六年级数学下册教案-第4单元 正比例与反比例-北师大版

六年级数学♦下新课标［北师］

第4单元正比例与反比例

单/元/整/体/说/课

〈教材分析

本单元的主要教学内容是变化的量、正比例及其图象和反比例。重点是理解正、反比

例的意义，难点是判断两个量成什么比例关系。

正比例关系、反比例关系是两种重要的数量关系，渗透了初步的函数思想。这部分内容

比较抽象、难懂,好在学生对比例的知识已有了一定的理解,并且六年级学生已经具备了一

定的探索、合作、交流、自主学习的能力。

、、教学目标

・知识技能」

i.结合具体情景,体会生活中存在着大量互相依赖的变量，体会数学与生活的联系;在具

体情景中，尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系，知道列表或画图都是表示变量之间

关系常用的方法。

2.结合丰富的实例,经历正比例、反比例意义的建构过程;能从变化中看到‘‘不变"，认

识正比例和反比例；能根据正比例和反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例或

反比例;能举出生活中成正比例和反比例关系的实例。

3.初步了解正比例的图象是一条直线,能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上

画出相应的图象。

♦数学思写

经历如何根据数对画出图形的过程,从而掌握方法。

问题解决

会利用正比例和反比例的相关知识解决一些简单的生活问题。

，情感态宣

1.在学习正比例和反比例的过程中,渗透函数思想，使学生受到辩证唯物主义观点的启

蒙教育。

2.在探索数学问题的过程中，体验学习数学的趣味性。在运用数学知识和方法解决问题

的过程中，体验数学价值、感受数学与生活的密切联系。

e教学重难点

【重点】

1.在具体情景中理解正比例和反比例两种数量关系。

2.判断两个相关量是否成正比例或反比例关系。

3.知道列表和画图等表示变量之间关系的方法。

【难点】

1.了解正比例的图象和画出正比例图象。

2.利用正比例和反比例知识解决简单的生活实际问题。

«教学建议

本单元内容是在学生已经掌握了比和比例的基础上学习的,正比例和反比例是比较重要

的两种数量关系，也是今后学习数学和其他学科知识的重要基础。通过对正、反比例知识的

学习，还可以加深对数量关系的认识,通过感知数量间的变化规律,获得初步的函数观念,提

高解决问题的能力。

1.变化的量教学。

首先要引导学生看懂图表,然后让学生根据图表所要表达的信息回答问题,并尝试用自

己的语言描述题目中变量之间的关系。也可以引导学生举出生活中一个量随另一个量变化

的例子。

2.正比例教学。

要给学生充分思考、交流的时间，先让学生独立填表、观察，然后与同伴交流，并引导学

生发现规律,从而得到正比例关系的意义。之后再引导学生动手画一画,发现正比例关系图

象的特点，并能根据所给的图象回答问题。

3.反比例教学。

可类比正比例的教学,先鼓励学生独立观察、思考,然后小组交流,再引导学生发现规律,

得出反比例关系的意义。让学生举出一些生活中成反比例关系的例子,并说说为什么成反比

例关系。最后通过讨论让学生归纳出正比例和反比例的相同点与不同点。

G课时划分

变化的量（生活中互相依赖的变量）

（1课时）

正

比

例

与

反

比

例

课/时/教/学/详/案

1变化的量

O—整体设学

（Q）教材分析

教材设置了“妙想6岁前的体重变化情况表和图”“骆驼体温变化图”等情景,让学生

在观察这些情景的基础上，思考、讨论、交流，从而感受到生活中存在着许多相关联的变量。

变化的量这部分内容,主要是让学生初步体会、理解函数思想,认识变化的量之间的关系,让

学生经历相关联的量的多种表示方法,如表格表示法、图象表示法等。

Q教学目标

1.结合具体的数学情景认识“变化的量”，并通过描述活动，了解其中一个量是怎样随

着另一个量变化的，知道列表和画图是表示变量关系的常用的方法。

2.通过举例与交流活动，了解日常生活中存在着大量互相依存的变量，了解日常生活中

一个量随着另一个量变化是普遍存在的现象。

¥教学重难点

【重点】能判断两个变量是不是相互依赖的变量。

【难点】用自己的语言描述两个变量之间的关系。

一课前准备

【教师准备】PPT课件。

【学生准备】方格纸等。

旧教学过程

区新课导入

方法一

师生对话，引入新课。

师:从出生到现在，你的身高是如何变化的？

（引导学生交流与讨论）

师:我们不但身高在变化,我们的体重也在变化,你们知道自己从出生到现在的体重变化

情况吗？

（请个别学生说说自己出生到现在体重的变化情况）

