2022年湖南省株洲市中考数学试卷（附答案详解）

2022年湖南省株洲市中考数学试卷

1.一2的绝对值等于（）

A.-2B—C.iD.2

2.在0、-1、迎这四个数中，最小的数是（)

A.0B.|C.-1D.V2

3

3.不等式4x—1<0的解集是（）

1

A.%>4B.%<4C.X>D.%<-

44

4.某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速数据如下:

67、63、69、55、65,则该组数据的中位数为（）

A.63B.65C.66D.69

5.下列运算正确的是（）

A.a2-a3=a5B.（a3）2=a5C.（ab）2=ab2D.宏=a3（a*0）

6.在平面直角坐标系中，一次函数y=5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（）

A.(0,-1)B.(-|,0)C.(1,0)D.(0,1)

7.对于二元一次方程组｛?：；：•二久，将①式代入②式，消去y可以得到（）

A.%+2%—1=7B.%4-2%—2=7C.%4-x-1=7D.%+2%4-2=7

8.如图所示，等边△ABC的顶点4在。。上，边AB、4C与O。分

别交于点。、E,点尸是劣弧虎上一点，且与D、E不重合，

连接OF、EF,则4OFE的度数为（）

A.115°

B.118°

C.120°

D.125°

9.如图所示，在菱形ABCC中，对角线AC与BD相交于点

0,过点C作CE〃BD交48的延长线于点E,下列结论

不一定正确的是（）

1

A.OB=2-CE

B.△ACE是直角三角形

C.BC=^AE

D.BE=CE

10.已知二次函数y=aM+bx—c（aH0）,其中b>0、c>0,则该函数的图象可能

为（）

13.某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件

能中奖.若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是.（用最简分

数表示）

14.4市安排若干名医护工作人员援助某地新冠疫情防控工作，人员结构统计如下表：

人员领队心理医生专业医生专业护士

占总人数的百

4%回56%

分此

则该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为

15.如图所示，点。在一块直角三角板ABC上（其中乙4BC=30。）,。"于点M,ON1

BC于点N,若OM=ON,则乙4B0=度.

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16.如图所示，矩形ABCD顶点4、。在y轴上，顶点C在第一

象限，x轴为该矩形的一条对称轴，且矩形？1BCD的面积

为6.若反比例函数y=:的图象经过点C,贝।味的值为

17.如图所示，已知4MON=60°,正五边形力BCDE的顶点力、B

在射线0M上，顶点E在射线ON上，则41E0=度.

18.中国元代数学家朱世杰所著泗元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方出圆池结角

池图”.“方田一段，一角圆池占之."意思是说：“一块正方形田地，在其一角

有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示.

问题：此图中，正方形一条对角线4B与。。相交于点M、N（点N在点M的右上方）,

若力B的长度为10丈，。。的半径为2丈，则BN的长度为丈.

为蜜:同“鉴”

19.计算：（一1）2022+眄一2s讥30。.

20.先化简，再求值：（1+W）•途士，其中》=4・

21.如图所示，点E在四边形4BC。的边4。上，连接CE,D\------

并延长CE交B4的延长线于点F,已知力E=DE,FE=\

8.FAB

（1）求证：△AEF三△DEC；

（2）若4O〃8C,求证：四边形力BCO为平行四边形.

22.如图（I）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点4处沿线段AC至山谷点C处，

再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处.如图（II）所示，将直线，视为水平面,

山坡①的坡角44cM=30。，其高度4M为0.6千米，山坡②的坡度i=1：1,BN11

于N,且。7=或千米.

⑴求乙4cB的度数；

(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.

(专业评委给分统计表)

记“专业评委给分”的平均数为，

(1)求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；

(2)对于该作品，问I的值是多少？

(3)记“民主测评得分”为。“综合得分”为S,若规定：

①]="赞成”的票数X3分+“不赞成”的票数x(—l)分:

②S=0.7%+0.3y.

求该作品的“综合得分”S的值.

x

24.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点4、B分别在函数yi=|(%<0)y2=(>

0,k>0)的图象上，点C在第二象限内，AC1x轴于点P,BC1y轴于点Q,连接力B、

PQ，已知点4的纵坐标为一2.

(1)求点4的横坐标；

(2)记四边形4PQB的面积为S,若点B的横坐标为2,试用含k的代数式表示S.

