湖北省孝感市2024-2025学年高二数学上学期1月期末考试含解析

Page16湖北省孝感市2024-2025年高二数学上学期1月期末考试留意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知空间向量a=(-1,2,-1)，b=(x,-1,y).若a/​/bA.x-y=1 B.x+y=1 C.x+y=0 D.x+y=-22.设不同的直线l1:2x-my-1=0，l2:(m-1)x-y+1=0.则“m=2”是“lA.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件3.将字母a，b，c分别填入标号为a，b，c的三个方格里，每格填上一个字母，则每个方格的标号与所填的字母均不相同的概率是(

)A.16 B.13 C.124.过点A(1,-1)，B(-1,1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是(

)A.(x-3)2+(y+1C.(x-1)2+(y-15.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=2π3，AB=2，BC=CA.105 B.155 C.-106.已知双曲线的渐近线方程为y=±2x，则双曲线的离心率为(

)A.52 B.5 C.55或5 D.57.在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a1>0，SA.S7 B.S8 C.S98.法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔⋅蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中.过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线相互垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以a2+b2为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆.若椭圆C:x24+y2m=10<m<4的蒙日圆为E：x2A.椭圆C的离心率为1B.M到C的右焦点的距离的最大值为7C.若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2D.△MPQ面积的最大值为7二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知等差数列{an}为递减数列，且a3=1，A.数列{an}的公差为-C.数列{a1an}是公差为10.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25A.直线l恒过定点(3,1)B.圆C被y轴截得的弦长为4C.直线l与圆C恒相离D.直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为2x-y-5=011.抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l过点F，斜率为k(k>0)，且交抛物线C于A、B两点(点A在x轴的下方)，抛物线的准线为m，AA1⊥m交m于A1，BB1⊥m交m于BA.若BF=3FA，则k=3 B.C.若k=1，则|AB|=12 D.∠12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A.平面PB1B.A1P/​/C.异面直线A1P与AD.三棱锥D1第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）全科试题下载公众号《中学僧课堂》13.已知直线l的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为

．14.圆x2-4x+y2=0与圆x15.设数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Snn)(n∈N16.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1、F2，M是它们的一个交点，且cos∠F1MF2=14四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为25,(1) 3人都通过体能测试的概率;(2)只有2人通过体能测试的概率．18.(本小题12.0分)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满意：(1)求数列{an(2)若数列{bn}是等差数列，且b19.(本小题12.0分)已知AB为过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的弦，M为AB的中点，l为抛物线的准线，MN垂直于l于N(1)求抛物线C的方程;(2)求ΔAOB的面积(O为坐标原点).20.(本小题12.0分)已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AA(1)求证：平面A1AC(2)若∠A1AC=60∘，在线段AC上是否存在一点P使平面BA1P和平面21.(本小题12.0分)已知圆心在x轴上的圆C与直线l:4x+3y-6=0切于点M((1)求圆C的标准方程;(2)已知N(2,1)，经过原点且斜率为正数的直线l1与圆C交于P(x1,y22.(本小题12.0分)已知点F1(-1,0)，圆F2:(x-1)2+y2=8，点(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)动点P的轨迹C与x轴交于A，B两点(A在B点左侧)，直线l交轨迹C于M，N两点(M,N不在x轴上)，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查空间向量平行的坐标运算，属于基础题．【解答】解：依据题意，由a/​/b，设b=ta，即(x,-1,y)=t(-1,2,-1)=(-t,2t,-t)解可得：t=-1

2.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了两直线平行的判定，属于基础题．【解答】解：当m=2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.当l1/​/l2时，明显m≠0，从而有2m=m-1，即m2

3.【答案】B

【解析】【分析】本题考查古典概率的求解，排列问题，属基础题．【解答】解：将字母a，b，c填入标号为a，b，c的三个方格里有6种不同的填法，这6种状况发生的可能性是相等的.而每个方格的标号与所填的字母均不相同只有两种不同的填法.故所求概率P=2

4.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查圆的标准方程的求法，属于基础题．【解答】解：法一设点C为圆心．∵点C在直线x+y-2=0上，∴可设点C的坐标为(a,2-a)．又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|=|CB|．∴(a-1)2∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r=|CA|=2.故所求圆的标准方程为(x-1)法二解除法.依据圆心在直线x+y-2=0上，解除B，D.依据点B(-1,1)在圆上，解除A．

5.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了异面直线所成角的大小，属于基础题．【解答】解：解法一：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和则AB1、BC1夹角为MN和NP可知MN=12AB1=52，NP=∵PQ=1，MQ=12ACAC2=AB在△MQP中，MP=在ΔPMN中，由余弦定理得cos又异面直线所成角的范围是(0,π2]，∴AB1解法二：如图所示，补成四棱柱ABCD-A1B1BC1=2，BD=22+∴cos

6.【答案】D

【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率，属基础题．【解答】解：当双曲线的焦点在x轴上时，离心率e=当焦点在y轴上时e=1+(

7.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查等差数列前n项和中基本量的运算，及利用二次函数的性质求最值，属于中档题。【解答】解：由S8=S10得a1=-172d，由a

8.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了直线与椭圆的位置关系及其应用，属于中档题．【解答】解：对于A:由题意可得4+m=7，所以m=3，e=12对于B:记右焦点为F2(1,0)，设M(x而x0∈[-7,7]，∴|M对于C:由题意易得PQ为圆E的直径，A，B关于原点对称，从而k1k对于D:易得SAMPQ≤1

