弹塑性力学讲稿

弹塑性力学MechanicsofElasticityandPlasticity（TeachingPapers）主讲：林高用职称：教授单位：材料科学与工程学院中南大学

2009.2教学大纲课程编号：06020022课程名称：弹塑性力学学分：2

总学时：32

实验学时：课内上机学时：先修课程要求：

在学习本课程前应学完高等数学、线性代数、工程力学、理论力学等基础课程，要求有较为扎实的数学基础；本课程又是后继重点课程《金属塑性加工原理》的基础。适应专业：材料科学与工程专业本科生参考教材：王仲仁等：《弹性与塑性力学基础》，哈尔滨工业大学出版社，1997彭大暑：《金属塑性加工力学》，中南工业大学出版社，1989王龙甫：《弹性理论》，科学出版社，1979陈昌麟：《材料科学中的固体力学》，北航出版社，1999教学大纲一、

本课程在培养方案中的地位、目的和任务

弹塑性力学属于固体力学的一个重要分支，包括弹性力学、塑性力学和断裂力学基础三部分内容。本课程属于材料科学与工程专业本科生学科基础课程，是本学科的主干课程之一。其任务是系统地介绍弹性、塑性及断裂力学的基本方程、基本原理及基本求解方法；其目的是使学生通过该门课程的学习，掌握弹性与塑性力学的基本知识，建立起一种系统的力学分析概念，并为后继课程，尤其是《金属塑性加工原理》的学习打下基础。

教学大纲二、本课程的基本要求1．要求掌握弹性和塑性变形的力学特点；2．要求掌握弹性力学的5组基本方程、2组基本原理和2种基本求解方法；3．要求掌握应力函数概念、设计思路及求解过程，并对位错的应力场、厚壁筒、孔边应力集中、残余应力的机械测定原理等实例形成较深刻的印象；4．要求掌握塑性条件的两个基本准则（Tresca准则和Mises准则）和塑性增量与全量理论的基本概念及表达方法；5．要求掌握金属断裂的基本类型及力学特点。

教学大纲三、本课程的基本内容以及重点难点绪论（2学时）弹、塑性变形特点与研究内容；本课程学习目的、意义等。第一章应力应变分析（6学时）点的应力状态的定义、描述、分解；特殊应力；点的应变状态的定义；应力与应变分析的相似性与差异性；变形力学图。应力张量的分解与图示是本章的重点。第二章弹性力学基础（14学时）5组基本方程（应力平衡微分方程、几何方程、物理方程、应变相容方程、边值条件方程）；4组基本原理（圣维南原理、叠加原理、最小势能原理、虚功原理）；2种基本求解方法（位移法、应力法）；5个工程实例（错配球问题、水坝受力问题、厚壁筒问题、孔边应力集中问题、宏观残余应测试原理、位错的应力场等）。应力法求解弹性力学问题是本章也是本课程的重点；其难点在于用应力法求解时边界条件的确定。第三章塑性力学基础（6学时）两种屈服准则（Tresca准则、Mises准则）；塑性应力应变关系的两种理论（增量理论、全量理论）；塑性变形硬化模型、几种解析方法简介。第四章断裂力学基础（4学时）裂纹扩展的类型、裂纹尖端应力场、应力强度因子、断裂准则、KIC等。教学大纲

四、实验要求

无实验

五、考核方式

闭卷考试目录(contents)教学大纲开场白第一章

绪论……………………..1第二章

应力分析………………..3第三章

应变分析……………….10第四章

物理方程与边界条件………………….14例题讲解…………….17第五章

弹性力学的基本原理………………….24第六章

弹性力学基本求解方法……………….26第七章

塑性力学基础………….49第八章

断裂力学基础………….54总结与复习………….57

开场白（OpeningRemarks）

1．自我介绍（Self-introduction）林高用（1966.9—），教授，材料科学与工程学院材料加工系；1989年本科毕业于湘潭大学机械系，1995年硕士毕业于中科院金属研究所，2006年博士毕业于中南大学。1995年开始从教，1998年开始讲授该课程。研究方向：铝、铜、锌合金材料及加工工艺与模具设计、数值模拟等。联系方式O），8660299（H）；

e-mail:gylin6609@

开场白（OpeningRemarks）2．

关于这门课（Aboutthiscourse）

弹塑性力学属于固体力学的一个重要分支，包括弹性力学、塑性力学和断裂力学基础三部分内容。本课程属于材料科学与工程专业本科生学科基础课程，是本学科的主干课程之一（必选），共32学时，2学分。其任务是系统地介绍弹性、塑性及断裂力学的基本方程、基本原理及基本求解方法；其目的是使学生通过该门课程的学习，掌握弹性与塑性力学的基本知识，建立起一种系统的力学分析概念，并为后继课程，尤其是《金属塑性加工原理》的学习打下基础。开场白（OpeningRemarks）3.关于授课（Aboutteaching）

