2017-2018学年北京市清华附中高二（上）期末数学试卷（理科）

2017-2018学年北京市清华附中高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（共8小题，共8X5=40分）

1.（5分）（2019•红桥区一模）若p：VxGR,sinxWl,贝!J（）

A.-«p：3xo£R,sinxo>lB.「p：VxGR,sinx>1

C.ip：3xo£R,sinxo^lD.「p：VxER,sinxNl

x2

2.（5分）（2018秋•潍坊期末）双曲线方程为一-/=1,则渐近线方程为（）

4

11

A.y=±-xB.y=±2xC.y=±xD./

3.（5分）（2017秋•海淀区校级期末）下列命题中的假命题是（）

A.V.x-GR,2x-1>0B.VxeR,（x-1）2>0

C.3x6R,Zgx<lD.3xGR,tanx=2

4.（5分）（2010•天津），是虚数单位，复数--;=（）

1-1

A.l+2iB.2+4，C.-l-2zD.2-z

5.（5分）（2017•丰台区二模）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该

几何体最大的侧面的面积为（）俯视图

A.1B.V2C.V3D.2

6.(5分)(2017•山西二模)函数/(无)=log2%+x-2的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

7.（5分）（2017秋•海淀区校级期末）“x>0”是“x+siiu>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.（5分）（2017秋•海淀区校级期末）如图，在棱长为1的正方体ALBICIDI中,

点、E、F是棱BC、CG的中点，尸是底面ABC。上（含边界）一动点，满足4PLER

A.[1,字]B.俘，1]C.[1,V3]D.[V2,V3]

二、填空题（共6小题，共6X5=30分）

9.（5分）（2017秋•海淀区校级期末）复数z=1-2i（其中i为虚数单位）的虚部为.

10.（5分）（2017秋•海淀区校级期末）命题“若xWO,则/>0”的逆否命题为.

11.（5分）（2017秋•海淀区校级期末）抛物线?=4y上的点到其焦点的最短距离为.

12.（5分）（2017秋•海淀区校级期末）已知对VxeR,af-x+l〉。恒成立，则°的取值范

围是.

13.（5分）（2017秋•海淀区校级期末）在下列四个命题：

①VxCR,/+3]+1>0；

②VxEQ,-x2+2-^+1是有理数；

（3）3a,PER,使sin（a+0）=sina+sin0；

（4）3x,yGZ,使3x-2y=10

真命题的序号是.

f4

2a—（%+-）/x<a

14.（5分）（2017•石景山区一模）已知f（%）=•彳”.

x——，x>a

\x

①当〃=1时，f（x）=3,则％=；

②当时，若/G）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则〃=.

三、解答题（共6小题，共80分）

15.（13分）（2017秋•海淀区校级期末）设命题p：y=ln（?+（a-1）x+1）的定义域为R；

命题q：复数z=a-1+（a-2）i（oeR）表示的点在第四象限.若p\/q为真，p/\q为

假，求a的取值范围.

16.（13分）（2017秋•海淀区校级期末）在△A8C中，内角A,B,C所对的边为a,b,c.已

知3cosA-2=0,sin(A+C)=V5cosC.

(/)求tanC的值；

(〃)若a=2,求△ABC的面积.

17.（13分）（2016秋•通州区期末）在四棱锥P-ABC®中，△以8为正三角形，四边形A3CD

为矩形，平面出8,平面ABC。，AB=2AD,M,N分别为PB,PC中点.

（I）求证：〃平面PAD；

（II）求二面角3-AM-C的大小；

BE

（III）在8C上是否存在点E,使得平面AMN?若存在，求一的值；若不存在，

请说明理由.

18.（14分）（2017秋•海淀区校级期末）已知函数/（x）=^siiu--ax.

（1）若a=0,求曲线y=/（x）在（0,f（0））处的切线方程；

7T

（〃）若/（无）在［0,不上为单调函数，求。的取值范围.

19.（14分）（2017秋•海淀区校级期末）已知椭圆）+9=1（〃＞匕＞0）长轴为A3,如

azbz

图所示，直线/：x=2与椭圆相切与8点，且椭圆的离心率为6=苧.