师:我们知道从出生到现在，身高和体重都在随着年龄的增长而增长,也就是说身高和体

重都是两个变化的量.接下来我们就来认识变化的量。

（板书课题:变化的量）

［设计意图］通过让学生课前调查自己身高和体重的变化,引出课题，让学生感受到生

活中存在着许多变化的量，引起学生探究这些变化的量的欲望。

方法二

师：（陈述）生活中有很多量是不断变化的，有的不同变化量之间存在一定的关系，比如正

方形的边长和正方形的周长,如果正方形的边长发生了变化,正方形的周长也会随之发生相

应的变化。再如,如果每一天撕下当天的日历,天数的增加和剩下的日历张数之间有什么关

系?这些就是我们本节课要研究的变化的量。

（板书课题:变化的量）

［设计意图通过老师的陈述,帮助学生认识生活中的一些数量是不断变化的,进而思

考这些变量之间有什么关系，为本课时的学习做方向性引导。

场新知构建

一、探究妙想的体重变化情况。

下表是妙想6岁前的体重变化情况：（课件出示）

年龄出生时2岁4岁6岁

体重

/3.514.018.021.0

4g

师:通过观察，你们发现了什么？

预设生:发现妙想的年龄和体重都在变化。

师:观察表中所反映的内容，表中所涉及的量是哪两个量?它们是固定不变的量还是变化

着的量？

预设生:是年龄和体重两个量，它们是两个变化的量。

师:说一说,6岁前妙想的体重是如何随年龄的变化而变化的？

预设生1:妙想的体重随年龄的增长而增加。

生2:02岁是体重的增长高峰。

师：体重会一直随年龄的增长而变化吗？

（生学习交流）

师：（总结）体重和年龄是一组相互有着关系的量，但体重的增长是由人的生长规律决定

的,现在我们还不能把这种关系清楚地表达出来，由此我们知道它们之间的关系比较复杂。

师：下面的图能反映妙想的年龄和体重变化的关系吗？

师：图中的哪组数字代表的是妙想的体重？

预设生:竖轴或“0到25”等。

师:哪组数字代表妙想的年龄？

预设生:横轴或“2,4,6”等。

师：图中的线代表什么？

预设生:妙想的体重随年龄的变化情况。

［设计意图］帮助学生感受表示变量的方式除了表格，还有图示（图象）等。

二、探究骆驼的体温变化情况。

师:生活中有很多变量可以通过图表表现出来，比如大家比较熟悉的天气情况,经常见到

一天或某段时间的气温变化图，我们也来了解一下类似的曲线图吧。

（PPT课件出示教材第39页中部的曲线图）

（图中25时表示次日凌晨1时）

（教师引导学生观察并提问）

师:横轴表示什么？

预设生:横轴表示时间。

师:纵轴表示什么？

预设生:纵轴表示温度。

师:28时指的是什么时刻？

预设生:28时指的是第二天凌晨4时。

师:一天中，骆驼体温最高是多少?最低是多少?分别在什么时刻？

预设生:体温最高是40°C,最低是35°C;最高在16时,最低在4时。

师：图中所反映的两个变化的量是哪两个？

预设生:横轴的时间和纵轴的骆驼的体温。

师:一天中，什么时间范围内骆驼的体温在上升?什么时间范围内骆驼的体温在下降？

预设生:4时至16时在上升；16时至28时在下降（或16时至第二天凌晨4时）。

师:第二天8时骆驼的体温与前一天8时的体温有什么关系？

预设生:相等。

师:骆驼的体温有什么变化规律吗？

（生交流讨论）

小结:骆驼的体温随着时间的变化而变化,并且变化的周期是一天。

;设计意图：让学生观察骆驼的体温随时间变化的图象,鼓励学生根据图象体会变量之

间的关系。学生在读图的过程中,将感受到骆驼的体温随时间呈周期性的变化。

三、观察生活中的变量。

师：（提问）（1）你们还发现生活中有哪两个量之间具有变化的关系?它们之间是怎样变化

的？

（2）你们还发现我们学过的数学知识中有哪些量之间具有变化的关系？

（学生举例,教师给予肯定）

（3）是不是生活中的任意两个变量之间都存在着关系呢?请举例说明。

预设生:不是,如赛场上两个球队的得分,虽然两个球队的得分情况都会发生变化，但不

会一个球队的得分变化时，另一个球队的得分也跟着变化。

［设计意图］根据图表等所要表达的信息,尝试用自己的语言描述题目中变量之间的关

系。

（PPT课件出示教材第40页第3题情景图）

师:这位学生的发现里哪几个量是变量?7和3是不是变量?为什么？

预设生:蟋蟀每分叫的次数和温度是变量。7和3是具体不变的数字。

师:如果用〃表示蟋蟀每分叫的次数，用£表示当时的气温,你能用一个含有字母的式子

表示这个近似关系吗？

预设生：i=n4-7+3o

师:为什么在关系式里要用字母来表示蟋蟀每分钟叫的次数和当时的气温？

预设生:因为它们是未知的变化的量。

师:你能发现蟋蟀每分叫的次数随气温有什么变化规律吗？

预设生:蟋蟀每分叫的次数随着气温的升高而增加.

