2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第10章　§10.3　随机事件与概率（含解析）

第第页§10.3随机事件与概率课标要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．知识梳理1．样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．(2)随机事件①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示．③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．2．两个事件的关系和运算含义符号表示包含关系若事件A发生，则事件B一定发生A⊆B相等关系B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)事件A与事件B至少有一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)事件A与事件B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)事件A与事件B不能同时发生A∩B＝∅互为对立事件A与事件B有且仅有一个发生A∩B＝∅，且A∪B＝Ω3.古典概型的特征(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．4．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．5．概率的性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1；性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．6．频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．(2)频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A)．常用结论1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件．2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的．(×)(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．(√)(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(√)(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．(×)2．一个人打靶时连续射击两次，与事件“至多有一次中靶”互斥的事件是()A．至少有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶答案B解析射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”．3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8答案B解析由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率和该同学的身高超过175cm的概率和为1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3.4．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．答案eq\f(3,10)解析从甲、乙等5名同学中随机选3名，有Ceq\o\al(3,5)种情况，其中甲、乙都入选有Ceq\o\al(1,3)种情况，所以甲、乙都入选的概率P＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10).题型一随机事件的关系命题点1随机事件间关系的判断例1(1)(多选)有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件I为“一种报纸也不订”，下列命题正确的是()A．E与G是互斥事件B．F与I互为对立事件C．F与G不是互斥事件D．G与I是互斥事件答案BC解析对于A，E与G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，所以F与I互为对立事件，故B正确；对于C，F与G可以同时发生，不是互斥事件，故C正确；对于D，G与I可以同时发生，不是互斥事件，故D错误．(2)(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是()A．A⊆BB．A∩B＝∅C．A∪B＝“至少一次中靶”D．A与B互为对立事件答案BC解析事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥事件但不是对立事件，所以A，D错误，B正确；A∪B＝“至少一次中靶”，C正确．命题点2利用互斥、对立事件求概率例2某商场的有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)1张奖券的中奖概率；(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解(1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(10,1000)＋eq\f(50,1000)＝eq\f(61,1000).故1张奖券中奖的概率为eq\f(61,1000).(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与事件“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989,1000).命题点3用频率估计概率例3(多选)某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人数，剩下的为食用米线、汉堡等其他食品(每人只选一种)，结果如表所示：总人数食用大米套餐人数食用面食人数1000550260假设随机抽取一位同学，记“中午吃大米套餐”为事件M，“吃面食”为事件N，“吃米线、汉堡等其他食品”为事件H，若用频率估计事件发生的概率，则下列结论正确的是()A．P(M)＝0.55 B．P(N)＝0.26C．P(H)＝0.19 D．P(N∪H)＝0.65答案ABC解析用频率估计概率得P(M)＝eq\f(550,1000)＝0.55，P(N)＝eq\f(260,1000)＝0.26，P(H)＝eq\f(1000－550－260,1000)＝0.19，故A，B，C正确；P(N∪H)表示事件N发生或事件H发生，且N与H互斥，故P(N∪H)＝P(N)＋P(H)＝0.26＋0.19＝0.45，故D错误．思维升华事件关系的运算策略进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式．跟踪训练1(1)从装有10个红球和10个白球的罐子里任取两球，下列情况中互斥而不对立的两个事件的是()A．至少有一个红球；至少有一个白球B．恰有一个红球；都是白球C．至少有一个红球；都是白球D．