（/）求椭圆方程；

（〃）设尸点为椭圆上的动点，过P做x轴的垂线，垂足为延长HP到。，使得|尸司

=\PQ\,直线AQ与直线/交于点M,N为线段MB的中点，判断直线QV与以A8为直

径的圆的位置关系，并给出证明.

20.（13分）（2017秋•海淀区校级期末）设｛珈｝为至少有三项的有限数列，若它满足：

①0Wm<a2<…<帆

②Vi,JEN*,iWiW/Ww,勾+山与勾-山至少有一个是数列｛丽｝中的某一项则称该数列为

8-数列

（1）判断数列①1,2,4；②0,2,4,6是否为B-数列.

nag

（〃）设数列的，a2,…即是B-数列，求证a】+a2H---1-an=Ci+>0

dll'）求证："数列m,。2,…珈为3-数列”是“m,碓，…即是等差数列”的充分不

必要条件.

2017-2018学年北京市清华附中高二（上）期末数学试卷

（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，共8×5=40分）

1.（5分）（2019•红桥区一模）若p：VxGR,sinxWl,则（）

A.-ip：BxoER,sinxo>lB.->p：VxGR,sinx>1

C.~<p：BxoER,sinxo^lD.->p：VxGR,sinx》l

【考点】2H：全称量词和全称命题；2J：命题的否定.

【专题】29：规律型.

【分析】根据全称命题的否定为特称命题，分别对量词和命题的结论分别进行否定即可

求解

【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，

VxGR,sinxWl的否定为：sinx>1

故选：A.

【点评】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础试题

%2

2.（5分）（2018秋•潍坊期末）双曲线方程为一-/=1,则渐近线方程为（）

4

11

A.y——~xB.y=±2xC.y=+xD.y=

【考点】KC：双曲线的性质.

【专题】11：计算题.

【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求.

【解答】解：•••双曲线方程为—~y2*4=l,则渐近线方程为丁-/=0,即丫=土芳,

44/

故选：A.

【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准

方程中的1换成0即得渐近线方程.

3.（5分）（2017秋•海淀区校级期末）下列命题中的假命题是（）

A.V.rGR,2xl>0B.V.reR,（x-1）2>0

C.BxeR,lgx<lD.3xGR,tanx=2

【考点】2K：命题的真假判断与应用.

【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；5L：简易逻辑.

【分析】由指数函数的值域，可判断A；由完全平方数非负，可判断&

1,,

由x=lgx<Of可判断G由tanx=2可得x=hr+arctan2,%£Z,可判断£）.

【解答】解：由指数函数的值域可得，VxeR,2］一1>0,即A正确；

VxGR,（x-1）2>0,不正确，比如％=1,则（x-1）2=0,则5不正确；

_1

lgx<1,正确，比如x=lgx<0,即。正确；

由tanr=2可得了=E+arctan2,依Z,则D正确.

故选：B.

【点评】本题考查命题的真假判断，注意运用指数函数的值域和对数函数的性质、正切

函数的性质，考查判断能力，属于基础题.

3+i

4.（5分）（2010•天津），是虚数单位，复数--;=（）

1-1

A.l+2iB.2+4/C.-l-2zD.2-i

【考点】A5：复数的运算.

【专题】5N：数系的扩充和复数.

【分析】复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共粗复数，化简即可.

3+i(3+i)(l+i)2+4i

【解答】解：-1+2i.

(1-0(1+02

故选：A.

【点评】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题.

5.（5分）（2017•丰台区二模）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该

几何体最大的侧面的面积为（）俯视图

A.1B.V2C.V3D.2

【考点】L!：由三视图求面积、体积.

【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离.

【分析】判断几何体的图形，利用三视图的数据求解最大侧面面积即可.

【解答】解：由三视图可知几何体是一条侧棱与底面垂直，底面是正方形，四棱锥的高

为2,底面正方形的对角线的长为2,

111

四棱锥的4个侧面面积分别为：-xV2x2=V2；-xV2x2=V2；-x42x

y/4-+2=V^；-xV2xV4+2=Vs-

最大侧面面积为：V3.

故选：C.

【点评】本题考查三视图求解几何体的侧面面积，考查数形结合以及空间想象能力计算

能力.

