高中数学第三章不等式3-4-1基本不等式同步课件新人教A版必修5

3.4基本不等式:第1课时基本不等式主题基本不等式1.若a,b∈R,则代数式a2+b2与2ab的关系如何?提示:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以对∀a,b∈R,a2+b2≥2ab.2.上述结论中,“=”何时成立?提示:对于(a-b)2,当a=b时,(a-b)2=0,所以当a=b时,a2+b2=2ab,等号成立.3.若把a看作()2,把b看作()2,那么a+b与2的关系如何?提示:所以a+b≥2.4.问题3的结论中,等号成立的条件是什么?提示:对于()2≥0,当即a=b时,等号成立,此时a+b=2.结论:1.重要不等式当a,b是任意实数时,有a2+b2≥____,当且仅当____时,等号成立.2aba=b2.基本不等式(1)有关概念:当a,b均为正数时,把______叫做正数a,b的算术平均数,把____叫做正数a,b的几何平均数.(2)不等式:当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即≤_____,当且仅当____时,等号成立.(3)文字叙述:两个正数的___________不大于____________.a=b几何平均数算术平均数(2)不等式:当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即≤_____,当且仅当____时,等号成立.(3)文字叙述:两个正数的___________不大于____________.a=b几何平均数算术平均数【对点训练】1.有下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0,其中能使≥2成立的条件是 (

)

A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.①ab>0,则>0和>0都成立,故①正确;②ab<0,显然不成立;③中a>0,b>0和④中a<0,b<0都可以使>0和>0成立.2.设a,b为正数,且a+b≤4,则 (

)A.≤1 B.≥2C.ab≤4 D.ab≥8【解析】选C.因为a,b为正数,且a+b≥2,所以ab≤≤4,当且仅当a=b=2时取等号.3.已知x+3y=2,则3x+27y的最小值为________.

【解析】3x+27y=3x+33y≥2=2=6,当且仅当3x=33y,即x=3y=1时等号成立.答案:63.已知x+3y=2,则3x+27y的最小值为________.

【解析】3x+27y=3x+33y≥2=2=6,当且仅当3x=33y,即x=3y=1时等号成立.答案:6类型一基本不等式及其简单应用【典例1】1.设0<a<b,则下列不等式中正确的是(

)

2.给出下面四个推导过程:①因为a,b∈(0,+∞),所以②因为x,y∈(0,+∞),所以lgx+lgy≥2③因为a∈R,a≠0,所以+a≥2=4;④因为x,y∈R,xy<0,所以其中正确的推导过程为 (

)A.①② B.②③ C.③④ D.①④【解题指南】1.运用基本不等式证明,也可以用特殊值法排除错误选项.2.注意基本不等式运用的条件,一正二定三相等.【解析】1.选B.方法一:因为b>a>0,所以,2b>b+a,b>,所以a<<b.方法二:取a=2,b=8,则所以a<<b.2.选D.从基本不等式成立的条件考虑.①因为a,b∈(0,+∞),所以∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,所以①的推导过程正确;②虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lgx是负数,y∈(0,1)时,lgy是负数,所以②的推导过程是错误的;③因为a∈R,a≠0不符合基本不等式的条件,所以+a≥2=4是错误的;④由xy<0得均为负数,但在推导过程中将全体提出负号后,-与-均变为正数,符合基本不等式的条件,所以④正确.【方法总结】基本不等式应用的注意事项(1)若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”,可考虑利用基本不等式解决,同时要注意结合函数的性质.(2)利用基本不等式时,还要注意是否满足条件,即a>0,b>0.【拓展延伸】基本不等式常见推论(1)(2)当a>0时,a+≥2.(3)当ab>0时,≥2.(4)(a1,a2,…,an∈R+且n≥2,n∈N*).(5)(a1+a2+…+an)≥n2(a1,a2,…,an∈R+且n≥2,n∈N*).【跟踪训练】1.设f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是(

)A.q=r<p B.q=r>pC.p=r<q D.p=r>q【解析】选C.由条件可得p=f()=ln(ab)

=ln(ab)=(lna+lnb),r=(f(a)+f(b))=(lna+lnb)=p,由不等式的性质:在0<a<b的条件下,,且函数f(x)=lnx是增函数,所以p=f()<q=f,所以p=r<q.2.设a,b,c都是正数,则a+,b+,c+这三个数

(

)A.都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2【解析】选C.a,b,c都是正数,根据基本不等式可得a++b++c+≥2+2+2=6,若a+,b+,c+都小于2,则与不等式矛盾,因此,至少有一个不小于2;当a+,b+,c+都等于2时,选项A,B错误,都等于3时,选项D错误.【补偿训练】已知函数f(x)=|lg(x-1)|,若a≠b,f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是________.

【解析】由f(a)=f(b)得a>1,b>1,且|lg(a-1)|=|lg(b-1)|.由对数函数的性质得,lg(a-1)+lg(b-1)=0,所以(a-1)·(b-1)=1,所以ab=a+b,故a+2b=(a+2b)·(当且仅当时等号成立).答案:[2+3,+∞)类型二利用基本不等式证明不等式【典例2】(2019·全国卷Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.【解题指南】(1)利用abc=1将所证不等式可变为证明:a2+b2+c2≥bc+ac+ab,利用基本不等式可证得2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac,从而得到结论;(2)利用基本不等式可得(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)(b+c)(c+a),再次利用基本不等式可将不等式转化为(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24,在取等条件一致的情况下,可得结论.【解析】(1)因为abc=1,所以=·abc=bc+ac+ab，因为2(a2+b2+c2)=(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)≥2ab+2bc+2ac，当且仅当a=b=c时取等号，所以2(a2+b2+c2)≥2,即:a2+b2+c2≥

(2)因为(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)(b+c)(c+a),当且仅当a=b=c时取等号，又a+b≥2,b+c≥2,a+c≥2(当且仅当a=b=c时等号同时成立)所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3×2×2×2=24又abc=1,所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.【方法总结】利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.(2)注意事项:①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.【跟踪训练】若a,b,c是正实数,且=1,求证:a+b+c≥1.【证明】a+2b+3c=(a+2b+3c)==3+2+2+2=9,当且仅当a=2b=3c时,上式取得等号.则有

a+b+c≥1.【知识思维导图】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏【证明】a+2b+3c=(a+2b+3c)==3+2+2+2=9,当且仅当a=2b=3c时,上式取得等号.则有

a+b+c≥1.(2)注意事项:①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.3.若把a看作()2,把b看作()2,那么a+b与2的