小结:在我们的生活中，存在着大量的相互有着关系的变量。其中一个量变化,另一个量

也会随着发生变化。

［设计意图：这个活动主要是让学生根据教材提供的信息,理解蟋蟀叫的次数和气温之

间的近似关系可以用一个含有字母的式子来表示,即片〃+7+3。

时随堂练习

完成教材第40页“练一练”第2题。

（1）学生独立思考后，小组交流。

（2）集体汇报,集体订正。

【参考答案】（1）转动过程中，到达的最高点是18m,最低点是3m。（2）转动第一

圈的过程中,0至6分时高度在增加,6至12分时,高度在降低。（3）到达最高点后,下一次再

到达最高点需要经过12分钟。

施课堂小结

师：这节课你们学了什么知识?有什么收获？（学生反馈）

预设生:通过本节课的学习，我们了解了很多变化的量,如:年龄和体重是两个变化的量,

时间和骆驼的体温是两个变化的量……

区作业设计

作业1

教材第40页“练一练”第1题。

作业2

【基础巩固】

1.（基础题）小红看一本书,她把自己每天已看的页数和未看的页数做了一个统计。

（1）在小红所统计的表格中，（）与（）是两种相关联的量，（）随着

（）的变化而变化。

（2）已看的页数与未看的页数的和是（）页。

2.（重点题）4名学生看同一本书的情况如下表。

小兰小华小红小张

每天看的页数顶10520

看完所用的天数/n。

十ZoUn471Uo

天

（1）把表填完整。

（2）表中（）和（）两个量发生了变化。

⑶当（）增加时，（）随之（）；当（）减少

时，（）随之（

（4）表中两个量的乘积是这本书的总页数，这本书一共有（）页。

【提升培优】

3.（难点题）妈妈购买西瓜的质量和应付的钱数如下表。

西瓜的质量汗匚彳。。

士5432

克

应付的钱数/元7.564.53

（1）表中（）和（）是相关联的两个量，应付的钱数随着（）的

变化而变化。

(2)应付的钱数与西瓜的质量的比值是()。

4.(难点题)小明的年龄和爸爸的年龄变化情况如下表。

小明的年龄/

58101220

岁

爸爸的年龄/

3238

岁

(1)把表填完整。

(2)表中()和()是相关联的两个量，()随着()

的变化而变化。

(3)小明的年龄和爸爸的年龄相差()岁。

(4)如果用x表示小明的年龄,用y表示爸爸的年龄,用式子表示这两个变量之间的关系是

()o

【思维创新】

5.(探究题)一列火车行驶的时间和所行驶的路程如下表。

时间/0寸1234567

路程仟

90180270360450540630

米

(1)表中有哪两种量?