6.(5分)(2017•山西二模)函数/(%)=log4+x-2的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【考点】52：函数零点的判定定理.

【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用.

【分析】由题意知函数/(x)=log“+尤-2在(0,+8)上连续，再由函数的零点的判

定定理求解.

【解答】解：函数/(x)=log2x+x-2在(0,+8)上连续，

f(1)=0+1-2<0；

f(2)=1+2-2>0；

故函数/(x)=log2x+x-2的零点所在的区间是(1,2)；

故选：B.

【点评】本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题.

7.(5分)(2017秋•海淀区校级期末)“x>0”是“x+siiu:>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】33：函数思想；49：综合法；5L：简易逻辑.

【分析】问题转化为y=-x和y=sii«的图象的位置，画出函数的图象，读图即可得到

答案.

【解答】解：若x+sinx>0,

只需y=-尤的图象在y=sinx的下方即可，

画出函数>=-》和>=5111%的图象，如图示：

由图象得：x>0是x+siiu>0的充要条件，

故选：C.

【点评】本题考查了充分必要条件，考查数形结合思想，是一道基础题.

8.（5分）（2017秋•海淀区校级期末）如图，在棱长为1的正方体ABC。-AiBiCiDi中,

点E、尸是棱BC、CC1的中点，P是底面ABC。上（含边界）一动点，满足4PLER

则线段4P长度的取值范围是（）

B•俘，J

A.[1,C.[1,V3]D.[V2,V3]

【考点】MK：点、线、面间的距离计算.

【专题】39：运动思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离.

【分析】连接BCi,A\D,可得EF〃BCi,AiD±BCi,则AiO_LEF,再由已知正方体可

得DCVEF,得EP_L平面A1DC,则A1CA.EF,得到当P在线段CD上运动时，有AiP

VEF,进一步得到当尸与。重合时，4尸有最小值为鱼，当P与C重合时，A1P有最大

值为

【解答】解：如图，

连接8C1,A1D,可得EFV/BCi,A1D1BC1,

：.A1D±EF,

又DCLEF,可得EF_L平面AiDC,贝！IAiC_LER

当尸在线段。上运动时，有

当尸与。重合时，A1P有最小值为a,当尸与C重合时，4尸有最大值为次.

，线段4P长度的取值范围是［/，V3］.

故选：D.

【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，解

决本题的关键是通过构造平行平面寻找尸点位置，属中档题.

二、填空题（共6小题，共6×5=30分）

9.（5分）（2017秋•海淀区校级期末）复数z=l-2式其中i为虚数单位）的虚部为-2.

【考点】A1：虚数单位i、复数.

【专题】5N：数系的扩充和复数.

【分析】利用复数的概念即可得到答案.

【解答］解：数z=l-2,•的虚部为-2,

故答案为：-2.

【点评】本题考查复数的基本概念，属于基础题.

10.（5分）（2017秋•海淀区校级期末）命题“若尤W0,则/>0”的逆否命题为“若X2

W0,则x=0”.

【考点】21：四种命题.

【专题】38：对应思想；40：定义法；5L：简易逻辑.

【分析】根据命题“若p,则的逆否命题为“若「g,则「p”，写出即可.

【解答】解:命题“若尤W0,则/>0”的逆否命题为

“若/W0,则尤=0”.

故答案为：“若/W0,贝Ux=o”.

【点评】本题考查了命题与它的逆否命题应用问题，是基础题.

11.（5分）（2017秋•海淀区校级期末）抛物线/=4y上的点到其焦点的最短距离为

【考点】K8：抛物线的性质.

【专题】31：数形结合；40：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】根据抛物线的定义与性质，结合图象求出抛物线上的点到其焦点的最短距离.

【解答】解：设抛物线/=4y上的点为尸（x,y）,y'O；

则点尸到其焦点尸（0,1）的距离，等于到其准线y=-1的距离，

••d=\y-（-1）|=|y+l|Nl,

・•・最短距离为1.

故答案为：1.

【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，是基础题.

12.（5分）（2017秋•海淀区校级期末）已知对VxER,o?恒成立，则〃的取值范

围是•

【考点】73：一元二次不等式及其应用.

【专题】35：转化思想；47：判别式法；59：不等式的解法及应用.