至多有一个红球；都是红球答案B解析对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”也可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．(2)某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的0.20,0.25,0.3,0.25，这四条流水线的合格率依次为0.95,0.96,0.97,0.98，现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格产品的概率是________．答案0.034解析由题意可知，恰好抽到不合格产品的概率为P＝0.2×(1－0.95)＋0.25×(1－0.96)＋0.3×(1－0.97)＋0.25×(1－0.98)＝0.034.题型二古典概型例4(1)在“2,3,5,7,11,13,17,19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是()A.eq\f(3,28)B.eq\f(5,28)C.eq\f(1,7)D.eq\f(3,14)答案C解析这8个素数中，任取2个不同的数，有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(2,17)，(2,19)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(3,17)，(3,19)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共28个样本点，这两个数之和仍为素数的样本点有(2,3)，(2,5)，(2,11)，(2,17)，共4个，所以这两个数之和仍为素数的概率是eq\f(4,28)＝eq\f(1,7).(2)某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能自主选择自己喜欢的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)答案C解析4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)选法，其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝4(种)选法，按学校规定每人只能加入一个社团，由古典概型的概率计算公式可得，甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率P＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).思维升华利用公式法求解古典概型问题的步骤跟踪训练2(1)从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,5)D.eq\f(9,10)答案C解析从正六边形的6个顶点中任取3个，有Ceq\o\al(3,6)＝20(个)三角形，其中直角三角形，每边对应2个，如图，例如Rt△BDE和Rt△ADE，共有2×6＝12(个)，所以所求概率为eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)从1,2,3,4,5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)答案D解析从1,2,3,4,5中任选3个不同数字组成一个三位数，有Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60(种)可能；要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，所以数字为1,2,3时，有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6(种)可能；数字为1,3,5时，有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6(种)可能；数字为2,3,4时，有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6(种)可能；数字为3,4,5时，有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6(种)可能，共24种可能．所以该三位数能被3整除的概率为eq\f(24,60)＝eq\f(2,5).题型三概率的综合问题例5某省高考目前实行“3＋1＋2”模式，其中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门，已知某大学医学院临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门．(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求的概率；(2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，且三人的选择互不影响，求这三人中恰有两人的选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求的概率．解(1)用a，b分别表示事件“选择物理”“选择历史”，用c，d，e，f分别表示事件“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，则所有选科组合的样本空间Ω＝{acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef}，共含12个样本点，设M＝“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求”，则M＝{acd，ace，acf，ade，adf}，共含5个样本点，∴P(M)＝eq\f(nM,nΩ)＝eq\f(5,12).(2)设“甲、乙、丙三人每人的选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求”的事件分别是N1，N2，N3，由题意知事件N1，N2，N3相互独立．由(1)知P(N1)＝P(N2)＝P(N3)＝eq\f(5,12).记N＝“甲、乙、丙三人中恰有两人的选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求”，则N＝N1N2eq\x\to(N3)∪N1eq\x\to(N2)N3∪eq\x\to(N1)N2N3，则P(N)＝P(N1N2eq\x\to(N3))＋P(N1eq\x\to(N2)N3)＋P(eq\x\to(N1)N2N3)＝eq\f(5,12)×eq\f(5,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,12)))×3＝eq\f(175,576).思维升华求解概率的综合问题时，一要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型，二要根据公式准确计算．跟踪训练3为了备战2024年法国巴黎奥运会(第33届夏季奥林匹克运动会)，中国射击队的甲、乙两名运动员展开队内对抗赛．甲、乙两名运动员对同一目标各射击一次，且两人命中目标与否互不影响．已知甲命中目标的概率为eq\f(2,3)，乙命中目标的概率为eq\f(3,4).