6.1 幂函数（九大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页6.1幂函数课程标准学习目标以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图象与性质，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养.（1）了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.（2）通过具体实例，结合，，，，的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.知识点01幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．知识点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由于幂函数的一般表达式为：；逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个.故选：C.知识点02幂函数的图象及性质1、作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知识点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．2、作幂函数图象的步骤如下：（1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．3、幂函数解析式的确定（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．4、幂函数值大小的比较（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．【即学即练2】（多选题）（2023·全国·高一专题练习）若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（

）A．函数为奇函数 B．函数为偶函数C．函数在为减函数 D．函数在为增函数【答案】AC【解析】因为是幂函数，所以设，又的图像经过点，所以，所以，即，所以函数为奇函数，且在为减函数，故AC正确，BD错误；故选：AC.题型一：幂函数的概念例1．（2023·全国·高一专题练习）下列函数中不是幂函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于选项A，，故它是幂函数．故A项正确；对于选项B，是幂函数，故B项正确；对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立；对于选项D，是幂函数，故D项正确.故选：C.例2．（2023·全国·高一专题练习）在函数，中，幂函数的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】∵幂函数y＝xa，∴是幂函数，不是幂函数，不是幂函数，不是幂函数，比幂函数的图象多一个点，∴幂函数的个数为1．故选：B.例3．（2023·全国·高一专题练习）下列函数是幂函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由幂函数的定义可知，B选项中的函数为幂函数，ACD选项中的函数都不是幂函数.故选：B.变式1．（2023·全国·高一专题练习）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于A，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是奇函数，符合题意；故A正确；对于B，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数，不符合题意；故B错误；对于C，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故C错误；对于D，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故D错误；故选：A.【方法技巧与总结】幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．题型二：求函数解析式例4．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则（

）A． B． C．4 D．8【答案】C【解析】因为函数是幂函数，所以设，代入，得，解得，所以，所以.故选：C.例5．（2023·全国·高一专题练习）已知点在幂函数的图象上，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得：，解得，所以.故选：B.例6．（2023·全国·高一假期作业）幂函数在第一象限内是减函数，则（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】由幂函数的定义可知，解得，由幂函数的单调性可知，所以．故选:D．变式2．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图像经过点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为幂函数的图像经过点，所以，所以，故选：B.变式3．（2023·贵州黔东南·高一统考期末）已知幂函数的图像过点，则的值为（

）A．2 B．1 C． D．0【答案】C【解析】由为幂函数，知.又函数图像过点，则，故.故选：C【方法技巧与总结】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．题型三：定义域问题例7．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为．【答案】【解析】由于，所以，，解得所以函数的定义域是.故答案为：例8．（2023·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期中）函数的定义域为.【答案】【解析】由可知其定义域为.故答案为：例9．（2023·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）函数的定义域是．【答案】【解析】，，解得：，的定义域为.故答案为：.【方法技巧与总结】使表达式有意义．题型四：值域问题例10．（2023·全国·高一专题练习）函数的值域为.【答案】【解析】时，，时，，所以的值域为.故答案为：例11．（2023·全国·高一专题练习）若幂函数的图象过点，则的值域为．【答案】【解析】设，因为幂函数的图象过点，所以所以，所以故答案为：例12．（2023·高一单元测试）已知a、b为正实数且，函数的定义域为．若函数在区间上的最大值为5，最小值为2，则函数在区间上的最大值与最小值的和为______．【答案】7或/或7【解析】令，．由幂函数的性质，可知的图像关于原点对称或者关于y轴对称．又因为函数在区间上的最大值为5，最小值为2，所以，当的图像关于原点对称时，在区间上的最大值为7，最小值为4，在区间上的最大值为，最小值为，于是在区间上的最大值为，最小值为．所以在区间上的最大值与最小值的和为；同理可得，当的图像关于y轴对称时，在区间上的最大值为5，最小值为2．所以在区间上的最大值与最小值的和为；因此，在区间上的最大值与最小值的和为7或．故答案为：7或．变式4．（2023·全国·高一专题练习）已知，设函数，其定义域为或，则函数的最小值为.【答案】1【解析】根据定义得到，然后利用分段函数的性质求解.由题意得：，当或时，，当时，，综上：函数的最小值为1，故答案为：1变式5．（2023·全国·高一专题练习）函数，其中，则其值域为.【答案】/【解析】设，则.因为，所以.当时，.所以函数的值域为.故答案为：变式6．（2023·全国·高一专题练习）若函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意：函数是一个复合函数，要使值域为，则函数的值域要包括，即最小值要小于等于．当时，显然不成立，所以，当时，则有，解得，所以的取值范围是.故选：B．变式7．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，），则函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于（