以课堂授课为主，结合查阅资料与课堂讨论（并在适当的时候与大家讨论一些你们感兴趣的问题）；授课方式为多媒体教学与黑板版述相结合；关键词进行英文板书，为该课程实现双语教学做准备；主体内容讲授13次，讨论1次，习题讲解2次。

4.关于学习（Aboutstudying）

听课加自学；重在理解而不在记忆；不是为考试而学。

开场白（OpeningRemarks）5．关于考核与考试（Aboutcheckingandtest）

出勤与作业（presenceandhomework）：20%

期终考试（finaltest）：80%

考我所讲，讲我所考！

(IexamwhatIhavetaught;IteachwhatIwilltest.）（特别提醒：无故旷课5次以上者，将被取消考试资格）第一章绪论(Introduction)

1.1研究内容

弹塑性力学是研究物体变形规律的一门学科，是固体力学的一个分支。研究变形体受外界作用（外载荷、边界强制位移、温度场等）时在变形体内的反应（应力场、应变场、应变速度场等）。

与其它工程力学（理论力学、材料力学、结构力学）的区别：研究方法、对象、结果的差异。弹塑性力学的研究对象是整体（而不是分离体）变形体内部的应力、应变分布规律（而不是危险端面）。

第一章绪论(Introduction)1.2几个基本概念弹性(elasticity)：卸载后变形可以恢复特性，可逆性塑性(plasticity)：物体产生永久变形的能力，不可逆性屈服(yielding)：开始产生塑性变形的临界状态损伤(damage)：材料内部缺陷产生及发展的过程断裂(fracture)：宏观裂纹产生、扩展到变形体破断的过程

第一章绪论(Introduction)1.3弹性、塑性变形的力学特征可逆性：弹性变形——可逆；塑性变形——不可逆

-

关系：弹性变形——线性；塑性变形——非线性与加载路径的关系：弹性——无关；塑性——有关对组织和性能的影响：弹性变形——无影响；塑性变形——影响大（加工硬化、晶粒细化、位错密度增加、形成织构等）变形机理：弹性变形——原子间距的变化；塑性变形——位错运动为主弹塑性共存：整体变形中包含弹性变形和塑性变形；塑性变形的发生必先经历弹性变形；在材料加工过程中，工件的塑性变形与工模具的弹性变形共存。

第一章绪论(Introduction)第一章绪论(Introduction)1.4基本假设假设的目的：为了简化研究连续性假设（无间隙、无空洞、无堆积）均质、各向同性假设弹、塑性体假设弹性体——满足广义虎克定律；塑性体——符合体积不可压缩规律小变形假设（几何假设。弹性：整个变形体；塑性：各个变形瞬时）无初始应力作用假设

第二章应力分析(StressAnalysis)

2.1外力、内力与应力外力(load)与内力(internalforce)

外力P：施加在变形体上的外部载荷。内力Q：变形体抗衡外力机械作用的体现。

第二章应力分析(StressAnalysis)

应力（stress）应力S是内力的集度内力和应力均为矢量应力的单位：1Pa=1N/m2=1.0197kgf/mm2

1MPa=106N/m2应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点的应力不同。应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即同一点不同方位的截面上的应力是不同的。第二章应力分析(StressAnalysis)应力可以进行分解Sn

n、

n（n—normal,法向）

某截面（外法线方向为n）上的应力：

或者

（求和约定的缩写形式）

全应力(stress)正应力(normalsress)剪应力(shearstress)第二章应力分析(StressAnalysis)2.2一点的应力状态及应力张量（stresstensor)一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有截面上的应力的有无、大小、方向等情况。一点的应力状态的描述：数值表达：

x=50MPa，

xz=35MPa

图示表达：在单元体的三个正交面上标出（如图2-3）

张量表达：

(i,j=x,y,z)

