江苏省无锡市金星中学2025届九年级数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

江苏省无锡市金星中学2025届九年级数学第一学期期末学业质量监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．某次数学纠错比赛共有道题目，每道题都答对得分，答错或不答得分，全班名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示：成绩（分）人数则全班名同学的成绩的中位数和众数分别是（）A．， B．， C．，70 D．，2．电影《流浪地球》一上映就获得追捧，第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了11.52亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为x，则可列方程（）A．8（1+x）＝11.52 B．8（1+2x）＝11.52C．8（1+x）＝11.52 D．8（1﹣x）＝11.523．关于x的一元二次方程x2﹣mx+（m﹣2）=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定4．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠1）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝1；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝1的两根分别为﹣3和1；④当x＜1时，y＜1．其中正确的命题是（）A．②③ B．①③ C．①② D．①③④5．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点.6．如图，如果从半径为6cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的底面半径为()A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm7．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A的度数是()A．30° B．45° C．60° D．90°8．下列方程中，是关于x的一元二次方程的为（）A． B． C． D．9．如图是半径为2的⊙O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是（）A．2 B．1 C． D．10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．球体 B．圆锥 C．棱柱 D．圆柱11．下列事件是不可能发生的是（）A．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上B．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1C．今年冬天黑龙江会下雪D．一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域12．二次函数y=ax1+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=1，下列结论：（1）4a+b=0；（1）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+1c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y1）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y1；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x1，且x1＜x1，则x1＜﹣1＜5＜x1．其中正确的结论有（）A．1个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（每题4分，共24分）13．反比例函数的图象上有一点P(2，n)，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝____________．14．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．二次函数y=x2−4x+5的图象的顶点坐标为．16．在一个不透明的袋子中有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，在袋子中再放入个白球后，从袋子中随机摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在0.95左右，则______.17．一元二次方程的解为________．18．已知，是方程的两个实根，则______．三、解答题（共78分）19．（8分）把函数C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）．（1）填空：t的值为（用含m的代数式表示）（2）若a＝﹣1，当≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式；（3）当m＝0时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．20．（8分）如图，∆ABD内接于半径为5的⊙O，连结AO并延长交BD于点M，交圆⊙O于点C，过点A作AE//BD，交CD的延长线于点E,AB=AM.(1)求证：∆ABM∽∆ECA.(2)当CM=4OM时，求BM的长.(3)当CM=kOM时，设∆ADE的面积为,∆MCD的面积为，求的值(用含k的代数式表示).21．（8分）在平面直角坐标系xoy中，点A(-4,-2)，将点A向右平移6个单位长度，得到点B.（1）若抛物线y＝-x2＋bx＋c经过点A,B，求此时抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下的抛物线顶点为C，点D是直线BC上一动点（不与B，C重合），是否存在点D，使△ABC和以点A,B,D构成的三角形相似？若存在，请求出此时D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线y＝-x2＋bx＋c的顶点在直线y＝x＋2上移动，当抛物线与线段有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．22．（10分）随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）本次调查的学生共有___________人，估计该校名学生中“不了解”的人数是__________人；（2）将条形统计图补充完整；（3）“非常了解”的人中有，两名男生，，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到名男生的概率．23．（10分）已知关于x的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为1．当△ABC是等腰三角形时，求k的值24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）；（2）判断并证明：直线DE与⊙O的位置关系；（3）若AB=10，BC=8，求CE的长．25．（12分）社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示.已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为640平方米.（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？26．如图，抛物线的图象经过点，顶点的纵坐标为，与轴交于两点.（1）求抛物线的解析式.（2）连接为线段上一点，当时，求点的坐标.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，求出最中间2个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可．【详解】把这组数据从小到大排列，最中间2个数的平均数是(70+80)÷2=75；

则中位数是75；

70出现了13次，出现的次数最多，则众数是70；

故选：A．【点睛】本题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．2、C【分析】设平均每天票房的增长率为，根据第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了11.52亿元，即可得出关于的一元二次方程．【详解】解：设平均每天票房的增长率为，根据题意得：．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3、A【解析】试题解析：△=b2-4ac=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．点睛：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4、B【分析】利用x=1时，y=1可对①进行判断；利用对称轴方程可对②进行判断；利用对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，1），则根据抛物线与x轴的交点问题可对③进行判断；利用抛物线在x轴下方对应的自变量的范围可对④进行判断．【详解】∵x＝1时，y＝1，∴a+b+c＝1，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，1），而抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，1），∴方程ax2+bx+c＝1的两根分别为﹣3和1，所以③正确；当﹣3＜x＜1时，y＜1，所以④错误．故选：B．【点睛】本题考查的是抛物线的性质及对称性，掌握二次函数的性质及其与一元二次方程的关系是关键．5、C【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，

∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．

故选：C．【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．6、B【分析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，首先求得留下的扇形的弧长，利用勾股定理求圆锥的高即可.【详解】解：∵从半径为6cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，∴剩下的扇形的角度=360°×=240°，∴留下的扇形的弧长=，∴圆锥的底面半径cm；故选：B.【点睛】此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7、C【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值可得：∠A=60°．8、B【解析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（1）未知数的最高次数是1；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax1＋bx＋c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．【详解】解：A.,是分式方程,B.,正确,C.,是二元二次方程,D.,是关于y的一元二次方程,故选B【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1．9、C【分析】过O作OH⊥AB于H，根据正六边形ABCDEF的性质得到∠AOB＝＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH＝30°，AH＝AB＝1，于是得到结论．【详解】解：过O作OH⊥AB于H，在正六边形ABCDEF中，∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴∠AOH＝30°，AH＝AB＝1，∴OH＝AH＝，故选：C．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．10、D【解析】试题分析：观察可知，这个几何体的俯视图为圆，主视图与左视图都是矩形，所以这个几何体是圆柱，故答案选D.考点：几何体的三视图.11、B【分析】根据不可能事件的概念即可解答，在一定条件下必然不会发生的事件叫不可能事件.【详解】A.随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上，可能发生，故本选项错误；B.随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1，不可能发生，故本选项正确；C.今年冬天黑龙江会下雪，可能发生，故本选项错误；D.一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域，可能发生，故本选项错误.故选B.【点睛】本题考查不可能事件，在一定条件下必然不会发生的事件叫不可能事件.12、B【解析】根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-4a，变形为4a+b=0，所以（1）正确；由x=-3时，y＞0，可得9a+3b+c＞0，可得9a+c＞-3c，故（1）正确；因为抛物线与x轴的一个交点为(-1,0)可知a-b+c=0，而由对称轴知b=-4a，可得a+4a+c=0，即c=-5a.代入可得7a﹣3b+1c=7a+11a-5a=14a，由函数的图像开口向下，可知a＜0，因此7a﹣3b+1c＜0，故（3）不正确；根据图像可知当x＜1时，y随x增大而增大，当x＞1时，y随x增大而减小，可知若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y1）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1=y3＜y1，故（4）不正确；根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5，0），所以若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x1，且x1＜x1，则x1＜﹣1＜x1，故（5）正确．正确的共有3个.故选B.点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax1+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．

抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b1﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b1﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b1﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（每题4分，共24分）13、1【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数的图象上，即可得出k＝2n＝3(n﹣1)，解出即可．【详解】∵点P的坐标为(2，n)，则点Q的坐标为(3，n﹣1)，依题意得：k＝2n＝3(n﹣1)，解得：n＝3，∴k＝2×3＝1，故答案为1．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由P点坐标表示出Q点坐标．14、：k＜1．【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△==4﹣4k＞0，解得：k＜1，则k的取值范围是：k＜1．故答案为k＜1．15、（2，1）【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.【详解】将二次函数配方得则顶点坐标为（2，1）考点：二次函数的图象和性质．16、1【分析】根据用频率估计概率即可求出摸到白球的概率，然后利用概率公式列出方程即可求出x的值．【详解】解：∵经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在0.95左右∴摸到白球的概率为0.95∴解得：1经检验：1是原方程的解．故答案为：1．【点睛】此题考查的是用频率估计概率和根据概率求数量问题，掌握概率公式是解决此题的关键．17、，【解析】利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解.【详解】由原方程，得，则或，解得，.故答案为：，.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法.因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.18、27【分析】根据根与系数的关系，由x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，即可得到答案.【详解】∵x1，x2是方程