(2)路程是怎样随时间的变化而变化的？

(3)时间用力表示，路程用s表示，用式子表示出路程s随时间t的变化规律。

【参考答案】

作业1:1.圆柱的体积随着高的变化而变化,高变大,体积变大,高减小,体积减小。

作业2:1.(1)已看的页数未看的页数未看的页数已看的页数(2)2002.(1)2510

(2)每天看的页数看完所用的天数(3)每天看的页数看完所用的天数减少每天看

的页数看完所用的天数增加(4)2003.(1)西瓜的质量应付的钱数西瓜的质量

⑵1.54.(1)1135373947(2)小明的年龄爸爸的年龄爸爸的年龄小明的

年龄(3)27(4)尸27+x5.(1)火车行驶的路程和时间。(2)路程随着时间的增加而增

加。(3)s=901

区L板书设计

变化的量

(D年龄、体重

(2)时间、骆驼的体温

两个相互有着关系的量,其中一个量变化,另一个量也随着变化。

旧教学反思

成功之处

以观察、分析为主要活动方式，引导学生通过观察、分析,发现相关联的两种量之间的

关系,从而体现学生学习的自主性,提高学生的观察能力。

U)不足之处

对于初次接触函数知识的小学生来说,对量的理解还有一定的难度,部分学生不能深刻

地理解量的含义。

，$再教设计

1.让学生在理解相关联的两个变量的基础上,从生活中寻找相关联的量,激发学生对原

有知识经验的回忆,加强学生之间的交流互动。

2.在教学中，让学生在观察、分析的基础上，通过小组交流、同伴交流等形式，互相合作,

共同获取知识。

旧教材习题解答

【练一练•40页】

1.圆柱的体积随着高的变化而变化，高变大，体积变大,高减小，体积减小。2.（1）18m3

m（2）0为分612分（3）12分钟3.女3=力

—一教学参考资料

典型例题精析

画小明骑自行车去上学。小明骑车的速度和所用的时间怎样变化？

［名师点拨］小明从家到学校的路程是不变的。小明骑自行车的速度越快，用的时间就

越短;骑自行车的速度越慢,用的时间就越长。所以说时间随速度的变化而变化。

［解答］时间随速度的变化而变化。速度快，用的时间短;速度慢，用的时间长。

【知识拓展】路程一定,速度快，用时短;速度慢,用时长。

（一相关知识拓展

鸟儿捉鱼

一条小河旁边长着两棵梧桐树,正好隔岸相望。

其中一棵树的高度是30米，另一棵树的高度为20米。两棵树顶上面各停了一只鸟。

突然,两只鸟儿同时看见河面上浮出了一条鱼,它们立刻飞去抓鱼,而且在同一时间到达

目标。

如果它们飞行的速度相同,请问这条鱼出现的地方距较高的梧桐树的树根近,还是距较

矮的梧桐树的树根近？

【参考答案】距较高的梧桐树的树根近。

函数的传统定义

函数的传统定义:设在某变化过程中有两个变量％%如果对于x在某一范围内的每一

个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫作自变量。

2正比例

（@）教材分析

在学生对生活中的变量有了一定认识的基础上,本节课开始研究数学中比较重要的一种

关系一一正比例。研究正比例的意义和成正比例的量,教材设置两个问题情景:首先是正方

形周长与边长、面积与边长变化关系的情景，通过表格、图象、表达式的比较，让学生体会

正方形的周长和面积都随边长的增加而增加,从而感知“变化过程中，正方形的周长与边长

的比值一定”，为认识正比例奠定基础;然后通过汽车行驶的路程与时间变化关系，引导学生

认识路程随时间的变化而变化,在变化的过程中,路程与时间的比值相同,进而引出正比例的

概念。在教材“试一试”中，通过研究“圆的面积与半径是否成正比例”引导学生思考判断

正比例的方法;通过“乐乐和爸爸的年龄变化关系”提示学生不是所有量的关系都是正比例

关系。

q教学目标

1.结合“正方形的周长与边长，正方形的面积与边长,路程、时间与速度”等情景，经历

正比例意义的建构过程，能从变化中看到“不变”，认识正比例。

2.能根据正比例的意义,判断两个相关联的量是不是成正比例，能举出生活中成正比例

的实例,感受正比例在生活中的广泛应用。

3.经历比较、分析、归纳等数学活动，提高分析、比较、归纳概括能力，初步体会函数

思想。

①)教学重难点

【重点】能根据正比例的意义,判断两个相关联的量是不是成正比例。

【难点】理解成正比例的量的变化规律,即它们相对应的数的比值一定。

第TI课时正比例的意义和成正比例的量

■整体设.

①)教学目标

1.结合具体生活情景,认识成正比例关系的量。

2.感受正比例关系在生活中广泛存在。

(三)教学重难点

【重点】正比例的意义。

【难点】成正比例关系的量的特点。

①课前准备

【教师准备】PPT课件。

【学生准备】复习比例的相关知识。

15一教学过程

区新课导入

方法一

情景感知。

(PPT课件出示一家布料店价格表)

长度/fn1234567•••

总价3.16.29.312.415.518.621.7…

(1)表中有哪两种量？

(2)长度变大，总价怎样?长度变小，总价怎样？

(3)相对应的总价和长度的比各是多少？比值是多少？

当学生回答完问题后,教师板书:竽=3.1,芋=3.1,亨=3.1……

师:这个比值实际上是什么?你们能用一个关系式表示它们的关系吗？

预设生:瞿=单价(一定)。

■k度

小结:通过刚才的思考和分析,我们知道了总价和长度是两种相关联的量，总价是随着长

度的变化而变化的:长度变大，总价也随着变大;长度变小，总价也随着变小。它们变大、变

小的规律是:总价和长度的比值总是一定的。(板书课题)

［设计意图：通过具体的生活情景，借助学生先前的比例知识,从正比例关系的最显著

特点一一比值一定入手，帮助学生感知本课时学习的核心内容。

方法二

对话切入。

师:上一节我们学习了变化的量，请同学们想一想，两个变量之间是否都有一定的关联？

预设生1:有的变量之间没关联。

生2:有的变量有关联。

师：同学们说得对。生活中有的变量之间存在一定的关联,今天我们就研究变量之间的

一种特殊关系一一正比例。(板书课题)

