2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第3章　§3.2　导数与函数的单调性（原卷版）

第第页§3.2导数与函数的单调性课标要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a，b)上单调递增f′(x)<0f(x)在区间(a，b)上单调递减f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数f(x)的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．()(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．()(4)函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数．()2.(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)单调递增B．在区间(2,3)上f(x)单调递减C．在区间(4,5)上f(x)单调递增D．在区间(3,5)上f(x)单调递减3．已知f(x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为________．4．已知f(x)＝2x2－ax＋lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．题型一不含参函数的单调性例1(1)函数f(x)＝xlnx－3x＋2的单调递减区间为________．(2)若函数f(x)＝eq\f(lnx＋1,ex)，则函数f(x)的单调递增区间为________．跟踪训练1已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，x∈[0,2π]，则f(x)的单调递减区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))C．(π，2π)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))题型二含参数的函数的单调性例2已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，讨论函数g(x)的单调性．跟踪训练2已知函数f(x)＝eq\f(2x－a,x＋12).(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．常见组合函数的图象在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果．典例(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有eq\f(x1fx1－x2fx2,x1－x2)>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是()A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx(2)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)＋f(x)>2的解集为________．命题点2根据函数的单调性求参数例4已知函数f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－2x(a≠0)．(1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．跟踪训练3(1)函数f(x)的图象如图所示，设f(x)的导函数为f′(x)，则f(x)·f′(x)>0的解集为()A．(1,6) B．(1,4)C．(－∞，1)∪(6，＋∞) D．(1,4)∪(6，＋∞)(2)已知函数f(x)＝(1－x)lnx＋ax在(1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是()A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)课时精练一、单项选择题1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递减区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)2．已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()3．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为()A．e2B．eC．e－1D．e－25．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋sinx，则不等式f(2x－1)<eπ的解集是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋π,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1＋π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1＋eπ,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－π,2)，\f(1＋π,2)))二、多项选择题6．若函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－9lnx在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的值可以是()A．1B．2C．3D．47．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))lnx，且a＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，b＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))，c＝SKIPIF1<0，则()A．a>bB．b>aC．c>bD．c>a三、填空题8．函数f(x)＝e－xcosx(x∈(0，π))的单调递增区间为________．9．若函数f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三个单调区间，则实数b的取值范围为________．10．已知定义在(－3,3)上的奇函数y＝f(x)的导函数是f′(x)，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式eq\f(f′x,x)>0的解集为________．11．