【分析】利用判别式求出不等式a?-X+1>O恒成立时a的取值范围.

【解答】解：对VxER,a/_冗+1>0恒成立，

.（a>0

.[△<0

即2>°,

ll-4a<0

1

解得〃〉波;

：.a的取值范围是

故答案为：

【点评】本题考查了不等式恒成立问题，是基础题.

13.（5分）（2017秋•海淀区校级期末）在下列四个命题：

①R,/+3x+1>0；

11

②VxCQ,-x2+2^+1是有理数；

③三支，pGR,使sin（a+p）=sina+sin0；

（4）3x,yCZ,使3尤-2y=10

真命题的序号是②⑶⑷.

【考点】2K：命题的真假判断与应用.

【专题】38：对应思想；49：综合法；5L：简易逻辑.

【分析】举例说明①错误，③④正确；利用有理指数塞的运算性质说明②正确.

【解答】解：当x=-1时，/+3x+l=-1<0,故①为假命题；

VxeQ,J1+分1+i是有理数，故②为真命题；

取a=2E（A：eZ）,则sin（a+0）=sina+sin0成立，故③为真命题；

取尤=10,j=10,则使3x-2y=10成立，故④为真命题.

综上可得：②③④是真命题.

故答案为：②③④.

【点评】本题考查了命题真假的判断、实数的理论及其三角函数，考查了推理能力，属

于中档题.

4

2a—(%+-)/x<a

14.(5分)(2017•石景山区一模)已知/(无)=

4、

x——，x>a

x

①当〃=1时，f(x)=3,则丘=4

②当-1时，若/(x)=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则

【考点】5B：分段函数的应用.

【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用.

【分析】①当〃=1时，，(x)=3,利用分段函数建立方程，即可求出x的值；

②由/(%)=3,求得x=-l,或x=4,根据;aVx2〈x3,且它们依次成等差数列，可

得aW-1,/(-6)=3,由此求得Q的值.

【解答】解：①x—1=3,可得％=4；%V1,2-(x+^)=3,即/+%+4=0无解，

故x=4；

4

②由于当时，解方程/(%)=3,可得％-1=3,求得x=-l,或x=4.

Vxi<X2<X3,且它们依次成等差数列，，双=-1,%3=4,XI=-6,.•.aW-L

・・・xV〃时，方程/(x)=3只能有一个实数根为-6,

?11

再根据/(-6)=2〃+6+@=3,求得〃=—万,溺足aW~1.

故答案为4,

【点评】本题主要考查分段函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，

体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题.

三、解答题(共6小题，共80分)

15.(13分)(2017秋•海淀区校级期末)设命题p：y=^(7+(〃-l)x+l)的定义域为R；

命题q：复数z=a-1+(〃-2)i(〃CR)表示的点在第四象限.若p\lq为真，pAq为

假，求〃的取值范围.

【考点】2E：复合命题及其真假.

【专题】35：转化思想；40：定义法；5L：简易逻辑.

【分析】求出命题p,q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行转化求解即可.

【解答］解：若y=/〃(/+(。-1)x+1)的定义域为R,则/+(〃-1)l+1>0恒成立，

即判别式4=(。-1)2-4V0,得(〃-1)2<4,得-2<a-1<2,即-1<。<3,即p：

-1<«<3,

若复数Z=〃-1+(4-2)i(tzGR)表示的点在第四象限.

贝严-1>0,得卜>1,即即q：1V〃V2,

Q—2Vola<2

若pVg为真，p/\g为假，

则P，g一个真，一个假，

若〃真q假，贝41,得2Wa<3或-

la>2或a<1

右p假g真，贝3，此时无解，

ll<a<2

综上实数a的取值范围是2Wa<3或-l<aWl.

【点评】本题主要考查复合命题真假关系的求解，求出命题为真命题的等价条件是解决

本题的关键.

16.(13分)(2017秋•海淀区校级期末)在△ABC中，内角A,B,C所对的边为a,b,c.已

知3cosA-2=0,sin(A+C)=V5cosC.

(Z)求tanC的值；

(〃)若a=2,求△ABC的面积.

【考点】HU：解三角形.

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形.