）A． B． C．1 D．﹣1【答案】D【解析】已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，），则，即，所以，所以，所以y＝f（x2）﹣2f（x），当且仅当，即时取等号，即函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于，故选：D.变式8．（2023·福建泉州·高一统考期中）已知幂函数是偶函数．(1)求的解析式；(2)求函数的值域．【解析】（1）依题意，，即，解得或，当时，，不是偶函数，当时，，是偶函数，所以的解析式是．（2）由（1）知，，，设，则，，因此，当时，，当或时，，于是，所以函数的值域为.【方法技巧与总结】利用单调性求解．题型五：幂函数的图象例13．（2023·全国·高一专题练习）右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（

）

A．，，1，2 B．2，1，，C．，，2， D．2，，，【答案】B【解析】函数在第一象限内单调递减，对应的图象为；对应的图象为一条过原点的直线，对应的图象为；对应的图象为抛物线，对应的图象应为；在第一象限内的图象是；所以与曲线对应的n依次为2，1，，.故选：B例14．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】由幂函数性质知：的定义域为，且在第一象限内单调递减，ABC错误，D正确.故选：D.例15．（2023·全国·高一专题练习）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（

）

A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【解析】由于在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”，故幂函数在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为．故选：D．变式9．（2023·全国·高一专题练习）给定一组函数解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【解析】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足；图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足；图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足；故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.故选：C变式10．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（

）

A．p、q均为奇数且 B．p为奇数，q为偶数且C．p为奇数，q为偶数且 D．p为偶数，q为奇数且【答案】D【解析】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定，又因为p与q互质，所以q为奇数，故选：D.变式11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数则函数，则函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以图像与的图像关于轴对称，由解析式，作出的图像如图从而可得图像为B选项.故选：B.【方法技巧与总结】先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可．题型六：定点问题例16．（2023·全国·高一专题练习）当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为．【答案】【解析】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点,故答案为：例17．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象过定点．【答案】【解析】当时，，所以定点为.故答案为：例18．（2023·全国·高一专题练习）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为．【答案】【解析】令，得，故函数图象过定点，故答案为：变式12．（2023·全国·高一专题练习）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是．【答案】【解析】因为，故当，即时，，即函数恒过定点.故答案为：.变式13．（2023·全国·高一专题练习）幂函数的图像一定经过第象限【答案】一、三【解析】因为为自然数，所以为偶数，所以为奇数，所以是奇函数，且函数的图像经过和点并且在单调递增，所以幂函数的图像一定经过第一、三象限．故答案为：一、三变式14．（2023·全国·高一专题练习）函数恒过定点．【答案】【解析】当，即时，，函数恒过定点.故答案为：.【方法技巧与总结】所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题例19．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数，若，则a的取值范围是.【答案】【解析】由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数，因为，可得，解得，即实数的取值范围为.故答案为：例20．（2023·全国·高一专题练习）若＜，则实数m的取值范围．【答案】【解析】因为幂函数的定义域是{x|}，且在(0,+∞)上单调递增，则原不等式等价于，解得，所以实数m的取值范围是.故答案为：.例21．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则关于的表达式的解集为.【答案】【解析】由题意可知，的定义域为，所以，所以函数是奇函数，由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，由，得，即，所以，即，解得，所以关于的表达式的解集为.故答案为：.变式15．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是.【答案】【解析】设幂函数，，因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以，的定义域为，且在上单调递减，因为，所以，解得，故答案为：变式16．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数经过点，则不等式的解集为．【答案】【解析】设幂函数，由题意得，解得，故，，则，即为，根据在上为单调增函数，则有，解得，故解集为，故答案为：．变式17．（2023·全国·高一专题练习）若，则的取值范围是．【答案】【解析】函数为偶函数，且当时，单调递增，则可得，解得或即的取值范围是故答案为:变式18．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解为.【答案】【解析】幂函数的定义域为，且函数在上单调递增，又，则为偶函数，所以在上单调递减，则由不等式可得，平方后整理得，即，解得，则不等式的解集为.故答案为：.【方法技巧与总结】运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径．题型八：比较大小例22．（2023·全国·高一专题练习）判断大小：.(填“”或“”)【答案】【解析】由在上递减，又，所以.故答案为：例23．（2023·陕西宝鸡·高一统考期中）比较下面两个数的大小【答案】【解析】因数幂函数在上单调递增，又因为，所以.故答案为：例24．（2023·广东深圳·高一深圳市南头中学校考期中）设，则与的大小为.【答案】【解析】幂函数在上单调递增，而，则，故答案为：变式19．（2023·高一课时练习）已知，，，则的大小关系为．【答案】/a<c<b【解析】函数在R上递增，，则，函数为偶函数且在单调递增，，则，综上，.故答案为：.变式20．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则与的大小关系是．【答案】【解析】设幂函数为，因为幂函数的图象过点，可得，解得，所以幂函数为，此时函数的偶函数，且当时，函数是减函数，则，所以.故答案为：.变式21．（2023·高一课时练习）函数，比较两个函数值的大小：．【答案】【解析】因为幂函数定义域为R，，所以为偶函数.所以，.因为，所以在上为增函数.因为，所以，所以.故答案为：变式22．（2023·高一课时练习）设，，，把它们按从小到大的顺序排列是.【答案】【解析】因为，，所以.故答案为：【方法技巧与总结】（1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断．（2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的．（3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论．题型九：幂函数性质的综合运用例25．（多选题）（2023·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】幂函数的定义域为，，，∵函数在单调递增，，∴，即，故A正确；，，∵函数在单调递减，，即，∴，即，故B错误；∵幂函数在上单调递增，，∴，，即，∴，故C正确；，∵，∴，即，故D正确.故选：ACD.例26．（多选题）（2023·云南·高一云南省下关第一中学校考阶段练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（

