专题2.1 命题、定理、定义（四大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页专题2.1命题、定理、定义课程标准学习目标1、理解命题、定理、定义的概念.2、会判断命题的真假.3、能把命题改写成“若p，则q”的形式．1、数学抽象：命题、定理、定义概念的理解；2、逻辑推理：命题真假的判断；3、数学运算：和平面几何、方程、集合、简单不等式有关的计算；知识点01命题1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题．2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题．3、分类真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句知识点诠释：1、不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”．2、只有能够判断真假的陈述句才是命题．祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“是有理数吗？”、“今天天气真好！”等．3、语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键．一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可．命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性．命题的结构：（1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．（2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．知识点诠释：1、一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论．2、有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式．【即学即练1】（2023·高一课时练习）有下列语句，其中是命题的个数为（

）．（1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题；（2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题；（3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题；（4）不能判断是否正确，所以不是命题；（5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题；（6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题.所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题．故选：A知识点02定理、定义在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理．在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的．【即学即练2】（2023·广西贺州·高一校考阶段练习）下列命题中假命题的个数是（

）（1）有四个实数解（2）设a，b，c是实数，若二次方程无实根，则ac≥0（3）若，则x≠2A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】在（1）中，得或，故，只有两解，故（1）错误；在（2）中无实根，则，即，所以ac≥0是正确的，故（2）正确；在（3）中若，则且，即x≠2成立，故（3）正确；故选：C.题型一：命题的概念例1．（2023·高一课时练习）在下列语句中，命题的个数是（

）①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则.A． B． C． D．【答案】C【解析】命题是可以判断真假的陈述句，对于选项①②③，均为可判断真假的陈述句，即都是命题.故选：C.例2．（2023·高一课时练习）下列语句是命题的是（

）A．是一个大数B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点C．是一次函数吗D．【答案】B【解析】对于A，“是一个大数”无法判断真假，不是命题，A错误；对于B，“若两直线平行，则这两条直线没有公共点”是可以判断真假的陈述句，是命题，B正确；对于C，“是一次函数吗”不是陈述句，不是命题，C错误；对于D，“”无法判断真假，不是命题，D错误.故选：B.例3．（2023·高一课时练习）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（

）A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③【答案】D【解析】命题是能判断真假的陈述句，由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，②④无法判断真假，故不是命题，①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，故选：D变式1．（2023·全国·高一假期作业）下列语句是命题的是（

