为________．(3)如图③，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，B(4，0)，若在y轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则点C的坐标为______________．例1题图③(，0)(0，0)或(0，－2)例1题图②(4)如图④，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(4，0)，C(0，4)，点P是线段BC上一动点，当以A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形时，则点P的坐标为__________________________．例1题图④(1，3)或(，)1.确定点的位置：已知线段AB，在平面内找一点P，使得△ABP为等腰三角形，这样的点P位置有以下两种情况：(1)以AB为腰：点P在分别以点A、B为圆心，AB长为半径的圆上，AB直线上的点除外；(2)以AB为底：点P在AB的垂直平分线上，AB直线上的点除外．满分技法2.求点P坐标的方法如下：分别表示出点A、B、P的坐标，再根据勾股定理表示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB＝AP，②AB＝BP，③BP＝AP列方程解出坐标．设问突破二阶例2题图①例2如图，已知抛物线y＝－x2＋x＋2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为M，对称轴与x轴交于点N.(1)若y轴上一点D的坐标为(0，

)，试判断△ABD的形状，并说明理由；一题多设问【思维教练】由于点A、B、D三点的坐标确定，可根据勾股定理分别计算出三条线段的长，进行比较分析即可．解：(1)△ABD为等腰三角形．理由如下：∵A(－1，0)，B(3，0)，D(0，)，∴AD＝＝2，BD＝＝4，AB＝3＋1＝4，∴AB＝BD，∴△ABD是等腰三角形；例2题图①(2)在抛物线上是否存在一点P，使得△PCO是以OC为底的等腰三角形，若存在，请你求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；例2题图②【思维教练】由于点P在抛物线上，△PCO是以OC为底的等腰三角形，所以点P在OC的垂直平分线上，即点P的纵坐标为1，将y＝1代入抛物线表达式求解即可．(2)存在．点P的横坐标为1＋或1－；如解图，作CO的垂直平分线交抛物线于点P和点P′，交CO于点D.连接CP，OP，OP′，CP′，则△POC和△P′CO是以OC为底的等腰三角形．令x＝0，则y＝2，∴C(0，2)，∴OC＝2.∵△COP是以CO为底的等腰三角形，C(0，2)，∴CD＝DO＝1，当y＝1时，－x2＋x＋2＝1，例2题解图解得x＝1＋或x＝1－，∴点P的横坐标为1＋，点P′的横坐标为1－.即存在点P使得△PCO是以OC为底的等腰三角形，点P的横坐标为1＋或1－.例2题解图(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△BMQ是以BQ为腰的等腰三角形，若存在，请你求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；例2题图③

【思维教练】分BQ＝QM和BQ＝MB两种情况，利用点的坐标即可求解．(3)存在．∵y＝－x2＋x＋2，∴抛物线对称轴为直线x＝－＝1，点B的坐标为(3，0)，M(1，)．设点Q的坐标为Q(1，t)，∴BQ＝，QM＝|－t|，MB＝＝.∵△BMQ是以BQ为腰的等腰三角形，∴分两种情况讨论：例2题图③

①当BQ＝QM时，即|－t|，解得t＝，此时点Q的坐标为(1，)；②当BQ＝MB时，即＝，解得t＝－(t＝不符合题意，舍去)，此时点Q的坐标为(1，－)．综上所述，点Q的坐标为(1,)或(1，－)；例2题图③