［设计意图］通过师生对话，引导学生有的变量之间存在一种特殊的关系,帮助学生了

解本节课的学习方向。

生新知构建

一、感知成正比例关系的量。

(PPT课件出示教材第41页上方的表格,让学生完成)

正方形的边长与周长：

边长/8m123

周长/bm4

正方形的边长与面积：

边长/bn123

面积1

小组合作探究,交流下列问题：

(1)分别求出周长与边长、面积与边长的比值。

(2)正方形的周长与边长、面积与边长分别成比例吗？

(3)周长与边长、面积与边长之间的变化规律相同吗？

(学生汇报)

预设生1:周长与边长的比值都是4。

生2:正方形面积与边长的比值等于边长。

生3:正方形周长与边长成比例，面积与边长不成比例。

生4:正方形的周长和面积都随着边长的增加而增加。

二、研究量的变化规律。

在“正方形的周长与边长”的表格中：

(1)共有几种量？

(2)这几种量有没有关系？

(3)这几种量的对应数的比值都是怎样的？

小结:通过比较我们可以看出，两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,并且

这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定。像这样的两种量我们就说它们成正比

例。

三、生活中具有正比例关系的埴。

完成教材第41页中部“汽车行驶路程与时间”的表格。

（1）计算出路程与时间的比。

（2）找出路程随时间的变化规律。

小组交流发现的规律。

活动总结:路程随时间的变化而变化，但变化的倍数始终不变.也就是“变化趋势相同”

