专题04 方程与不等式（学生版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

专题04方程与不等式【知识点梳理】知识点1：二元二次方程组的解法方程是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做二元二次方程．其中，，叫做这个方程的二次项，，叫做一次项，6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：，第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．知识点2：一元二次不等式的解法为了方便起见，我们先来研究二次项系数时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程()，设，它的解的情形按照分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线与轴分别有两个公共点、一个公共点和沿有公共点(如图所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式与的解．(1)当时，抛物线与轴有两个公共点和，方程有两个不相等的实数根和，由图2．3-2①可知不等式的解为，或；不等式的解为．(2)当时，抛物线与轴有且仅有一个公共点，方程有两个相等的实数根，由图②可知不等式的解为；不等式无解．(3)如果，抛物线与轴没有公共点，方程没有实数根，由图2．3-2③可知不等式的解为一切实数；不等式无解．今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于雪，则可以先在不等式两边同乘以，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．【题型归纳目录】题型一：一元二次不等式的解法题型二：二元二次方程组的解法【典例例题】题型一：一元二次不等式的解法例1．解不等式：例2．解不等式：；例3．求下列不等式的解集.(1)；(2)；(3)；(4)．变式1．求不等式的解集：(1)；(2)；题型二：二元二次方程组的解法例4．(2023·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中)解方程组：例5．(2023·上海杨浦·统考三模)解方程组：例6．(2023·上海青浦·统考二模)解方程组：变式2．(2023·上海虹口·校联考二模)解方程组：变式3．(2023·上海崇明·统考二模)解方程组：变式4．(2023·上海宝山·统考二模)解方程组：．变式5．(2023·上海金山·统考二模)解方程组：．变式6．(2023·上海松江·统考二模)解方程组：【过关测试】一、单选题1．(2023·八年级单元测试)方程组的解是()A．

B．

C．

D．

2．(2023·上海·八年级期中)方程组解的情况是(

)A．有两组不同的实数解 B．有两组相同的实数解C．没有实数解 D．不能确定3．(2023·浙江·九年级自主招生)若实数x,y满足，则的值是(

)A． B． C． D．4．(2023·福建泉州·九年级泉州五中校考开学考试)已知x，y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则(

)．A． B． C． D．5．(2023·江苏镇江·统考二模)已知点在经过原点的一条直线l上，且，则的值为(

)A． B． C．0 D．6．(2023·上海·九年级专题练习)已知且，那么的值为(

)A．2 B．3 C．4 D．57．(2023·全国·九年级竞赛)方程的整数解的组数为(

)A．3 B．4 C．5 D．68．(2023·上海·九年级专题练习)二元二次方程组的解的个数是(

)A．1 B．2 C．3 D．49．(2023·上海·九年级专题练习)方程组有四组不同的实数解，则m的取值范围是(

)A． B． C． D．，且10．(2023·上海·九年级专题练习)下列各对未知数的值中，是方程组的解的是(

)A． B． C． D．二、填空题11．(2023·上海徐汇·统考二模)方程组的解是______．12．(2023·全国·九年级专题练习)写出一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组___________，使它的解是和．13．(2023·上海·九年级上外附中校考阶段练习)已知关于x，y的方程组有两组不同的实数解，则n的范围为___________．14．(2023·全国·九年级专题练习)方程组的解是______________________．15．(2023·全国·九年级专题练习)把二次方程转化成两个一次方程，那么这两个一次方程是_______和_______．三、解答题16．(2023·上海黄浦·统考二模)解方程组：17．(2023·全国·九年级专题练习)解方程组：18．(2023·全国·九年级专题练习)解方程组：19．(2023·江苏南京·九年级统考期中)解新类型的方程(组)时，可以通过去分母、换元等方法转化求解．(1)请按要求填写下表．原方程①转化设，则②求解③检验，2都是原方程的解…④结论(2)解方程组：20．(2023·全国·九年级专题练习)阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．请你解决以下问题(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；(2)已知x，y满足方程组(i)求的值；(ii)求出这个方程