（对称张量，9个分量，6个独立分量。）第二章应力分析(StressAnalysis)第二章应力分析(StressAnalysis)应力的分量表示及正负符号的规定

ij

xx、

xz……（便于计算机应用）

i——应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外法线方向平行的坐标轴)j——应力分量本身作用的方向当i=j时为正应力

i、j同号为正（拉应力），异号为负（压应力）当i≠j时为剪应力

i、j同号为正，异号为负

第二章应力分析(StressAnalysis)应力的坐标变换（例题讲解）*

实际应用：晶体取向、织构分析等应力莫尔圆**：

二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆掌握如何画、如何分析（工程力学已学，看书）

第二章应力分析(StressAnalysis)2.3主应力(principalstress)及应力张量不变量

(stressinvariants)

设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力均为零）的存在，可得应力特征方程：

第二章应力分析(StressAnalysis)应力不变量式中第二章应力分析(StressAnalysis)讨论：

1.可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的；

2.三个主平面是相互正交的；

3.三个主应力均为实根，不可能为虚根；

4.应力特征方程的解是唯一的；

5.对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性；

6.应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程度，与塑性变形无关；

I3也与塑性变形无关；I2与塑性变形有关;7.应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。

第二章应力分析(StressAnalysis)主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材）主应力的图示

第二章应力分析(StressAnalysis)2.4主剪应力和最大剪应力主剪应力(principalshearstress)：极值剪应力（不为零）平面上作用的剪应力。主应力空间的｛110｝面族（P10图1-10有错）。最大剪应力(maximunshearstress)：

通常规定：则有最大剪应力：或者：其中：且有：第二章应力分析(StressAnalysis)2.5八面体应力(octahedralstress)

即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。这组截面的方向余弦为：

正应力剪应力

总应力八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有关。

第二章应力分析(StressAnalysis)八面体应力的求解思路：因为第二章应力分析(StressAnalysis)2.6等效应力（equivalentstress）

讨论：1.等效的实质？是（弹性）应变能等效（相当于）。

2.什么与什么等效？复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效

3.如何等效？等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。

4.等效的意义？屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。

第二章应力分析(StressAnalysis)2.7应力张量的分解

(i,j=x,y,z)

其中

即平均应力，为柯氏符号。

即

第二章应力分析(StressAnalysis)讨论：分解的依据：静水压力实验证实，静水压力不会引起变形体形状的改变，只会引起体积改变，即对塑性条件无影响。为引起形状改变的偏应力张量(deviatoricstresstensor)，为引起体积改变的球张量(sphericalstresstensor)（静水压力）。与应力张量类似，偏应力张量也存在相应的不变量：

（体现变形体形状改变的程度）第二章应力分析(StressAnalysis)2.8应力平衡微分方程

直角坐标下的应力平衡微分方程*

即（不计体力）

物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。第二章应力分析(StressAnalysis)推导原理：静力平衡条件：

静力矩平衡条件：泰勒级数展开：

第二章应力分析(StressAnalysis)圆柱坐标下的应力平衡微分方程

球坐标下的应力平衡微分方程？

第六章弹性问题的求解6.3平面问题(planeproblem)的弹性解

所谓平面问题，就是把受力物体看作是处在与一个坐标面（如xoy平面）平行的平面内，然后在该平面内进行求解的力学问题。

（三维问题，复杂，一大堆方程平面问题，简单）

平面应变问题（长轴类问题）(planestrainproblem)

特点：①几何上：，且沿z轴各截面相同。

例如：水坝、油管、燧洞等；②外力垂直于z轴且沿z轴不变；③远离两端的部分位移与z轴无关，只与x，y有关。

第六章弹性问题的求解6.3平面问题(planeproblem)的弹性解位移条件：

由几何方程得应变分量

第六章弹性问题的求解6.3平面问题(planeproblem)的弹性解

由物理方程可得应力分量其中（拉梅常数），（体积应变），

、E、G为材料弹性常数。第六章弹性问题的求解6.3平面问题(planeproblem)的弹性解

注意：是否意味实际上：若只考虑平面分量，则广义虎克定律可以简化为：其中：这就是平面应变问题的广义虎克定律。

第六章弹性问题的求解6.3平面问题(planeproblem)的弹性解

不难证明：应力平衡微分方程：

应变连续方程：

第六章弹性问题的求解6.3平面问题(planeproblem)的弹性解

平面应力问题(planestressproblem)（薄板类问题）特点：①几何上：。例：薄膜问题、薄板拉伸、胀形等②z向无外力或很微小，载何沿z向分布均匀.第六章弹性问题的求解6.3平面问题(planeproblem)的弹性解