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25.如图所示，△ABC的顶点4,B在。。上，顶点C在。。外，

边4c与。0相交于点D,Z.BAC=45°,连接08、0D,已

知。D//BC.

(1)求证：直线BC是。。的切线；

(2)若线段。。与线段AB相交于点E,连接BD.

①求证：4ABDFDBE；

②若4B-BE=6,求。。的半径的长度.

26,已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0).

(1)若a=l,b=3,且该二次函数的图象过点(1,1),求c的值；

(2)如图所示，在平面直角坐标系%0y中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两

点4(X1，0)、F(X2,0),其中/<0<刀2、1刈1>K2I，且该二次函数的图象的顶点

在矩形48FE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N,BE与y轴相交于

点P,且满足tan/ABE=；.

①求关于久的一元二次方程a/+bx+c=0的根的判别式的值；

②若NP=2BP,令7=2+,，求T的最小值.

阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦・韦达发现了一元二次方程的根与系数

之间的关系，可表述为“当判别式0时，关于％的一元二次方程a/+bx+c=

0(a丰0)的两个根石、冷有如下关系：x1+x2=-^,x.x2==".此关系通常被称

为“韦达定理”.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：一2的绝对值等于：|一2|=2.

故选：D.

根据绝对值的含义以及求法，可得：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当

a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零.据此解

答即可.

此题主要考查了绝对值的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当

a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数

-a；③当a是零时，a的绝对值是零.BP|a|={a(a>0)0(a=0)-a(a<0).

2.【答案】C

【解析】解：-1<0<|<V2,

二最小的数是-1,

故选：C.

根据负数小于0,正数大于。比较实数的大小即可得出答案.

本题考查了实数大小比较，掌握负数小于0,正数大于0是解题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：,•14x-1<0,

•••4x<1,

4

故选：D.

根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系

数化为1解不等式即可.

本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；

③移项；④合并同类项；⑤系数化为1是解题的关键.

4.【答案】B

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【解析】解：将这组数据由小到大排列为：55,63,65,67,69,

这组数据的中位数是65,

故选：B.

根据将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处

于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据

的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案.

本题考查了中位数，将数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列是解题的关键.

5.【答案】A

【解析】解：4因为=。2+3=。5,所以4选项运算正确，故A选项符合题意；

A因为（。3）2=02X3=。6,所以B选项运算不正确，故B选项不符合题意；

C.因为（ab）2=（12b2,所以c选项运算不正确，故c选项不符合题意；

。因为S=a6-2=a3所以。选项运算不正确，故。选项不符合题意.

故选：A.

A.应用同底数基乘法法则进行求解即可得出答案；

B.应用嘉的乘方运算法则进行计算即可得出答案；

C.应用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案；

。.应用同底数幕除法运算法则进行计算即可得出答案.

本题主要考查了同底数累乘除法，累的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幕乘除法，幕

的乘方与积的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键.

6.【答案】D

【解析】解：；当x=0时，y=1,

•••一次函数y=5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（0,1）,

故选：D.

一次函数的图象与y轴的交点的横坐标是0,当工=0时，y=l,从而得出答案.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的图象与y轴的交点的横坐标

是0是解题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：将①式代入②式，

得%+2(%-1)=7,

%4-2%—2=7,

故选：B.

将①式代入②式，得x+2(x—l)=7,去括号即可.

本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法解二元一次方程组是解题关键.

8.【答案】C

【解析】解：EFZM是。。内接四边形，

4EFD+^A=180°,

•.•等边△ABC的顶点4在。。上，

:.Z.A=60°,

•••4EFD=120°,

故选：C.

根据圆的内接四边形对角互补及等边△ABC的每一个内角是60。，求出4EFD=120°.

本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质，掌握两个性质定理的应用是解题关键.

9.【答案】D

【解析】解：•.・四边形ABCD是菱形，

■■AO=C。=：,AC1BD,

2

vCE//BD,

AOB~>ACE,

AZ-AOB=乙ACE=90°,^=77=77=^

・•.△4CE是直角三角形，OB="E,AB=^AE,

BC=-AE,

2

故选：D.

由菱形的性质可得4。=C。=1,AC1BD,通过证明△/OB〜△4CE,可得乙40B=

乙4CE=90。，OB=3CE,AB=\AE,由直角三角形的性质可得BC=^AE,即可求解.