）A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数D．时，幂函数在上是减函数【答案】AC【解析】对A，当m，n是奇数时，的定义域为，关于原点对称，，则幂函数是奇函数，故A中的结论正确；对B，当m是偶数，n是奇数，幂函数在时无意义，故B中的结论错误；对C，当m是奇数，n是偶数时，的定义域为，关于原点对称，，则幂函数是偶函数，故C中的结论正确；对D，时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；故选：AC.例27．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）下列关于函数，下列说法正确的是（

）A．为偶函数 B．在上单调递减C．的值域为 D．的值域为【答案】ABD【解析】由题意,为偶函数，选项A正确．当时，为单调递减函数，选项B正确．当时，为单调递减函数，则，因为函数为偶函数，当时，，选项D正确，C不正确．故选：ABD．变式23．（2023·浙江台州·高一路桥中学校考阶段练习）已知幂函数在上单调递增.(1)求的解析式及其值域；(2)若，求的取值范围.【解析】（1）幂函数在上单调递增，则，解得或，当时，，函数在上单调递减，不满足；当时，，函数在上单调递增，满足；综上所述：，函数值域为.（2），即，即，，当时，，故，即.变式24．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在上单调递增.(1)求m的值；(2)求函数在上的最大值.【解析】（1）因为幂函数在上单调递增．所以，解得．所以m的值为0.（2）由（1）知，，所以函数，由二次函数的性质，函数为开口方向向下的抛物线，对称轴为．所以在上单调递增，所以在上的最大值为．变式25．（2023·高一课时练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上是减函数.(1)求函数的解析式，并画出它的图象；(2)讨论函数（）的奇偶性.【解析】（1）由幂函数在区间上是减函数，得，即.又，得.因为函数的图象关于y轴对称，所以是偶函数，所以是偶数.将分别代入检验，得，所以.的图象如下图所示.