）A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树C．求证： D．3比5大【答案】D【解析】能够判断成立或不成立的陈述句叫命题，只有选项D能够判断出真假，3比5大显然不成立，是假命题，故选：D变式2．（2023·高一课时练习）给出下列语句：①．②3比5大．③这是一棵大树．④求证：是无理数．⑤二次函数的图象太美啦！⑥4是集合中的元素．其中是命题的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】命题是指可以判断真假的陈述句，所以②⑥是命题，①不能判断真假，不是命题；③“大树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题；④是祈使句，不是命题；⑤是感叹句，不是命题．故选：A【方法技巧与总结】依据命题的定义判断．题型二：命题真假的判断例4．（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（）①是一元二次方程；②函数的图象与x轴有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】B【解析】①中，当时，是一元一次方程，①错误；②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确；③中，互相包含的两个集合相等，③正确；④中，空集不是本身的真子集，④错误．故选：B例5．（2023·江苏·高一假期作业）下列语句为真命题的是（）A．B．四条边都相等的四边形为矩形C．D．今天是星期天【答案】C【解析】对于A，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以A错误，对于B，此语句是命题，而在平面内四条边都相等的四边形是菱形，所以B错误，对于C，是命题，且是真命题，所以C正确，对于D，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以D错误，故选：C例6．（2023·高一课前预习）下列命题是真命题的是（）A．若xy＝1，则x，y互为倒数B．平面内，四条边相等的四边形是正方形C．平行四边形是梯形D．若，则【答案】A【解析】对于A，由倒数定义知：若xy＝1，则x，y互为倒数，真命题；对于B，平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，假命题；对于C，平行四边形两组对边互相平行，梯形只有一组对边互相平行，故平行四边形不是梯形，假命题；对于D，当时，有，假命题.故选：A变式3．（2023·高一课时练习）有下列命题：①所有人都喜欢吃苹果；②若，则；③空集是任何集合的真子集.其中真命题共有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【解析】对于①，不是所有人都喜欢吃苹果，原命题为假命题；对于②，若，则，即，原命题为真命题；对于③，空集不是空集的真子集，原命题为假命题.故选：B.变式4．（2023·高一课时练习）下列命题：①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;③方程的判别式大于0;④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;⑤集合是集合A的子集，且是的子集．其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确;对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，对于③，方程的判别式为，故正确，对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，对于⑤，,故正确;故选：C．【方法技巧与总结】对于命题真假的判断应根据已学习过的已有定义、定理、公理及已有结论等进行．题型三：命题的结构形式例7．（2023·高一课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)偶数不能被2整除；(2)当时，；(3)两个相似三角形是全等三角形．【解析】（1）若一个数是偶数，则它不能被2整除，根据偶数的定义可知，偶数能被2整除，为假命题；（2）若，则，要想满足，则，解得，是真命题；（3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题.例8．（2023·江苏·高一假期作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当时，；(3)两个相似三角形是全等三角形．【解析】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，根据奇数的定义可知，奇数不能被2整除，为真命题；（2）若，则，要想满足，则，解得，是真命题；（3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题.例9．（2023·全国·高一专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式．（1）6是12和18的公约数；（2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根；（3）平行四边形的对角线互相平分．【解析】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数．（2）若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根．（3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分.变式5．（2023·全国·高一专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）平行于同一条直线的两条直线平行；（3）两个无理数的和是无理数；（4）乘积为正数的两个数同号；（5）两个奇数的和是偶数；（6）矩形的四个角相等；（7）等腰三角形的两个底角相等；（8）直径所对的圆周角是直角.【解析】（1）在平面内，若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行；（2）若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行；（3）若两个数是无理数，则它们的和是无理数；（4）若两个数的乘积为正数，则这两个数同号；（5）若两个数是奇数，则它们的和是偶数；（6）若一个四边形为矩形，则它的四个角相等；（7）若一个三角形为等腰三角形，则它的两个底角相等；（8）若圆的弦为直径，则它所对的圆周角是直角.变式6．（2023·高一课时练习）写出下列命题的条件与结论.（1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等；（2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；（3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等；（4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例.【解析】（1）由题意，根据命题的“若，则”形式条件：两个三角形全等结论：这两个三角形的对应高相等（2）由题意，根据命题的“若，则”形式条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等结论：这两个三角形全等（3）由题意，根据命题的“若，则”形式条件：一个四边形是菱形结论：这个四边形的四边相等（4）由题意，根据命题的“若，则”形式条件：两条直线被一组平行线所截结论：所得的对应线段成比例变式7．（2023·全国·高一专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）绝对值相等的数也相等；（2）矩形的对角线相等；（3）角平分线上的点到角两边的距离相等；（4）两角分别相等的两个三角形相似.【解析】（1）条件是：两个数的绝对值相等，结论是：它们相等．“若p，则q”的形式：若两个数的绝对值相等，则它们也相等；（2）条件是：两条线段是一个矩形的两条对角线，结论是：这两条线段相等，“若p，则q”的形式：若两条线段是一个矩形的两条对角线，则它们相等；（3）条件是：平面上的点在一个角的角平分线上，结论是：这个点到角的两边的距离相等．“若p，则q”的形式：若平面上的点在一个角的角平分线上，则这个点到角的两边的距离相等；（4）条件是：两个三角形的两个角分别相等，结论是：这两个三角形相似．“若p，则q”的形式：若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似．【方法技巧与总结】要写出一个命题的条件和结论，一般是把一个命题改写成“如果p，那么q”的形式，其中p是条件，q是结论．题型四：根据命题的真假求参数例10．（2023·全国·高一专题练习）已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围．【解析】∵