(4)在x轴上是否存在一点E，使得△ACE是等腰三角形，若存在，请你求出点E的横坐标；若不存在，请说明理由．例2题图④【思维教练】先设出点

E的坐标，由于△ACE是等腰三角形，可分为三种情况讨论：①AE＝AC,②AC＝CE，③AE＝CE，当AE＝AC时还要注意点E分别在点A的两侧两种情况．(4)存在．点E的横坐标为－1或－－1或1或.∵点E在x轴上，∴设点E的坐标为(m，0)．由题意得点C的坐标为(0，2)，点A的坐标为(－1，0)，∴AC＝，∵△ACE是等腰三角形，∴分以下三种情况：①当AE＝AC时，a.当点E在点A的右侧时，∵AE＝AC＝，则EO＝－1，∴点E的横坐标为－1；b．当点E在点A的左侧时，例2题图④∵AE＝AC＝，则EO＝＋1，∴点E的横坐标是－－1；②当AC＝CE时，∵CO⊥AE，∴点E在AO右侧的延长线上，且AO＝EO，∴点E的横坐标为1；③当AE＝CE时，则点E为AC的垂直平分线与x轴的交点．∵AE＝1＋m，OE＝m，例2题图④∴AE2＝(1＋m)2.∵点C的坐标为(0，2)，∴OC＝2.在Rt△COE中，CE2＝OE2＋OC2，∴CE2＝22＋m2.∵CE＝AE，∴22＋m2＝(1＋m)2，解得m＝.∴点E的横坐标为.综上所述，点E的横坐标为－1或－－1或1或.例2题图④考向二运动产生的直角三角形问题函数微技能一阶例3(1)如图①，线段AB在直线l上方，在直线l上是否存在一点P，使△PAB是直角三角形？请在图中画出所有符合条件要求的点P，并说明画图依据；例3题图①解：(1)存在点P，使△PAB是直角三角形，如解图中点P1，P2，P3，P4即为满足条件的点P.画图依据：①AB作为直角边：分别过点A，B作线段AB的垂线，交直线l于点P1，P2；②AB作为斜边：以AB为直径画圆，交直线l于点P3，P4，根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形．例3题解图(2)如图②，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(3，0)，(0，4)．点P为y轴上一点，使△PAB为直角三角形，求点P的坐标；例3题图②(2)设点P(0，p)，分两种情况讨论：①当AB为直角边时，只存在点A为直角顶点的情况．∵A(3，0)，B(0，4)，∴AB2＝32＋42＝25，AP2＝32＋p2＝9＋p2，BP2＝(4－p)2.根据勾股定理得AB2＋AP2＝BP2，即25＋9＋p2＝(4－p)2，解得p＝－.∴P(0，－)；②当AB为斜边时，同理可得AB2＝AP2＋BP2，即25＝9＋p2＋(4－p)2，解得p＝0或p＝4(不符合题意，舍去)，∴P(0，0)．综上所述，点P的坐标为(0，－)或(0，0)．例3题图②(3)如图③，在平面直角坐标系中，已知点A(－5，0)，B(0，－5)，在直线x＝－3上取点C，使得△ABC为直角三角形，求满足条件的点C的坐标．例3题图③(3)∵点C在直线x＝－3上，∴设C(－3，y)，∵A(－5，0)，B(0，－5)，∴AB2＝50，AC2＝4＋y2，BC2＝9＋(y＋5)2＝y2＋10y＋34，分三种情况讨论：①当∠ACB＝90°时，则AB2＝AC2＋BC2，即50＝4＋y2＋y2＋10y＋34，解得y＝－6或y＝1，此时点C的坐标为(－3，－6)或(－3，1)；②当∠ABC＝90°时，则AC2＝AB2＋BC2，即4＋y2＝50＋y2＋10y＋34，解得y＝－8，此时点C的坐标为(－3，－8)；③当∠BAC＝90°时，则BC2＝AB2＋AC2，即y2＋10y＋34＝50＋4＋y2，解得y＝2，此时点C的坐标为(－3，2)．综上所述，点C的坐标为(－3，－6)或(－3，1)或(－3，－8)或(－3，2)．例3题图③满分技法1.确定点的位置：已知线段AB，在平面内找一点P，使△ABP为直角三角形，这样的点P位置有以下三种情况：(1)以A为直角顶点，AB为直角边，点P在过点A与AB垂直的直线上；(2)以B为直角顶点，AB为直角边，点P在过点B与AB垂直的直线上；(3)以点P为直角顶点，AB为斜边，点P在以AB为直径的圆上．2.求点P坐标的方法如下：分别表示出点A、B、P的坐标，再根据勾股定理表示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB2＝BP2＋AP2，②BP2＝AB2＋AP2，③AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐标．满分技法例4如图，已知抛物线y＝x2－x－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，对称轴为直线l，顶点为M.(1)若点P是y轴上一点，且∠PAC＝90°，求点P的坐标；突破设问二阶一题多设问例4题图①【思维教练】当∠PAC＝90°时，易得∠PAO＝∠ACO，根据相等两角的正切值也相等求解即可．解：(1)将y＝0代入y＝x2－x－2，解得x＝4或x＝－1.∴A(－1，0)，B(4，0)．令x＝0.代入得点C(0，－2)，∴OA＝1，OC＝2.如解图，过点A作AP⊥AC交y轴于点P.∴∠PAO＋∠OAC＝90°，∵∠AOC＝90°，∴∠OAC＋∠ACO＝90°，∴∠PAO＝∠ACO，∴tan∠PAO＝tan∠ACO＝，∴，∵OA＝1，∴PO＝，即点P的坐标为(0，)；例4题解图【思维教练】由于点G在x轴上，可知∠COG＝90°，要让它为等腰直角三角形，则需要分为当点G在x正半轴和负半轴两种情况讨论.例4题图②

(2)若点G是x轴上一点，当△OCG为等腰直角三角形时，求点G的坐标；(2)由(1)可知，点C的坐标为(0，－2)．∴OC＝2.∵点G在x轴上，∴当△OCG为等腰直角三角形时，分点G在x轴正半轴和负半轴两种情况讨论：①当点G在x轴正半轴时，∵OC＝OG，∴OG＝2.∴点G的坐标为(2，0)；例4题图②

②当点G在x轴负半轴时，∵OC＝OG，∴OG＝2.∴点G的坐标为(－2，0)．∴当点G是x轴上一点，△OCG为等腰直角三角形时，点G的坐标为(2，0)或(－2，0)；例4题图②

(3)若点P是抛物线上一点，是否存在点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；例4题图③【思维教练】因为△PBC是直角三角形，BC为直角边，则分点B、点C为直角顶点两种情况求解即可．(3)存在，满足条件的点P的坐标为(－5，18)或(－1，0)．设直线BC表达式为y＝kx＋b，将B(4，0)，C(0，－2)代入，得解得∴直线BC的表达式为y＝x－2，∵BC是Rt△PBC的直角边，∴分两种情况讨论；①当点B是直角顶点时，设PB所在直线的表达式为y＝－2x＋n，将点B(4，0)代入，解得n＝8，∴PB所在直线的表达式为y＝－2x＋8，例4题图③联立，即x2＋x－20＝0，解得x＝4(舍去)或x＝－5，此时点P(－5，18)；②当点C是直角顶点时，设PC所在直线的表达式为y＝－2x＋n，将点C(0，－2)代入，解得n＝－2，∴PC所在直线的表达式为y＝－2x－2，联立

，即x2＋x＝0，解得x＝－1或x＝0(舍去)，此时点P(－1，0)．综上所述，满足条件的点P的坐标为(－5，1