(1)求甲没有命中目标的概率；(2)在两次射击中，求恰好有一人命中目标的概率．解(1)记“甲命中目标”为事件A，则P(A)＝eq\f(2,3)，所以甲没有命中目标的概率P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝eq\f(1,3).(2)记“乙命中目标”为事件B，则P(B)＝eq\f(3,4)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,4)，两次射击中，恰好有一人命中目标的事件为Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B，由题意知事件A，B相互独立，所以所求概率P(Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).课时精练一、单项选择题1．从编号为1,2,3,4的4个球中，任取2个球，则这2个球的编号之和为偶数的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案A解析从编号为1,2,3,4的4个球中，任取2个球，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种情况，其中这2个球的编号之和为偶数的情况有(1,3)，(2,4)，共2种情况，故这2个球的编号之和为偶数的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).2．江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外．这六大古镇中，其中在苏州的有3处．某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为()A.eq\f(2,5)B.eq\f(1,2)C.eq\f(4,5)D.eq\f(3,5)答案C解析从这6个古镇中挑选2个去旅游有Ceq\o\al(2,6)＝15(种)选法，至少选一个苏州古镇的概率为P＝1－eq\f(C\o\al(2,3),15)＝eq\f(4,5).3．在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则在一次试验中，事件A∪eq\x\to(B)发生的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)答案C解析掷一枚骰子的试验有6种等可能的结果，依题意知P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，因为eq\x\to(B)表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与eq\x\to(B)互斥，从而P(A∪eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设A＝“2名全是男生”，B＝“2名全是女生”，C＝“恰有一名男生”，D＝“至少有一名男生”，则下列关系不正确的是()A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D答案D解析“至少有1名男生”包含“2名全是男生”“1名男生1名女生”2种情况，故A⊆D，A∪C＝D，故A，C正确；事件B与D是互斥事件，故B∩D＝∅，故B正确，A∪B表示的是“2名全是男生或2名全是女生”，B∪D表示“2名全是女生或至少有一名男生”，故A∪B≠B∪D，故D错误．5．四位爸爸A，B，C，D相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A的小孩与D交谈的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(5,9)D.eq\f(2,3)答案A解析方法一A的小孩等可能地与B，C，D其中一位爸爸交谈，所以A的小孩与D交谈的概率P＝eq\f(1,3).方法二设A，B，C，D四位爸爸的小孩分别是a，b，c，d，则交谈组合有9种情况，分别为(Ab，Ba，Cd，Dc)，(Ab，Bd，Ca，Dc)，(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Ba，Cd，Db)，(Ac，Bd，Ca，Db)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Ba，Cb，Dc)，(Ad，Bc，Ca，Db)，(Ad，Bc，Cb，Da)，A的小孩与D交谈包含的不同组合有3种，分别为(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Bc，Cb，Da)，∴A的小孩与D交谈的概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).6．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为()A.eq\f(7,36)B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,15)D.eq\f(1,18)答案A解析根据题意，将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6种情况，则共有63＝216(种)情况，它落地时向上的点数能组成等差数列，分两种情况讨论：①若落地时向上的点数不同，则为1,2,3或1,3,5或2,3,4或2,4,6或3,4,5或4,5,6，共有6种可能，每种可能的点数顺序可以颠倒，即有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)情况，共有6×6＝36(种)情况；②若落地时向上的点数全相同，有6种情况，所以共有36＋6＝42(种)情况，则落地时向上的点数能组成等差数列的概率为eq\f(42,216)＝eq\f(7,36).二、多项选择题7．某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则()A．事件A和事件B是对立事件B．事件A和事件C是对立事件C．P(B∪C)＝P(C)D．P(BC)＝P(C)答案BC解析因为A∪B表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A和事件B不是对立事件，故A错误；事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，则事件A和事件C是互斥事件且和事件为必然事件，则事件A和事件C是对立事件，故B正确；又因为B⊆C，所以P(B∪C)＝P(C)，故C正确；P(BC)＝P(B)，故D错误．三、填空题8．由于夏季炎热，某小区用电量过大，据统计，一天停电的概率为0.3，现在用数据0,1,2表示当天停电；用3,4,5,6,7,8,9表示当天不停电，现以两个随机数为一组，表示连续两天停电情况，经随机模拟得到以下30组数据．282179145674068953901457623093786344712867035382472310940243根据以上模拟数据估计连续两天中恰好有一天停电的概率为________．答案0.4解析由题意可知连续两天中恰有一天停电的情况有28,14,06,90,14,62,30,71,28,03,82,23，共12种，所以连续两天中恰好有一天停电的概率为eq\f(12,30)＝0.4.9