“比值一定"，即路程+时间=速度（一定）。

师:生活中具有“比值一定”关系的量还有很多，大家还能举出这样的事例吗？

（生举例）

师：谁能用最简单的方法来表达所有符合这样的变化规律的两个量？

总结：（学生交流后）产以一定）（符号化），像这样的两个量就说它们成正比例。

［设计意图］帮助学生从抽象概括角度理解正比例.突破教材，学生可以用任意字母表

示,明确所用字母的含义即可。当学生自己用任意字母写出正比例关系式后,教师让学生谈

谈自己对产-一定）”的理解。

叵随堂练习

完成教材第42页“练一练”第1题。

（1）教师提示成正比例关系的量的特点。

（2）学生观察、分析表格。

（3）交流问题讨论结果。

【参考答案】（1）竿影的长随着竹竿的高的变化而变化,竹竿越高,竿影越长。

⑵竽=¥=*¥=¥=¥=（）.4,它们的比值相同。（3）成正比例,理由略。

1Z346o

W课堂小结

师:本节课我们学习了什么知识？

预设生:我们学习了什么是正比例。

师:成正比例的两个量之间有什么关系呢？

预设生：比值一定。

师:生活中还有很多具有正比例关系的量,我们要在生活中注意发现和总结这些问题。

叵疗业设计

作业1

教材第42页“练一练”第4题。

作业2

【基础巩固】

1.（基础题）想一想，填一填。

（1）时间和路程两个量，时间变化，（）也随着变化，而且（）和（）的比值一定，我们

就说时间和路程成（）。

（2）三角形的高一定，三角形的底和面积成（）比例。

⑶如果一个数是Aa#0）,另一个数是34则/和34成（）比例。

2.（基础题）幼儿园老师给小朋友们分饼干情况如下表所示,根据表格中的内容回答下列问题。

人数3234567

饼干数决36912151821

（1）（）和（）是两种相关联的量，（）随着（）的变化而变化。

（2）从左往右观察，（）增加，（）也随着增加;从右往左观察,人数（），饼干数也随

着（）。

⑶已知（）是一定的，就是（）和（）的比值是一定的，所以（）和（）成

（）。

【提升培优】

3.（重点题）一个房间的铺地面积和用砖数量如下表所示,按要求填空。

铺地面积小？12345

用砖数量怎255075100125

（1）表中（）和（）是相关联的量，（）随着（）的变化而变化。

（2）表中第三组这两种量相对应的两个数的比（下比上）是（），比值是（）；表中第五组

这两种量相对应的两个数的比（下比上）是（），比值是（）。

（3）上面所求出的比值所表示的意义是（），铺地面积和用砖数量的比的（）是一定的,

所以铺地面积和用砖数量成（）。

【思维创新】

4.（难点题）下面是一辆时速为50km的汽车行驶的时间与路程，以及一些人买同一种苹果时

购买苹果的质量和应付的钱数的统计表。

（1）

时间4寸12345678

路程/km50100150200

（2）

质量/kg109876543

总价阮201816

将表格填写完整,从表中你发现了什么？

【参考答案】

作业1:4.如下表所示：

买邮票的数量/।。,工.7a

枚

应付金额/元0.81.62.424.04.85.66.4

应付金额随购买邮票的数量的变化而变化,并且应付金额与买邮票的数量的比值（单价0.8

元）不变,所以应付金额与买邮票的数量成正比例。

作业2:1.（1）路程时间路程正比例（2）正（3）正2.（1）人数饼干数饼干数

人数（2）人数饼干数减少减少（3）每个小朋友分得的饼干数饼干数人数饼

干数人数正比例3.（1）铺地面积用砖数量用砖数量铺地面积（2）75：325

125：525（3）铺每平方米地面所用的砖块数比值正比例4.（1）250300350

121086

400(2)14发现:⑴翳速度（一定）⑵瞿单价（一定）

旧板书设计

正比例的意义和成正比例的量

正方形的周长与边长）

路程与时间j=成正比例：比值一定

用字母表示为:"（一定）

区教学反思

成功之处

正比例关系是比较抽象的数学量的关系，也是学生认识数学世界的一次思维转变,在这

种认识的基础上,本课时的教学过程中,注意关注学生的知识和经验,注重学生借助具体情景

去思考和探索,注重引导学生感受发现数学规律的乐趣。

Q不足之处

在引导学生发现正方形边长和周长关系时，发现正方形边长和面积关系时，给学生主动

发现规律的时间较少.在教学设计过程中，没能设计利于学生主动思考的问题,学生的思维

一直是由教师牵着走。

―再教设计

课前做一定的比例知识复习，帮助学生做好知识的延伸和衔接。在课堂教学中,注意利

用“练一练”的习题作为例题对学生进行点拨。

区L教学参考资料

（了）典型例题精析

咽已知X与y是成正比例的两个量，请完成下表。

x124

y1.54.5

［名师点拨］因为x,y是成正比例的两个量,所以表中x与y对应的两个数的比值是定

值,即x：片1：1.5=|,我们可由2+尸|;x+4.5=|;4+看|这几个方程分别求出表中另外儿

个未知量。

［解答］填表如下。

%1234

y1.534.56

【知识拓展】若X与y相关联二写y的比值二^成正比例。成正比例的

两种相关联的量的变化情况是两种量同时扩大相同的倍数或同时缩小到原来的几分之几。

相关知识拓展

正比例自述

在遥远的数学王国里，有许多好玩的事物:整数、小数、分数、正数、负数等等,它们生

活得非常快乐,整天都无忧无虑地玩耍。

有一天，数学王国里来了一位奇妙的正比例兄弟。数学王国的国王走过来，对大家说：

“大家不要惊慌,这是我们数学家族中的一员，下面就请正比例介绍一下它自己吧！”

“大家好!我是正比例。我是表现两种或多种数字相关联的关系的。比如：当一个圆柱

的底面积一定时（10平方厘米），它的体积和高就成正比例（高是1厘米,体积是10立方厘米;

高是4厘米,体积是40立方厘米;高是5厘米,体积是50立方厘米）。”两种相关联的量,一

种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定,这两

种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作成正比例关系。

第②课时判断两个量是否成正比例

整体设寸

（专）教学目标

结合具体生活情景,深化对正比例关系的认识,能够判断两个量是否成正比例。

Q1教学重难点

【重点】判断两个量是否成正比例。

【难点】有密切关联的两个量不一定是正比例关系。

U课前准备

【教师准备】PPT课件。

【学生准备】复习正比例的相关知识。

旧教学过程

区新课导入

方法一

情景感知。

（PPT课件出示）

一台机床工作时间和生产的零件个数的变化如下表：

工作时间（小

1234567

时）

生产的零件个

9182736455463

数

观察上表，回答下列问题：

（1）表中有哪两个相关联的量？

（2）工作时间增加,生产的零件个数怎样变化？

（3）一定的工作时间和对应的生产的零件个数的比是多少？比值是多少？

当学生回答完问题后,教师板书T……

师:这个比值实际上是什么?你能用一个关系式表示它们的关系吗？

［设计意图］通过具体的生活情景,从正比例关系的最显著特点一一比值一定入手,帮

助学生感知本课时学习的核心内容。

方法二

师:上一节我们学习了正比例的含义，那么我们怎么判断两个量是否成正比例呢？

预设生1:根据正比例的意义判断。

生2:根据两个量的比值判断.

