新教材2025版高中数学课时作业八等比数列的概念及其通项公式二北师大版选择性必修第二册

课时作业(八)等比数列的概念及其通项公式(二)[练基础]1．在等比数列{an}中，a4＝6，则a2a6的值为()A．4B．8C．36D．322．一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，其公比为()A．eq\f(5,3)B．eq\f(4,3)C．eq\f(3,2)D．eq\f(1,2)3．等比数列{an}中，a2＝4，a7＝eq\f(1,16)，则a3a6＋a4a5的值是()A．1B．2C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)4．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于()A．9B．10C．11D．125．计算机的价格不断降低，若每件计算机的价格每年降低eq\f(1,3)，现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降低为()A．300元B．900元C．2400元D．3600元6．(多选题)对随意等比数列{an}，下列说法肯定正确的是()A．a1，a3，a5成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列7．已知数列{an}是等比数列，an>0，a5＝eq\f(1,2)，且a2a8a11＝8，则数列{an}的公比q＝________．8．已知某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是________．9．在等比数列{an}中，a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．10．设数列{an}是各项均为正数的等比数列，bn＝log2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1b2b3＝－3，求此等比数列的通项公式．[提实力]11．(多选题)已知数列{an}是正项等比数列，且eq\f(2,a3)＋eq\f(3,a7)＝eq\r(6)，则a5的值可能是()A．2B．4C．eq\f(8,5)D．eq\f(8,3)12．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以eq\f(1,2)为首项的等比数列，则eq\f(m,n)等于()A．eq\f(3,2)B．eq\f(3,2)或eq\f(2,3)C．eq\f(2,3)D．以上都不对13．在eq\f(8,3)和eq\f(27,2)之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．14．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝eq\f(15,8)，a8a9＝－eq\f(9,8)，则eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＋eq\f(1,a10)＝________．15．从盛满aL(a>1)纯酒精的容器中倒出1L纯酒精，然后加满水，再倒出1L混合溶液后又用水加满，如此接着下去……第n次操作后酒精的浓度是多少？若a＝2，至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%?[培优生]16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；其次次得到数列1，2，2，4，2；….设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt，2，并记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N*，求数列{an}的通项公式．课时作业(八)等比数列的概念及其通项公式(二)1．解析：因为{an}是等比数列，所以a2a6＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝36.故选C.答案：C2．解析：设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，解得x＝25，所以这三个数为45，75，125，公比q为eq\f(75,45)＝eq\f(5,3).故选A.答案：A3．解析：a3a6＝a4a5＝a2a7＝4×eq\f(1,16)＝eq\f(1,4)，所以a3a6＋a4a5＝eq\f(1,2).故选C.答案：C4．解析：在等比数列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(1))q10＝q10.∵am＝a1qm－1＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.故选C.答案：C5．解析：降低后的价格构成以eq\f(2,3)为公比的等比数列．则现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降低为8100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝2400(元).故选C.答案：C6．解析：设eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公比是q，则an＝a1qn－1，A．eq\f(a3,a1)＝q2＝eq\f(a5,a3)，a1，a3，a5成等比数列，正确；B.eq\f(a3,a2)＝q，eq\f(a6,a3)＝q3，在q≠1时，两者不相等，错误；C.eq\f(a4,a2)＝q2，eq\f(a8,a4)＝q4，在q2≠1时，两者不相等，错误；D.eq\f(a6,a3)＝q3＝eq\f(a9,a6)，a3，a6，a9成等比数列，正确．故选AD.答案：AD7．解析：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))是等比数列，则a2a8a11＝eq\f(a7,q5)·a7q·a7q4＝aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))＝8，所以a7＝2，而an>0，a5＝eq\f(1,2)，所以公比q＝2.答案：28．解析：设一月份产值为1，此年的月平均增长率为x.则(1＋x)11＝m，解得x＝eq\r(11,m)－1.答案：eq\r(11,m)－19．解析：在等比数列{an}中，由a3a4a5＝aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝8，得a4＝2，又因为a2a6＝a3a5＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))，所以a2a3a4a5a6＝aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(4))＝25＝32.10．解析：由b1＋b2＋b3＝3，得log2(a1a2a3)＝3，∴a1a2a3＝23＝8.∵aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝a1a3，∴a2＝2.设等比数列{an}的公比为q.∵b1b2b3＝－3，∴log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,q)))log22log2(2q)＝－3，即(1－log2q)·1·(1＋log2q)＝－3.解得log2q＝2或log2q＝－2.∴q＝4或q＝eq\f(1,4).∴所求等比数列{an}的通项公式为an＝22n－3或an＝25－2n.11．解析：依题意，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是正项等比数列，∴a3>0，a7>0，a5>0，∴eq\r(6)＝eq\f(2,a3)＋eq\f(3,a7)≥2eq\r(\f(2,a3)·\f(3,a7))＝eq\f(2\r(6),\r(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))))，因为a5>0，所以上式可化为a5≥2，当且仅当a3＝eq\f(2\r(6),3)，a7＝eq\r(6)时等号成立．故选ABD.答案：ABD12．解析：不妨设eq\f(1,2)是x2－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，∴m＝4＋eq\f(1,2)＝eq\f(9,2)，对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1＜x2)，则x1x2＝2，∴等比数列为eq\f(1,2)，x1，x2，4，∴q3＝eq\f(4,\f(1,2))＝8，∴q＝2，∴x1＝1，x2＝2，∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，∴eq\f(m,n)＝eq\f(9,2×3)＝eq\f(3,2).若设eq\f(1,2)是x2－nx＋2＝0的根，同理得n＝eq\f(9,2)，m＝3，则eq\f(m,n)＝eq\f(2,3).故选B.答案：B13．解析：方法一设这个等比数列为{an}，其公比为q.∵a1＝eq\f(8,3)，a5＝eq\f(27,2)＝a1q4＝eq\f(8,3)·q4，∴q4＝eq\f(81,16)，∴q2＝eq\f(9,4).∴a2a3a4＝a1q·a1q2·a1q3＝aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(1))q6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)))eq\s\up12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up12(3)＝63＝216.方法二设这个等比数列为{an}，公比为q，则a1＝eq\f(8,3)，a5＝eq\f(27,2)，加入的三项分别为a2，a3，a4.∵由题意可知a1，a3，a5也成等比数列，且a3与a1，a5同号，∴aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝eq\f(8,3)×eq\f(27,2)＝36，故a3＝6.∴a2a3a4＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))·a3＝aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝216.答案：21614．解析：因为eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a10)＝eq\f(a7＋a10,a7a10)，eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＝eq\f(a8＋a9,a8a9)，又因为a8a9＝a7a10，所以eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＋eq\f(1,a10)＝eq\f(a7＋a8＋a9＋a10,a8a9)＝eq\f(\f(15,8),－\f(9,8))＝－eq\f(5,3).答案：－eq\f(5,3)15．解析：第一次取出纯酒精1L，加水后，浓度为eq\f(a－1,a)＝1－eq\f(1,a)，记为a1＝1－eq\f(1,a)；其次次取出纯酒精eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))·1L，再加水后，浓度为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))eq\s\up12(2)，记为a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))eq\s\up12(2)；……依次类推，第n次取出纯酒精eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))eq\s\up12(n－1)·1L，再加水后，浓度为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))eq\s\up12(n)，记为an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))eq\s\up12(n).当a＝2时，由an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)<10%，得n≥4.即至少倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.16．解析：an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，所以an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·xt·(xt·2)·2]＝log2(12·xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(1))·xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2))·xeq