（2）把代入的解析式，得，则.所以当，时，为非奇非偶函数；当，时，为奇函数；当，时，为偶函数；当，时，既为奇函数又为偶函数.变式26．（2023·上海青浦·高一统考期末）已知函数，若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数是定义域上的“利普希兹条件函数”.(1)判断函数是否为定义域上的“利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由；(2)若函数是定义域上的“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；(3)是否存在实数，使得是定义域上的“利普希兹条件函数”，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题知，函数，定义域为，所以，不妨设，因为，所以，所以，所以是利普希兹条件函数（2）若函数是“利普希兹条件函数”，则对于定义域上任意两个，均有成立，不妨设，则恒成立，因为，所以，所以的最小值为．（3）由题意得在上恒成立，即，不妨设，所以，因为，所以，所以.变式27．（2023·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）已知函数为幂函数，且在上单调递增.(1)求的值，并写出的解析式；(2)令，，求的值域.【解析】（1）因为为幂函数，且在上单调递增，则，解得，所以，.（2），.①当时，在上单调递减，所以，，此时；②当时，，设，，可得，，此时，综上，的值域为.【方法技巧与总结】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题．一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以当时，，当时，，.故选：B2．（2023·全国·高一专题练习）若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】幂函数在上单调递增，值域为，由，则，又，所以.故选：D3．（2023·甘肃白银·高一统考开学考试）若幂函数在上单调递增，则（

）A．-3或3 B．3 C．4 D．-4或4【答案】B【解析】由题意得，解得得.故选：B4．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在区间上是减函数，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为幂函数，可得，解得或，又因为函数在上为单调递减函数，可得，所以.故选：B.5．（2023·全国·高一专题练习）函数在区间上（

）A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值C．无最大值，无最小值 D．无最大值，有最小值【答案】A【解析】令，由二次函数的性质可知，显然当时，即时，函数取得最大值，函数无最小值.故选：A6．（2023·全国·高一专题练习）函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，，则的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断【答案】B【解析】因为对任意，，且，满足，所以在上为减函数，由已知是幂函数，可得，解得或，当时，，在上为增函数，故不成立.当时，，在上为减函数，满足条件，故，，故为奇函数，因为，，所以，所以，所以，所以.故选：B7．（2023·湖北鄂州·高一校联考期中）已知函数是幂函数.若对于，且，均有，则（

）A． B．8 C．4 D．【答案】A【解析】因为是幂函数，所以，解得或3.因为，且，均有，所以的图象在第一象限上凸，因此.所以，所以.故选：A.8．（2023·全国·高一专题练习）幂函数在上单调递增，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为是幂函数，所以，解得或，当时，，在上单调递减，不满足题意；当时，，在上单调递增，满足题意，所以，且是偶函数，由于，所以，解得或，故选：D.二、多选题9．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数对任意且，都满足，若，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】因为为幂函数，所以，解得或，因为对任意且，都满足，所以函数在上递增，所以当时，，不合题意，当时，，所以因为，所以为奇函数，所以由，得，因为在上为增函数，所以，所以，所以A错误，B正确，对于CD，因为，所以，所以，所以C错误，D正确，故选：BD10．（2023·河北邯郸·高一校考期末）已知点在幂函数的图像上，则函数是（

）A．奇函数 B．上的增函数C．偶函数 D．上的减函数【答案】BC【解析】由题意得，因此，则点在幂函数的图像上，，则，故.则是偶函数，且在上是增函数.故选：BC11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数则以下说法正确的是（

）A．若，则是上的减函数B．若，则有最小值C．若，则的值域为D．若，则存在，使得【答案】ABC【解析】对于A，若，，在上单调递减，故A正确；对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1,故B正确；对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确；对于D，若，当时，；当时，；当时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误.故选：ABC12．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图像经过点，则（

）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．当时， D．当时，【答案】AC【解析】设幂函数，则，解得，所以，所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，当时，，故C正确，当时，因为在上单调递增，所以，即，故D错误．故选：AC.三、填空题13．（2023·全国·高一专题练习）写出同时满足以下三个条件的一个函数．①；②③且．【答案】（答案不唯一）【解析】由①可以判断该函数是奇函数，设；因为，所以满足②；当且时，，所以函数满足③且，故答案为：（答案不唯一）14．（2023·河北石家庄·高一校考期中）函数的单调增区间为【答案】【解析】由得，因为在上单调递增，在上单调递减，且在时单调递增，所以函数的单调递增区间为.故答案为：.15．（2023·江苏·高一假期作业）函数的最小值为．【答案】2【解析】