（板书课题）

［设计意图通过开门见山的师生对话，引导学生思考怎么判断两个量是不是正比例关

系。

留新知构建

活动一、探究圆的面积与半径是否成正比例。

完成教材第42页“试一试”第1题。

(1)思考:圆的面积与半径成正比例吗?让学生在小组中说说自己的想法。

(2)学生先独立思考,再与同伴交流。

(3)学生反馈汇报，并说明理由。

师：圆的面积和圆的半径有关联吗？

预设生:有关联,圆的面积随着半径的变化而变化。

师:有关联就能判断圆的面积和圆的半径成正比例吗？

预设生:不一定。

师:怎么能判断圆的面积和圆的半径是否成正比例呢？

(生交流讨论)

师：(强调)两个相关联的量,是否成正比例,关键是看两者的比值是不是固定不变的。如

果比值一定,就成正比例,反之不成正比例。

师：圆的面积和圆的半径的比值是固定不变的吗?完成下表看一看。

圆的面积3.14J：?…

66

圆的半径1234567…

预设生：比值不固定。

师：(根据学生反馈进行小结)圆的面积公式是6"/,圆的面积随着半径的变化而变化。

但通过计算,我们发现,圆的面积和半径的比值是不断变化的,所以不成正比例。

活动二、探究乐乐和爸爸的年龄是否成正比例。

(PPT课件出示教材第42页乐乐和爸爸的年龄变化情况表)