命题为真命题，∴

或又命题为假命题，∴

或，∴

或．所以实数的取值范围为．例11．（2023·新疆喀什·高一新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考阶段练习）已知，：关于的方程有实数根.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围.【解析】（1）∵关于的方程有实数根，∴，即，∴若q为真命题，实数a的取值范围为：.（2）∵为真命题，为假命题，∴，解得.∴.例12．（2023·全国·高一专题练习）给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根；（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；（2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围；（3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．【解析】（1）若p为真命题，即对于任意实数都有恒成立，当时，满足题意，当时，则，解得：，综上所述：；（2）若为真命题，即关于的方程有实数根，则，解得：，若p与q都是假命题，则，解得：，若p与q中至少有一个为真命题，则；（3）若p与q中有且仅有一个为真命题，则或，解得：或，综上所述：.变式8．（2023·江苏·高一假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是．【答案】或【解析】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解；②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为．综上可得当或时，方程有实数解．故答案为：或变式9．（2023·福建泉州·高一校考阶段练习）若“，”是真命题，则实数的取值范围是；【答案】【解析】由题意“，”是真命题，则恒成立，设，的最大值为，.实数的取值范围是.故答案为：变式10．（2023·江苏·高一假期作业）若和或都是假命题，则的范围是【答案】【解析】若为假命题，则有或若或是假命题，则所以的范围是即的范围是胡答案为：变式11．（2023·高一课时练习）能够说明“存在不相等的正数，使得”是真命题的一组的值为【答案】，【解析】-假设成立，则，当时，，此时、是不相等的正数，故命题为真命题的一组，的值为：，故答案为：，变式12．（2023·江苏·高一专题练习）若“方程有两个不相等的实数根”是真命题，则的取值范围是.【答案】且.【解析】解析由题意知,解得：且.故答案为：且.一、单选题1．（2023·重庆·高一校考期中）下列命题中，是真命题的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【解析】A选项：若，满足，但是，因此是假命题，故A错误；B选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故B错误；C选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故C错误；D选项：因为，则，且，因此，因此是真命题，故D正确，故选：D.2．（2023·江苏连云港·高一统考期中）关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【解析】由题意，假设甲与乙两个命题为真，则丙和丁两个命题一定都为假命题，不符合题意；假设命题甲为假命题，由命题乙与命题丙为真，则方程的两个根分别为和，此时命题丁为假命题；综上，只有命题乙为假命题，符合题意.故选：B.3．（2023·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考阶段练习）关于的方程，有四个命题：甲：该方程两根之和为；乙：是该方程的根；丙：是该方程的根；丁：该方程两根异号．如果有且只有一个假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【解析】若和是该方程的根，则两根同号，所以乙丙丁不可能同时为真命题，即甲是真命题；因为该方程两根之和为，则和不可能同时是该方程的根，所以乙丙中有一个假命题，丁为真命题；若甲乙丁为真命题，是该方程的根，得另一根为，此时方程为，符合题意；若甲丙丁为真命题，是该方程的根，得另一根为，此时两根同号，不符合题意，所以可知丙为假命题.故选：C4．（2023·高一课时练习）下列命题是假命题的有（

）A．若，那么 B．若，那么C．若，那么 D．若，那么【答案】A【解析】对于A，若，那么x可能不属于B，故A错误；对于B，若，则x是集合A和B的公共元素，那么，故B正确；对于C，若，那么，故C正确；对于D，若，那么，故D正确．故选：A．5．（2023·河南濮阳·高一范县第一中学校考阶段练习）已知集合，，则下列命题中是真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【解析】因为，，则AC选项错误；，或，故B对，D错.故选：B.6．（2023·上海·高一专题练习）有以下命题：（1）命题：“在△ABC中，若BCAC，则∠A∠B”；（2）已知，命题“若，则且”；（3）已知，命题“若且，则”.其中真命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】（1）：根据“大边对大角”可知（1）正确；（2）：若，则都不为，即且，故正确；（3）：若且，则，则，故正确；故选：D.7．（2023·江苏·高一专题练习）甲､乙､丙三人独立解答同一份试卷，试卷共有5题，每人都至少正确解答其中3题，则下列说法一定正确的是（