【分析】(I)推导出sinA=由正弦加法定理得sinAcosC+cosAsinC=V^cosC,从而

y/S2

—cosC+sinC=yjScosC,由此能求出tanC.

33

2c__

(〃)由正弦定理得：——=——，从而求出。=遍，再由余弦定理求出。=2+VL由

sinAsinC

此能求出△ABC的面积.

【解答】解：(I)・・,在△A3C中，内角A,B,。所对的边为〃，b,c,

3cosA-2=0,sin(A+C)=75cosC.

cosA=等sinA=J1—(令2=亭，

sinAcosC+cosAsinC=y/ScosC,

,V52r-

—cosC+nsinC=7'cosC,

33

.2厂

—十一tanC=V5,

33

解得tanC=V5.

（〃）VtanC=V5,.入出。=铛

2c

由正弦定理得:

sinAsinC

.2sinC2x^|^7

^c=H^A=~/^~=yj6,

T

・・c・4b+c2-tz22£)2+6—4

・4=2,..COSA=----即----一----=------

2bc32&-V6'

解得b=2+a,

...△ABC的面积:

-1-1V30V30+715

S=2absinC=々x2x(2+V2)x

63

【点评】本题考查角的正切值的求法，考查三角形的面积的求法，考查正弦加法定理、

正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

17.（13分）（2016秋•通州区期末）在四棱锥P-ABCD中，AEAB为正三角形，四边形ABCD

为矩形，平面平面ABC。，AB=2AD,M,N分别为PB,PC中点.

（I）求证：MN〃平面PAD；

（II）求二面角8-AM-C的大小;

BE

（IID在上是否存在点E‘使得EN,平面若存在’求而的值；若不存在'

请说明理由.

二面角的平面角及求法.

【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角.

【分析】（I）推导出MN//BC//AD,由此能证明MN〃平面PAD.

（II）过点尸作尸。垂直于42,交42于点。，建立空间直角坐标系，利用向量法能求

出二面角AM-C的大小.

（III）设E（l,入，0）,则无=（W1易，由此利用向量法能求出在2c存在

BE1

点E,使得ENL平面AMN,此时一=

BC2

【解答】（本小题满分14分）

证明：（I）,：M,N分别是PC中点

C.MN是AABC的中位线

.,.MN//BC//AD

又「AOu平面PAD,MNC平面PAD

所以MN〃平面必.（4分）

解：（H）过点P作PO垂直于A8,交A8于点。，

因为平面E4B_L平面ABC。，所以尸O_L平面ABC。，

如图建立空间直角坐标系,

设A8=2,贝!JA(-1,0,0),C(1,1,0),

1V3

M(一，0,—),

22

11V3

B(1,0,0),N(一，一，—)，

222

TT2

则"=(2,L0),AM=(右0,

设平面CAM法向量为元=（%「力,Zi）,

(2/+%=0

,Hi-AC=0

由二-，得3工门

--z=o'

%•AM=0尹1+2i

令无1=1,则%=-2,zt--V3,即%=(1,-2,-V3)

平面A3M法向量R=（0,1,0）

TTI-

所以，二面角B-AM-C的余弦值忙”田=粤生-=¥

因为二面角B-AM-C是锐二面角，

所以二面角8-AM-C等于45°….（10分）

（IID存在点E,使得EN_L平面….（11分）

设E（l,入，0）,则加=（一2|-2,瞪），

—>—>

由硬勺=0可得2J

(EN-MN=0

所以在BC存在点E,使得ENL平面AMN,

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足条件的点是否存在的

判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.

18.(14分)(2017秋•海淀区校级期末)已知函数/(尤)=/sinx-ax.

(/)若a=0,求曲线y=/(x)在(0,f(0))处的切线方程；

7T

(〃)若/(无)在［0,/上为单调函数，求。的取值范围.

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；52：导数的概念及应用.

【分析】(I)根据题意，将a=0代入函数解析式，可得/(x)="siiu,计算可得了(0)

=0,即可得切点的坐标，求出了(尤)的导数计算/(0)的值，可得切线的斜率，由直

线的点斜式方程计算可得答案；

(II)根据题意，求出了(无)的导数，设g(尤)—f(x)="(sin%+cosx)-a,求出

7T

g(X)的导数，分析可得g(尤)在区间［0,万］上为增函数，据此可得g(x)的最值，由

71

函数的导数与单调性的关系可得g(x)20或g(x)W0在［0,万］上恒成立，分析可得答

案.