(1)要求学生独立把表格填写完整。

(2)试判断乐乐和爸爸的年龄成正比例吗?为什么？

(3)学生分析、计算后，反馈汇报。

引导学生回答:乐乐和爸爸的年龄是两个相关联的量，爸爸的年龄随着乐乐年龄的变化

而变化,爸爸的年龄与乐乐的年龄之差一定,但它们的比值不相同,所以不成正比例。

活动三、生活中的成正比例和不成正比例的量。

生活中成正比例和不成正比例的例子还有很多,请同学们分别找一找,并与同伴交流。

(1)学生思考、寻找生活中成正比例和不成正比例的例子。

(2)学生小组内互相交流。注意分析其他同学说的例子是否正确。

(3)指名举例,并请其他同学判断所举的例子是否正确。

臣随堂练习

完成教材第42页“练一练”第3题。

(1)教师提示成正比例关系的量的特点。

(2)学生用两个量比值是否一定去判断。

(3)交流问题讨论结果。

【参考答案】(1)成正比例，(2)(3)不成正比例(理由略)。

w课堂小结

师:本节课我们学习了什么知识？

预设生1:我们学习了怎么判断两个变量成正比例。

生2:我们知道两个变量不一定成正比例。

师:成正比例的两个变量有什么特点呢？

预设生：比值一定。

师：生活中还有很多具有正比例关系的量,我们要在生活中注意发现和总结这些问题。

匠作业设计

作业1

教材第42页“练一练”第2题。

作业2

【基础巩固】

1.（基础题）想一想，填一填。

（1）练习本总价和本数的比值是（），当（）一定时，（）和（）成正比

例。

（2）分数值一定，分子和分母成（）比例。

（3）用一定的钱购买物品，用掉的钱和剩下的钱（）正比例（填“成”或“不成”）。

（4）正方体的棱长的平方与它的表面积成（）比例。

2.（易错题）下面各题中的两种量是否成正比例?如果成正比例，请在题后面的括号里画

"J,否则画"X"。

（1）订阅《故事书》的本数和总钱数。（每本《故事书》的价钱相同）（）

（2）长方形的宽一定，它的面积和长。（）

（3）大米的质量一定，吃了的和剩下的.（）

（4）每天播种的公顷数一定，播种的总公顷数和播种的天数。（）

（5）一个加数一定，和与另一个加数。（）

【提升培优】

3.（探究题）写出平均每小时加工零件数、加工时间和加工零件总数三者间的数量关系。在

什么条件下,其中两个量成正比例？

【思维创新】

4.（难点题）速度一定，路程和时间成正比例，即黑=速度（一定）。像这样成正比例的关系式

时间

你能写几个？

【参考答案】

作业1:2.因为手费=弓=与q=6,即平行四边形的面积与高的比值不变,所以平行四边形的面

积与高成正比例。

作业2:1.（1）单价单价总价本数（2）正（3）不成⑷正2.⑴J（2）V（3）

加工零件总数

X(4)V⑸X3.=加工时间加；:靠数-平均每小时加工零件数平

平均每小时加工零件数

均每小时加工零件数X加工时间=加工零件总数当平均每小时加工零件数一定时,其余的

两个量成正比例，当加工时间一定时,其余两个量成正比例4.答案不唯一,如:瞿=单价（一

定），喘出粉率（一定），器泉工作效率（一定）。

0板书设计

判断两个量是否成正比例

活动一、探究圆的面积与半径是否成正比例

活动二、探究乐乐和爸爸的年龄是否成正比例

活动三、生活中的成正比例和不成正比例的量

S教学反思

成功之处

认识成正比例关系的量和判断两个变量是否成正比例是两个不同层次的教学问题。前

者是正比例的特点,后者是判断两个变量成正比例的依据,本课时在教学的过程中较好地把

握了这一点,为本课时的教学设计把握了一个正确的出发点。

(却不足之处

在“比值一定”的问题探索中，给学生探索的时间较少,应该让学生进行充分探索后，再

判断两个变量是否成正比例。

。再教设计

课前设计好探索圆的面积和半径关系的表格,供学生在探索过程中使用。在此强调生活

中的变量关系是比较复杂的，为以后接着学习反比例做心理准备。

旧教材习题解答

【练一练•42页】

1.(1)竿影的长随着竹竿的高的变化而变化,竹竿越高,竿影越长。

(2)竽=丫=吴热竽=它们的比值相同。(3)成正比例，理由略。2.因为

123468

泮号号哼=6,即平行四边形的面积与高的比值不变,所以平行四边形的面积与高成正比

例。3.(1)成正比例，(2)(3)不成正比例(理由略)4.如下表所示：

买邮票

的12345678

数量微

应付金

额0.81.62.43.24.04.85.66.4

/7C

应付金额随购买邮票的数量的变化而变化,并且应付金额与买邮票的数量的比值(单价0.8

元)不变,所以应付金额与买邮票的数量成正比例。

国教学参考资料

(⑤典型例题精析

咽根据下表回答问题。

动画片的集数/集510153040…

放映的总时间/分100200300600800…

(1)表中有哪两种量?它们是不是相关联的量？

(2)写出几组这两种量中相对应的两个数的比，并求出比值。

⑶说明比值的意义。

(4)表中相关联的量成正比例吗?为什么？

［名师点拨］根据正比例的意义,充分利用题中所列的表,通过观察可得到表中两种相

关联的量是动画片的集数与放映的总时间。放映的总时间是随着播放的集数的变化而变化

的,计算出相对应的播放时间与播放集数的比值，都是20,即播放一集所需要的时间是20分。

因为放映一集的时间一定,所以放映集数与放映的总时间成正比例。

［解答］(1)表中有动画片的集数与放映的总时间两种量,它们是相关联的量。

(2)丹=20,黑=20,鬟=20,若=20……(3)20分表示放映一集动画片的时间。(4)表中动

5101540

画片的集数与放映的总时间成正比例。因为放映的集数与放映的总时间的比值是一定的，所

以它们成正比例。

【知识拓展】做题时要仔细观察,发现两种相关联的量之间的变化规律。

相关知识拓展

巧量树高

星期天，王老师带领同学们去春游。他们在一棵大树下休息,王老师对同学们说：“我们

身旁的这棵大树很高,想什么办法可以测出它的高度呢？”同学们七嘴八舌地议论起来。

王刚从地上拣起一根树枝,对大家说：“这根树枝大约有1米长,把它立在地上,可以目

测出它的影长大约是0.4米,我再用步测的方法测出大树的影长大约是4米,现在我们就可

以计算出大树的高度了。”聪明的你知道大树的高度吗？

【参考答案】10米。

3画一画

国整体设计

(事教材分析

继学生学习了变化的量和正比例之后,为帮助学生从图象的角度深刻认识正比例，教材

设置了“画一画”这节课来研究正比例图象。本节课教材设置了看电影的问题情景,首先通

过判断看电影的人数和所付票费之间是否成正比例关系,让学生进一步认识正比例，以及正

比例中两个相关联的量之间的关系;然后让学生根据表中的数据在方格纸上描出成正比例的

量的对应点,并用线连成正比例图象;最后让学生通过观察，了解正比例图象的特点,并能根

据图象中一个变量的值估计所对应的变量的值。

■教学目标

1.结合具体情景，通过“画一画”的活动，初步认识正比例图象，体会“正比例图象是一

条直线”的特点，深化对正比例的认识。

2.会在方格纸上描出成正比例的量的对应点,理解正比例图象上的点所表示的意义。

(£)教学重难点

【重点】认识正比例图象，了解正比例图象的特点。

【难点】能借助图象根据一个量的值找出另一个量的值。

T）课前准备

【教师准备】PPT课件。

【学生准备】复习正比例的相关知识。

旧教学过程

F新课导入

方法一

情景导学。

一辆汽车行驶的时间和所行的路程如下表所示：

时间加12345-

路程/km4080120160J00…

根据上表描点，再顺次连接各点,如下：

思考：你们发现了这些点之间有什么特点吗