由应力假设可得应力分量由物理方程可得应变分量

第六章弹性问题的求解6.3平面问题(planeproblem)的弹性解

讨论：①平面应力问题与平面应变问题的比较：平面应力问题：由应力假设有，但平面应变问题：由位移假设有,而②应力平衡微分方程应变连续方程与材料性能无关边界条件方程因此，对于复杂的平面应力应变状态，可以用其它材料进行模拟(simulation)，只要几何条件、受力条件相似，应力、应变规律是相同的。例如：光弹性试验、光塑性试验（密栅方纹法）等。③可以用平面应力下的薄板模型代替平面应变状态的长轴类构件进行弹性问题的求解。将平面应力问题的物理方程中的弹性参数进行相应变换：即可得到平面应变弹性问题的物理方程。第六章弹性问题的求解6.3平面问题(planeproblem)的弹性解

极坐标系下的基本方程

1．应力平衡微分方程

2．几何方程

3．物理方程

第六章弹性问题的求解6.3平面问题(planeproblem)的弹性解

极坐标系下的基本方程

4．应力函数及相容方程（由坐标变换获得）

在直角坐标系中

第六章弹性问题的求解6.3平面问题(planeproblem)的弹性解

极坐标系下的基本方程在直角坐标系中，令体积力为0，则有相容方程

即在极坐标系中，则有相容方程

即

5．应力分量坐标变换式

第六章弹性问题的求解轴对称问题(axi-symmetricalproblem)的求解轴对称：几何与载荷场均中心对称。应力函数，由于轴对称，

相容方程为：

将其展开则成为一个欧拉方程。

第六章弹性问题的求解轴对称问题的求解令，求解可得：

其中A，B，C，D为待定积分参数。于是应力场为

应变场为

第六章弹性问题的求解轴对称问题的求解

由几何方程可求得位移场：第六章弹性问题的求解厚壁筒(thick-wellbarrel)受均压的应力解：（平面应变问题→平面应力问题）如图，厚壁筒内径为2a，外径为2b，内压力为qa，外压为qb。将已知条件代入轴对称问题应力场通解，则可得：

少一个条件。第六章弹性问题的求解厚壁筒受均压的应力解：利用位移单值条件，即对于当当于是有

应力解为第六章弹性问题的求解厚壁筒受均压的应力解：讨论：（1）常数（与r无关）从而常数表明：厚壁筒变形后各载面（垂直z轴）仍为平面。（平面应力与平面应变问题的转换条件）（2）当，即只受内均压作用时，

（压应力）

（拉应力）第六章弹性问题的求解厚壁筒受均压的应力解：讨论：最大应力（危险应力）为

表明：无论壁厚多大，要使减小到是不可能的；因此，当外载qa达到或接近材料强度极限时，采取加大壁厚的措施来提高厚壁筒承载能力是无济于事的。提高厚壁筒承载能力的措施：将厚壁筒做成双层或多层结构，通过装配紧配合，提高最内层承力筒的外压qb

，从而减小和。例：挤压筒、炮筒、压力容器等。第六章弹性问题的求解厚壁筒受均压的应力解：（3）当qa=0，则厚壁筒只受外压（如燧道），则

危险应力若无孔洞，即a=0，则可见，只要有孔洞，无论孔洞多小，在孔洞内壁处必存在应力集中。应力集中因子≥2

（4）当，体现了圣维南原理。（但构件的内力系是平衡的）第六章弹性问题的求解孔边应力集中(stressconcentration)问题

（1）如图，无限大平板受双向等拉应力作用；板中有一直径为2a的小孔。建立如图所示坐标系；假想一直径为2b的圆与小孔同心，根据受力分析，圆周上的径向应力为

于是可简化为厚壁筒问题的一特殊情况，即的情况，于是有应力解

第六章弹性问题的求解孔边应力集中问题

因，于是有孔边的应力集中因子为：

第六章弹性问题的求解孔边应力集中问题

（2）如图，无限大平板受一拉一压的双向应力作用，如何求解？

（不是常数）

不对称，如何解？（采用半逆解法）

第六章弹性问题的求解孔边应力集中问题

设应力函数为为什么这样设计？因为对二次求导仍含项，对一次求导后含项。正好与

r和

r

的分析相符。第六章弹性问题的求解孔边应力集中问题

将代入相容方程可得令即

（线性方程）

解得：

第六章弹性问题的求解孔边应力集中问题

于是得应力函数：（A，B，C，D为待定参数）应力分量：第六章弹性问题的求解6.3平面问题(planeproblem)的弹性解

孔边应力集中问题

边界条件：

于是求得孔边周围应力场为：

孔边应力集中因子为：第六章弹性问题的求解孔边应力集中问题

（3）当有孔平板受双向不等拉应力作用，。如图所示，可以由前两个问题的解叠加而得。

第六章弹性问题的求解孔边应力集中问题

当时，即平板受单向拉应力作用时，应力解为

孔边应力（r=a）为：

孔边应力集中因子:

第六章弹性问题的求解u

宏观残余应力(micro-residualstress)测试原理1．残余应力(residualstress)：物体无外载作用情况下，其内部以平衡方式存在的内应力(innerstress)。2．产生原因：①不均匀变形；②热影响；③相变过程（温变）等。3．危害：①尺寸不稳定；（例如铸坯露天堆放3-6月）②加速应力腐蚀开裂(stresscorrosioncracking)；③易产生裂纹→降低构件疲劳性能。4．分类：一类：宏观区域间的残余应力二类：晶粒间的残余应力（相变、变形材料）三类：晶内的残余应力第六章弹性问题的求解u

宏观残余应力(micro-residualstress)测试原理

5．特点：①在物体中成对存在（拉、压成对），自相平衡；②应力一旦消除，即会发生变形。是可恢复变形可根据弹力学方法进行分析。（残余应力释放方式：开裂、变形、扩散等）

6．测定方法（1）机械测定法（宏观）（2）X射线方法（晶间、宏观）（表面）（3）其它方法第六章弹性问题的求解u

宏观残余应力(micro-residualstress)测试原理

l

机械测定法(剥落法,drilling-holemethod)例：圆片残余应力的测定。内径剥落（轴对称）第六章弹性问题的求解u

宏观残余应力(micro-residualstress)测试原理周向应变的产生可以理解为：从内孔剥去一层（r-R1）后，破坏了残余应力原来的平衡状态，从而使材料发生变形；这种作用相当于在r处施加的内压力使圆片试件发生变形。即为r处的径向残余应力。根据厚壁筒公式（平面应变问题平面应力问题）：

第六章弹性问题的求解u

宏观残余应力(micro-residualstress)测试原理由应力平衡方程：对于轴对称问题：整理得周向残余应力

逐层剥落，多次测量（破坏！），并进行迭代计算。（X射线只是测一个区域，很难测点应力）第六章弹性问题的求解u

位错的应力场(stressfieldofdislocations)

位错

金属点阵畸变

应力场、应变场、应变能。位错模型如图6-14。

1．

螺型位错(screwdislocation)的应力场（P72）位移法求解，较简单。结果为（位错周围的周围应力场）：

第六章弹性问题的求解u

位错的应力场(stressfieldofdislocations)

2．刃型位错(edgedislocations)的应力场（书中无详解）（直线位错周围而不是中心的应力场）位错模型如图6-14。可以采用圆柱坐标进行求解。设应力函数为：根据轴对称问题（近似）的特点，可以设因此要满足应力函数的双调和条件

即第六章弹性问题的求解u

位错的应力场(stressfieldofdislocations)

2．刃型位错(edgedislocations)的应力场

也就是必须为一个三次函数：于是应力函数形式为：（其中A、B、C、D为待定参数）由应力函数可得应力分量为：第六章弹性问题的求解u

位错的应力场(stressfieldofdislocations)

2．刃型位错(edgedislocations)的应力场边界条件：①

②第六章弹性问题的求解u

位错的应力场(stressfieldofdislocations)

2．刃型位错(edgedislocations)的应力场利用几何方程和物理方程可求得和

利用边界条件：最后求得刃型位错周围的应力场为

第七章塑性力学基础

回顾并思考：1．单向拉伸试验：随着外载荷或强制应变的增加，会发生什么现象？弹性变形→屈服→均匀塑性变形→塑性失稳→断裂2．应力增加到什么程度材料屈服？屈服条件，两种判别准则。3．材料发生屈服后如何？塑性本构关系，两种理论，几种简化模型。4．为什么？物理机制：位错运动受阻，空位扩散等。（“材料科学学基础”课程中将学到）

第七章塑性力学基础

回顾并思考：5．如何进行数值求解？塑性力学解析法：工程法（主应力法）：“塑性加工原理”课程将重点讲授滑移线法能量法（上限法）有限单元法（FEM——FiniteElementMethod）：

[硕士阶段另一门学位课程]

硕士阶段“现代材料加工力学”详述第七章塑性力学基础

7.1屈服准则（yieldcriterion）又称塑性条件(plasticconditions)或屈服条件(yieldconditions)，它是描述不同应力状态下变形体某点进入塑性状态并使塑性变形继续进行所必须满足的力学条件。用屈服函数(yieldfunction)表示：

第七章塑性力学基础

7.1