【解答】解：(I)根据题意，。=0时，f(x)=e*sinr,

则/(0)=0,即切点的坐标为(0,0),

f'(x)=^sinx+e^cosx=(sinx+cosx),则，(0)=1,即切线的斜率为1,

则切线的方程为丁=心

(II)函数/(x)=^siiix-ax,则，(x)="(sinx+cosx)-a,

令g(%)=f(x)=，(sirix+cosx)-a,

则g'(x)=2dcosx,

7T

又由xe［0,-］,则g'(x)NO,则函数g(x)为增函数，则g(x)的最小值为g(0)

n匹

=1-a,g(x)的最大值为g(―)=e2-a,

nn

若/(x)在［0,万］上为单调函数，则g(x)20或g(x)W0在［0,万］上恒成立；

若g(无)20恒成立，则有1“三0,必有aWl；

7171

若g(x)W0恒成立，则有e2—aWO,必有e2,

71

综合可得：。的取值范围为(-8,i］(j|e2,+8)

【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性以及计算函数的切线方程，注意对a的值

进行分情况讨论.

19.(14分)(2017秋•海淀区校级期末)已知椭圆二+三=1(〃＞人＞0)长轴为AB,如

azbz

图所示，直线/：尤=2与椭圆相切与8点，且椭圆的离心率为6=苧.

(D求椭圆方程；

(〃)设尸点为椭圆上的动点，过P做x轴的垂线，垂足为延长HP到。，使得|尸司

=\PQ\,直线AQ与直线/交于点M,N为线段MB的中点，判断直线QN与以A8为直

径的圆的位置关系，并给出证明.

【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合.

【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】(/)运用椭圆的离心率公式和a,b,c的关系，可得a,b,进而得到椭圆方程；

(〃)设P(xo,yo)代入椭圆方程，进而表示出。的坐标，求得|。0|推断出。点在以。

为圆心，2为半径的圆上.根据点A的坐标表示出直线AQ的方程，令x=0,表示出M

->—>

和N的坐标，代入OQ・NQ求得结果为0,进而可推知OQLQN,推断出直线。N与圆。

相切.

【解答】解：⑺由题意可得。=2,e*=号,

可得c=V5,b=Va2—c2=1,

%2

则椭圆方程为7+y2=l；

4

X2

(〃)设尸(xo,yo),则旦+^^二：!，

4

；HP=PQ,：.Q(xo,2yo).

22

OQ=y/x0+4y0=2,

点在以。为圆心，2为半径的圆上.

即。点在以为直径的圆。上.

又A(-2,0),

直线AQ的方程为y=%(x+2),

为0十」

8Vn

令x=2,得M(2,--).

2+XQ

又B(2,0),N为的中点，

4yo

：.N(2,--),

XQ+2

tt2xy

.\OQ=(xo,2yo),NQ=(xo-2,----o---n-),

2+%o

x2

：.OQ-NQ=xo(xo-2)=xo(xo-2)+o(^-^o)

7

2+x02+x0

=xo(尤o-2)+尤o(2-xo)0,

即OQLNQ,

直线QN与圆。相切.

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查了考生综合分析问题和基本

的运算能力，属于中档题.

20.(13分)(2017秋•海淀区校级期末)设｛金｝为至少有三项的有限数列，若它满足：

@0^ai<a2<"'<an

②V3jeN*,iWz.WjWm勾+由与勾-at至少有一个是数列｛斯｝中的某一项则称该数列为

8-数列

(/)判断数列①1,2,4；@0,2,4,6是否为B-数列.

(〃)设数列＜72,…即是B-数列，求证a1+a2+—卜a"=

(HD求证：“数列m,及，…而为8-数列”是及，…以是等差数列”的充分不

必要条件.

【考点】8B：数列的应用.

【专题】11：计算题；14：证明题；49：综合法；55：点列、递归数列与数学归纳法.

【分析】(I)由题意判断①是B-数列，②是数列；

(II)根据8-数列的定义，推理并计算。1+。2+。3+…+。〃=今(Gl+an);

数列m,及，…，即构成等差数列，

举例说明等差数列m,及，…，即不一定是8-数列.