9.【答案】ABC

【解析】【分析】本题考查等差数列的通项及性质，属中档题．【解答】解：由题意知，a2+a4=2∴a4=∴公差d=a4-a又a1=a2-d=2，由上可知a1an=2an，则当n≥2时，∴数列{a1an}是首项为4，公差为∵a1an=5-n

10.【答案】AD

【解析】【分析】本题主要考查直线过定点问题，直线与圆的位置关系，属于中档题。【解答】解：将直线l的方程整理为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0，由x+y-4=02x+y-7=0解得则无论m为何值，直线l过定点D(3,1)，故A正确;令x=0，则(y-2)2=24，解得y=2±26，故圆C被y轴截得的弦长为4因为(3-1)2+(1-2)2=5<25，所以点D在圆C的内部，直线l圆心C(1,2)，半径为5，|CD|=5，当截得的弦长最短时，l⊥CD，k则直线l的斜率为2，此时直线l的方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.故D正确．

11.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查了直线与抛物线位置关系及其应用，属于中档题．【解答】解：对于A:设|BF|=3|FA|=3t，过A做AM⊥BB1于点M，则|BM|=2t，|AB|=4t，易得∠ABM=600对于B:过P、E分别作PP1⊥m、EE1⊥m于点P1、对于C:易得|AB|=xA+x对于D:由y2=4xy=k(x-1)得y2-4

12.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查空间中线面的位置关系，棱锥体积、异面直线夹角，属较难题．【解答】解：对于A:连接DB，因为正方体中，BB1⊥AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥ACDB，BB1为平面DBB1D因为DB1⊂平面DBB1因为AD1，AC为平面ACD1内两条相交直线，可得DB1⊥从而平面PB1D⊥故A正确;对于B:连接A1B，A1C1，A1C1/​/AC所以A1C1同理BC1/​/平面ACD1，又A所以平面BA1C因为A1P⊂平面BA1C1，所以A对于C:因为AD1/​/BC1，所以A1P与AD1所成角即为A1P与BC1所成的角，A1B=BC1=A1C1，则△BA1C1为等边三角形，当P与线段B对于D:由选项B得BC1/​/平面AD1C，故所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥P-A所以三棱锥D1-APC的体积不变，故

13.【答案】x-6y+6=0或x-6y-6=0

【解析】【分析】本题主要考查直线的一般方程的求法，属于基础题。【解答】解：设直线l的方程为xa+yb=1，∵12|ab|=3，且-ba=16，∴a=-6，b=1或a=6，b=-1

14.【答案】4

【解析】【分析】本题考查了圆的公共弦、公切线，属于基础题．【解答】解：x2-4x+y2=0⇒(x-2圆心坐标为(-2,0)，半径为1.两圆圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．

15.【答案】an【解析】【分析】本题考查数列中an与S【解答】解：依题意得，Snn=3n-2当n≥2时，an因为a1=S1=1

16.【答案】415【解析】【分析】本题主要考查椭圆、双曲线的定义，利用余弦定理求解焦点三角形问题，由基本不等式求最值，属于难题。【解答】解：不妨设M为第一象限的点，F1为左焦点，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则依据椭圆及双曲线的定义可得|MF1|+|MF2|=2a1，|MF1|-|MF2|=2所以3e12+5e2

17.【答案】解：设事务A=“甲通过体能测试”，事务B=“乙通过体能测试”，事务C=“丙通过体能测试”，则P(A)=25，P(B)=(1)设M1表示“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即M1=ABC，则由A，B，C(2)设M2表示“只有2人通过体能测试”，则M2=ABC+ABC+ABC，由于事务A与B，A与C，B与P(M2【解析】本题考查了相互独立事务的概率的应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d∵a3+∴a3，a4是方程x2-22x+117=0的两个根.又∵公差d>0∴a1+2d=9(2)由(1)知，Sn=n×1+n(n-1)∴b1=1c+1，b2=∴2c2+c=0∴c=-12(c=0舍去【解析】本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，属中档题．19.【答案】解：(1)依题意准线l的方程为x=-2，即-p2=-2抛物线的方程为y(2)设AB的方程为x=ty+2由x=ty+2y2依题意y1+y2|AB|=O到AB的距离d=21+t【解析】本题主要考查抛物线的焦点、准线，抛物线的标准方程，抛物线中的弦长公式，求解抛物线中的面积问题，属于中档题。20.【答案】解：(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1则有A1C⊥AC1，因A1B，A1C⊂平面A1而BC⊂平面A1BC，则AC1⊥BC，由∠ACB=90∘，得AC⊥BC，AC∩A从而得BC⊥平面A1ACC1，又BC⊂平面ABC，所以平面(2)解：在平面A1ACC1内过由(1)知平面A1ACC1⊥平面ABC则Cz⊥平面ABC，以C为原点，射线CA，CB，C2分别为x，y，z因∠A1AC=60∘，AC=AA1=4，BC=2，则假设在线段AC上存在符合要求的点P，设其坐标为P(λ,0,0)，(0≤λ≤4)，则有BA1=(2,-2,2设平面BA1P的一个法向量令x=2得n=(2,