x2−5x−1=0

的两根，∴x1+x2=5，x1∙x2=−1，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=52-2×（-1）=27；故答案为27.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，并正确进行化简计算.三、解答题（共78分）19、（1）2m﹣1；（2）C2：y＝x2﹣4x；（3）0＜a或a≥1或a≤﹣．【分析】（1）C1：y＝ax2−2ax−3a＝a（x−1）2−4a，顶点（1，−4a）围绕点P（m，0）旋转180°的对称点为（2m−1，4a），即可求解；（2）分≤t＜1、1≤t≤、t＞三种情况，分别求解,（3）分a＞0、a＜0两种情况，分别求解．【详解】解：（1）C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，顶点（1，﹣4a）围绕点P（m，0）旋转180°的对称点为（2m﹣1，4a），C2：y＝﹣a（x﹣2m+1）2+4a，函数的对称轴为：x＝2m﹣1，t＝2m﹣1，故答案为：2m﹣1；（2）a＝﹣1时，C1：y＝﹣（x﹣1）2+4，①当≤t＜1时，x＝时，有最小值y2＝，x＝t时，有最大值y1＝﹣（t﹣1）2+4，则y1﹣y2＝﹣（t﹣1）2+4﹣＝1，无解；②1≤t≤时，x＝1时，有最大值y1＝4，x＝时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，y1﹣y2＝≠1（舍去）；③当t＞时，x＝1时，有最大值y1＝4，x＝t时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，y1﹣y2＝（t﹣1）2＝1，解得：t＝0或2（舍去0），故C2：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；（3）m＝0，C2：y＝﹣a（x+1）2+4a，点A、B、D、A′、D′的坐标分别为（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a）、（0，1）、（﹣3a，0），当a＞0时，a越大，则OD越大，则点D′越靠左，当C2过点A′时，y＝﹣a（0+1）2+4a＝1，解得：a＝，当C2过点D′时，同理可得：a＝1，故：0＜a≤或a≥1；当a＜0时，当C2过点D′时，﹣3a＝1，解得：a＝﹣，故：a≤﹣；综上，故：0＜a≤或a≥1或a≤﹣．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转等，其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏．20、(1)证明见解析；(2);(3)【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，以及平行线的性质得出角相等，再利用两角对应相等的两个三角形相似解题.（2）连接BC构造直角三角形，再过B作BF⊥AC，利用所得到的直角三角形，结合勾股定理解题.（3）过点M作出△MCD的高MG,再由,得出线段间的比例关系，从而可得出结果.【详解】解：(1)∵弧CD=弧CD，∴.∵，∴.∴∵弧AD=弧AD∴∴(2)连接BC，作，∵半径为5，∴.∵，∴，.∴.由图可知AC为直径，,得.，解得.在中，，则.∴.在中，.(3)当，即，，，∵，∴，∴.过M作,,(以AC为直径)，可知，∴.【点睛】此题是圆中的相似问题，一般利用两角相等证明相似，同时注意结合圆中作辅助线的技巧，构造直角三角形是解题的关键.21、（1）y＝-x2-2x＋6；（2）存在，D(,)；（2）-4≤t＜-2或0＜t≤1．【分析】（1）根据点A的坐标结合线段AB的长度，可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）由抛物线解析式，求出顶点C的坐标，从而求出直线BC解析式，设D(d,-2d+4)，根据已知可知AD=AB=6时，△ABC∽△BAD，从而列出关于d的方程，解方程即可求解；（2）将抛物线的表达式变形为顶点时，依此代入点A，B的坐标求出t的值，再结合图形即可得出：当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时t的取值范围．【详解】（1）∵点A的坐标为（-4，-2），将点A向右平移6个单位长度得到点B，∴点B的坐标为（2，-2）．∵抛物线y＝-x2+bx＋c过点，∴,解得∴抛物线表达式为y＝-x2-2x＋6（2）存在.如图由（1）得，y＝-x2-2x＋6＝-(x+1)2＋7，∴C(-1,7)设直线BC解析式为y＝kx＋b∴解之得，∴lBC：y＝-2x＋4设D(d,-2d+4)，∵在△ABC中AC=BC∴当且仅当AD=AB=6时，两三角形相似即(-4-d)2+(-2+2d-4)2=26时，△ABC∽△BAD，解之得，d1=、d2=2(舍去)∴存在点D，使△ABC和以点A,B,D构成的三角形相似，此时点D(,)；（2）如图：抛物线y＝-x2+bx＋c顶点在直线上∴抛物线顶点坐标为∴抛物线表达式可化为．把代入表达式可得解得．又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点，∴-4≤t＜-2．把代入表达式可得．解得，又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点，∴0＜t≤1．综上可知的取值范围时-4≤t＜-2或0＜t≤1．【点睛】本题考查了点的坐标变化、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形相似，解题的关键是：（1）根据点的变化，找出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）假设△ABC∽△BAD，列出关于d的方程，（2）代入点A，B的坐标求出t值，利用数形结合找出t的取值范围．22、（1）50，600；（2）见解析；（3）见解析，【分析】（1）用“非常了解”的人数除以其对应百分比可得总人数，用1减去其他所占的百分比可得“不了解”的学生所占百分比，用2000乘以“不了解”的学生所占百分比即可得“不了解”的学生人数；（2）先求出“不了解”的人数，再补充条形统计图即可；（3）根据题意画出表格，可得一共12种抽取情况，恰好抽到2名男生的情况有2种，再利用概率公式计算即可．【详解】解：（1）本次调查的学生总人数为人；“不了解”的学生所占百分比为，估计该校名学生中“不了解”的人数约有（人）（2）30%×50=15（人）如下图（3）列表如下，由表可知共有种可能的结果，恰好抽到名男生的结果有个，（恰好抽到名男生）【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及树状图和表格求远概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．23、（5）详见解析（4）或【分析】（5）先计算出△=5，然后根据判别式的意义即可得到结论；（4）先利用公式法求出方程的解为x5=k，x4=k+5，然后分类讨论：AB=k，AC=k+5，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．【详解】解：（5）证明：∵△=（4k+5）4-4（k4+k）=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（4）解：一元二次方程x4-（4k+5）x+k4+k=0的解为x=，即x5=k，x4=k+5，∵k＜k+5，∴AB≠AC．当AB=k，AC=k+5，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；当AB=k，AC=k+5，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+5=5，解得k=4，所以k的值为5或4．【点睛】5．根的判别式；4．解一元二次方程-因式分解法；5．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质．24、(1)见解析;(3)直线DE是⊙O的切线,证明见解析;（3）3.3或4.3【分析】（1）依据题意，利用尺规作图技巧补全图形即可；（3