本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的对

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角线垂直平分是解题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：c>0,

:.-c<0,

故A,D选项不符合题意；

当Q>0时，

vb>0,

•••对称轴x=<0»

2a

故B选项不符合题意；

当a<0时，b>0,

・•・对称轴x=——>0,

2a

故C选项符合题意，

故选：C.

根据c>0，可知-c<0,可排除4。选项，当。>0时，可知对称轴<0,可排除B选

项，当a<0时，可知对称轴>0,可知C选项符合题意.

本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键.

11.【答案】1

【解析】解：3+(-2)=+(3-2)=1.

故答案为：1

根据有理数的加法法则计算即可.

本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握法则是解答本题的关键.

12.【答案】(x+5)(x—5)

【解析】解：原式=(x+5)(x-5).

故答案为：(x+5)(x-5).

应用平方差公式进行计算即可得出答案.

本题主要考查了因式分解-应用公式法，熟练掌握因式分解-应用公式法进行求解是解

决本题的关键.

13.【答案】1

【解析】解：•.・所有可能出现的结果数为6,其中能中奖出现的结果为2,每种结果出现

的可能性相同，

P(能中奖)=|=；.

OO

故答案为：

根据能中奖的结果数+所有可能出现的结果数即可得出答案.

本题考查了概率公式，掌握P(能中奖)=能中奖的结果数+所有可能出现的结果数是解

题的关键.

14.【答案】40%

【解析】解：1-4%-56%=40%,

故答案为：40%.

根据各种人员占总人数的百分比之和为1计算即可得出答案.

本题考查了统计表，掌握各种人员占总人数的百分比之和为1是解题的关键.

15.【答案】15

【解析】解：vOM1AB,ON1BC,

/.OMB=乙ONB=90°,

在Rt△OMB^WRt△ONB中，

(OM=ON

(OB=OB'

Rt△OMBmRt△ONB(HL),

NOBM=“BN,

•••/.ABC=30°,

•••上ABO=15°,

故答案为：15.

根据。M_LAB,ON1BC,可知NOMB=NONB=90°,从而可证Rt△OMB三Rt△

ONB(HL),根据全等三角形的性质可得NOBM=NOBN,即可求出乙4B。的度数.

本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法(HL)是

解题的关键.

16.【答案】3

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【解析】解：设BC交工轴于E,如图:

•••x轴为矩形4BCD的一条对称轴，且矩形力BCD的面积为6,

二四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3,

设C(m,n),则0E=?n,CE=n,

•.•矩形DOEC面积是3,

•••mn=3,

•••C在反比例函数y=§的图象上，

：•n=£即k=mn,

m

•­k=3,

故答案为：3.

设BC交支轴于E,根据x轴为矩形4BCD的一条对称轴，且矩形HBCC的面积为6,可得四

边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3,设C(m,n),则mn=3,即可得k=3.

本题考查反比例函数图象及应用，解题的关键是掌握反比例函数图象上点坐标的特征,

理解y=：中k的几何意义.

17.【答案】48

【解析】解：•.•五边形4BCDE是正五边形，

...“48=经空幽=108。，

5

•••NE4B是AAE。的外角，

•••^AEO=/.EAB-乙MON=108°-60°=48°,

故答案为：48.

根据正五边形的性质求出NEAB,根据三角形的外角性质计算，得到答案.

本题考查的是正多边形，掌握多边形内角和定理、正多边形的性质、三角形的外角性质

是解题的关键.

18.【答案】(8-2。

【解析】解:如图，设正方形的一边与。。的切点为c,连接oc,

则OC_L4C,

,••四边形是正方形，4B是对角线，

•••Z.OAC=45°,

0A=V2OC=2&（丈）,

•••BN=AB-AN=10-2近一2=(8-2②丈，

故答案为：(8-2a).

连接。C,根据切线的性质得到0C1AC,根据正方形的性质得到ZtMC=45。，求出。力,

结合图形计算，得到答案.

本题考查的是切线的性质、正方形的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的

关键.

19.【答案】解：原式=l+3—2x：

=1+3-1

=3.

【解析】根据有理数的乘方，算术平方根，特殊角的三角函数值计算即可.

本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，掌握(-1)的偶次塞等于1,(-1)的奇次

事等于-1是解题的关键.