）A．至少有2题有多于一人正确解答 B．至少有1题三人都正确解答C．至少有1题三人都无法正确解答 D．至多有1题无人正确解答【答案】A【解析】假设没有2题有多于一人正确解答，取极端情况，假设3人均答对3题，有一题3人均答对，且三人回答的其它两个问题均不同，则至少还需要六道不同的题，与题设不符，故A正确；5道题编号为，甲正确解答，乙正确解答，丙正确解答，则每题都只有2人正确解答．B错；如果3人都正确解答了所有题，则C错；如果三人都是正确解答，这时有两题没有人正确解答．D错；故选：A．8．（2023·高一课时练习）在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意，；（2）对任意a，，；（3）对任意a，b，，.给出下列三个结论：①；②对任意a，b，，；③存在a，b，，；其中，所有正确结论的序号是（

）A．② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【解析】①，错误；②，而，故，正确；③当且时，，而，显然成立，正确.故选：C二、多选题9．（2023·江苏·高一假期作业）（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（）A．4 B．2C．0 D．【答案】ABD【解析】因为方程有实数根，所以，解得或，故当，，时符合条件.故选：ABD.10．（2023·江苏南京·高一南京市第一中学校考阶段练习）下列命题是真命题的为（

）A．{x∈N|x3+1=0}不是空集B．若a<0，则|a|>0C．相似三角形的对应角相等D．若整数m是偶数，则m是合数【答案】BC【解析】对于选项A，x∈N，x3≥0，所以{x∈N|x3+1=0}是空集，为假命题，故选项A错误；对于选项B，若a<0，则|a|>0，为真命题，故选项B正确；对于选项C，相似三角形的对应角相等，为真命题，故选项C正确；对于选项D，2为偶数，但是2是质数，故选项D错误；故选：BC.11．（2023·江苏·高一专题练习）给出以下四个命题，其中真命题是:（

）A．命题“若互为相反数，则”B．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方”C．命题“若，则有实根”D．命题“若是正整数，则都是正整数”【答案】ABC【解析】显然选项A正确，两个全等三角形的面积比与周长的平方比均为，所以选项B正确；当时，，所以方程有实根，C正确；取，则是正整数，但不是正整数，故D错误.故选：ABC12．（2023·安徽·高一安徽省怀宁县新安中学校联考期末）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若时，则或【答案】ABC【解析】，若，则，且，故A正确.时，，故D不正确.若，则且，解得，故B正确.当时，，解得或，故C正确.故选：ABC．三、填空题13．（2023·高一课时练习）下列四个命题，其中真命题是．（填序号）①若，则x，y互为相反数；

②面积相等的三角形全等；③若，则有实数解；

④若，则．【答案】①③【解析】若，则x，y互为相反数，叙述正确，故①为真命题；面积相等的三角形不一定全等，故②为假命题；若，则，故有实数解，则③为真命题；若，则，故④为假命题.故答案为：①③.14．（2023·高一课时练习）下列命题：①如果实系数一元二次方程满足，那么这个方程有实根；②如果，那么除以的余数是或；③设，如果是的倍数，那么中至少有一个是的倍数；④已知a，，若，则.其中是假命题的序号为.【答案】③④【解析】对于①，方程为一元二次方程，；当时，若，则，方程有实根；①正确；对于②，若，则，则除以的余数是；若，则，则除以的余数是；综上所述：如果，那么除以的余数是或，②正确；对于③，若，，，则是的倍数，但此时均不是的倍数，③错误；对于④，若，则，④错误.故答案为：③④.15．（2023·上海·高一专题练习）将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若…则…”形式.【答案】若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角．【解析】命题中条件是：“两个角是等腰三角形的两底角”，结论是“角是锐角”，改写为：若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角．故答案为：若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角．16．（2023·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；真命题的个数为【答案】3【解析】（1）当时，属于数域，故（1）正确，（2）若数域有非零元素，则，从而，故（2）正确；（3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误，（4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确，故真命题的个数是3.故答案为：3四、解答题17．（2023·高一校考课时练习）判断下列命题的真假：(1)一个实数不是质数就是合数；(2)若或，则；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若，则【解析】（1）1既不是质数也不是合数，故该命题为假命题.（2）当或时，代入中结果为0，故该命题为真命题；（3）正方形具有矩形和菱