【解答】解：(I)由题意，数列单调递增，且对任意i,j(IWZWJWW),aj+ai与aj-ai

两数中至少有一个是该数列中的项，

对于①数列1,2,4；单调递增，且满足。3-。2=4-2=2是该数列中的数，.•.是B-数

列；

②数列0,2,4,6；单调递增，且满足勾+劣与勾-4(lWiWjW3)都是该数列中的项，

数列0,2,4,6是B-数列；

(II)证明：令j=n,i＞1,则由“a+q与勾-由两数中至少有一个属于B-数列”，

:.纥+可不属于B-数列”an-5属于B-数列；

令="-1,那么斯-即一1是集合B-数列中某一项，m不行，。2可以；

如果是。3或者04,那么可知a”-。3=而-1,那么珈-。2＞而-。3=。"-1，只能是等于a,”

矛盾；

所以令-1可以得到an=ai+an-\,

同理，令i=n-2、n-3,…,2,可以得到一，，

，倒序相加即可得到ai+a2+a3+--+an=(ai+a”)；

(III)证明：由(II)可知，an=ai+an+l-i,(i=1,2,…，〃)；

•・Cln-1~di+dn-i.

••ClnCln-1~Cln+l-i-Cln-it(i=l，2,3,…,W);

'.a\,ai,­••,。"构成等差数列；

若数列ai,及，…斯为等差数列，

则是。2,…初不一定是8-数列，

如0,1,3是等差数列，但不是B-数列，

•••是充分不必要条件.

【点评】本题考查了新定义的应用问题，也考查了数列与应用问题，是难理解的题目.

考点卡片

1.四种命题

【知识点的认识】

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条

件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另

一个叫做原命题的逆命题.

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否

定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另

一个叫做原命题的否命题.

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结

论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做

原命题，另一个叫做原命题的逆否命题.

【解题方法点拨】

理解四种命题的概念，能根据定义准确、正确的写出四种命题，判断命题的真假要注意与其

它考点的知识、方法相结合.

【命题方向】高考中一般在选择题中出现以命题的形式考察其它知识点的运用，由于本考点

可与高中数学中多处的考点相结合，故考察类型多样，都是基本概念与基本方法的题.

2.充分条件、必要条件、充要条件

【知识点的认识】

1、判断：当命题“若p则/'为真时，可表示为p今q,称p为q的充分条件，q是p的必

要条件.事实上，与“0今/等价的逆否命题是“「4台「P”.它的意义是：若q不成立，

则p一定不成立.这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件.例如：p：

x>2；q-.尤>0.显然xC。，则xCq.等价于xCq,则x即一定成立.

2、充要条件：如果既有“p=q”,又有“qnp”,则称条件p是q成立的充要条件，或称条

件4是0成立的充要条件，记作p与q互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与

必要条件，缺一不可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件,

必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反

例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若pnq为真命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若p=q为假命题且q=p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若pnq为真命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若p0cl为假命题且q0P为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.

⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断

命题p与命题q的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而

几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，

所以命题的范围特别广.

3.复合命题及其真假

【知识点的认识】

含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题.若此命题的真假满足真值

表，就是复合命题，否则就是简单命题.逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”

“且”“非”含义不尽相同.判断复合命题的真假要根据真值表来判定.【解题方法点拨】

能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及

祈使句都不是命题.能判断真假的不等式、集合运算式也是命题.写命题P的否定形式，

不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究

的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可.如果命题研究的

对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是。而要分清

命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全

称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词

的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题.因此，在

表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也

应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：

关等大小至至至至任任PP

键于于于是能都没多少少多-iV.两且或

词(=)(>)(<)是有有有有有的个QQ

一一nn

个个个个

否不不不不至至一至至某「尸

定等大小不不都少少个多少某两或且

词于于于是能是有有都有有个个rQrQ

(W)(<)(A一两没YI-\n+1

个个有个个

若原命题P为真，贝h尸必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆

命题是等价命题，同真同假.

4.全称量词和全称命题

【全称量词工短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.符号：V

应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法

1.全称量词与存在量词

(1)全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对

每一个”等词，用符号