20.【答案】解：原式=(M+W)•品

=-x+-2---x-+-1-

x+1(x+2)2

1

-x+2；

把x=4代入全中，

原式=全=也

【解析】应用分式的混合运算法则进行计算，化为最简，再把x=4代入计算即可得出

答案.

本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值的方法进行求解是解决本题

的关键.

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21.【答案】证明：（1）在△4EF和△OEC中，

AE=DE

/-AEF=乙DEC,

FE=CE

（2）,论AEF与bDEC,

・•・Z-AFE=乙DCE,

:‘AB"CD,

-AD//BC,

：.四边形4BCD为平行四边形.

【解析】⑴利用S4S定理证明4AEFmaDEC；

（2）根据全等三角形的性质得到44FE=N0CE,得到4B〃C。，根据两组对边分别平行

的四边形是平行四边形证明结论.

本题考查的是平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定

理是解题的关键.

22.【答案】解：（1）1•山坡②的坡度i=l：1,

:.CN=BN,

乙BCN=45°,

•••乙ACB=180°-30°-45°=105°；

（2）在Rt/iACM中，Z.AMC=90°,Z.ACM=30°,4M=0.6千米，

：.AC=2AM=1.2千米，

在RtABCN中，4BNC=90。,Z.BCN=45°,。2=近千米，

则BC=—^―=2（千米），

coszBCN'7

二该登山运动爱好者走过的路程为：1.2+2=3.2（千米），

答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米.

【解析】（1）根据坡度的概念求出4BCN=45。，根据平角的概念计算即可；

（2）根据含30。角的直角三角形的性质求出4C,根据余弦的定义求出BC,进而得到答案.

本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函

数的定义是解题的关键.

23.【答案】解：⑴该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数：50-40=10(^),

答：该作品在民主测评中得到“不赞成”的票是10张；

(2)x=(88+87+94+91+90)-^5=90(分)；

答：奖的值是90分；

⑶①9=40x3+10x(-1)=110(分)；

②♦:S=0.7x+0.3y

=0.7x90+0.3x110

=96(分).

答：该作品的“综合得分"S的值为96分.

【解析】(1)“不赞成”的票数=总票数一赞成的票；

(2)平均数=总分数+总人数：

(3)根据］=“赞成”的票数x3分+“不赞成”的票数x(-1)分;5=0.71+0.3歹求出该

作品的“综合得分”S的值.

本题考查了加权平均数、算术平均数，掌握这两种平均数的应用，其中读懂题意是解题

关键.

24.【答案】解：(1)・・•点4在函数yi=：(x<0)的图象上，点4的纵坐标为一2,

--2=解得％=-1,

X

•••点4的横坐标为-1;

(2)•••点B在函数%=£(x>0,/c>0)的图象上，点B的横坐标为2,

••.8(2,》，

:.PC=OQ=会BQ=2,

・,・做―1,_2),

・・・OP=CQ=1,AP=2,

・・・4C=2+£BC=1+2=3,

2

111k1k1

S=S^ABC—S^PQC--i4C-BC--PC-CQ=—x3x(2+—)——x—xl=3+—k.

乙乙乙乙乙乙乙

【解析】(1)把y=-2代入yi=：(%<0)即可求得；

(2)求得8(2,5，即可得到PC=OQ=,；.4C=2+*BC=1+2=3,然后根据5=

SAMC-SAPQC即可得到结论.

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本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的

面积，表示出线段的长度是解题的关键.

25.【答案】(1)证明：vZ.BAC=45。，

乙BOD=24BAC=90°,

•••OD//BC,

：.Z.OBC=180°-乙BOD=90°,

•••OB1BC,

又OB是。。的半径，

•••直线BC是。0的切线；

(2)①证明：由(1)知NB。。=90°,

•・,OB=OD,

・・.△BOD是等腰直角三角形，

:.Z-BDE=45°=4BAD,

v乙DBE=4ABD,

DBE；

②解：由①知：bABDs^DBE,

•_AB_BD

"BD-BE'

•••BD2=AB•BE,

,:AB•BE=6,

BD2=6,

•••BD=V6>

•••△8。。是等腰直角三角形，

OB=BD-sinzBDO=逐x曰=技

••o。的半径的长度是我.

【解析】(1)由484c=45。，得48。。=90。，又。O〃BC,可得OBJ.BC,即得直线8c

是O。的切线；

(2)①由4BOD=90°,OB=0D,可得48DE=45°=4B