新教材2025版高中数学第二章平面向量及其应用3从速度的倍数到向量的数乘3.2向量的数乘与向量共线的关系学案北师大版必修第二册

3．2向量的数乘与向量共线的关系[教材要点]要点一共线(平行)向量基本定理给定一个非零向量b，则对于随意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使________．eq\x(状元随笔)向量共线定理的理解留意点及主要应用(1)定理中eq\o(b,\s\up14(→))≠eq\o(0,\s\up14(→))不能漏掉.若eq\o(a,\s\up14(→))＝eq\o(b,\s\up14(→))＝eq\o(0,\s\up14(→))，则实数λ可以是随意实数；若eq\o(b,\s\up14(→))＝eq\o(0,\s\up14(→))，eq\o(a,\s\up14(→))≠eq\o(0,\s\up14(→))，则不存在实数λ，使得eq\o(a,\s\up14(→))＝λeq\o(b,\s\up14(→)).(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使teq\o(a,\s\up14(→))＋seq\o(b,\s\up14(→))＝eq\o(0,\s\up14(→))，则eq\o(a,\s\up14(→))与eq\o(b,\s\up14(→))共线；若两个非零向量eq\o(a,\s\up14(→))与eq\o(b,\s\up14(→))不共线，且teq\o(a,\s\up14(→))＋seq\o(b,\s\up14(→))＝eq\o(0,\s\up14(→))，则必有t＝s＝0.要点二直线的向量表示通常可以用eq\o(AP,\s\up14(→))＝teq\o(AB,\s\up14(→))表示过点A，B的直线l，其中eq\o(AB,\s\up14(→))称为直线l的________向量．[基础自测]1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa.()(2)若eq\o(AD,\s\up14(→))＝3eq\o(AB,\s\up14(→))，则eq\o(AD,\s\up14(→))与eq\o(AB,\s\up14(→))共线．()(3)一个点A和一个非零向量eq\o(AB,\s\up14(→))可以唯一确定过点A与向量eq\o(AB,\s\up14(→))平行的直线l.()(4)若点P是AB的中点，点O为直线AB外一点，则eq\o(OP,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→)))．()2．在四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up14(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up14(→))，则此四边形是()A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形3．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up14(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up14(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up14(→))＝7a－2b，则肯定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D4．下列向量中，a，b肯定共线的有________．(填序号)①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2；b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.题型一向量共线的判定——自主完成推断下列各小题中的向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个不共线向量)．(1)a＝5e1，b＝－10e1；(2)a＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,3)e2，b＝3e1－2e2；(3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.eq\x(状元随笔)向量共线的判定一般是用其判定定理，即eq\o(a,\s\up14(→))是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得eq\o(b,\s\up14(→))＝λeq\o(a,\s\up14(→))，则向量eq\o(b,\s\up14(→))与非零向量eq\o(a,\s\up14(→))共线．解题过程中，须要把两向量用共同的已知向量来表示，进而相互表示，由此推断共线．题型二证明三点共线——师生共研例1已知e1，e2是两个不共线的向量，若eq\o(AB,\s\up14(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up14(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up14(→))＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．变式探究1将本例中条件改为“a，b是不共线的两非零向量，eq\o(OA,\s\up14(→))＝2a－b，eq\o(OB,\s\up14(→))＝3a＋b，eq\o(OC,\s\up14(→))＝a－3b”，证明A、B、C三点共线．方法归纳三点共线的证明问题及求解思路1．证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．2．若A，B，C三点共线，则向量eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))在同始终线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．跟踪训练1已知向量eq\o(AB,\s\up14(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up14(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up14(→))＝－3a＋3b，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线题型三由三点共线求参数的值——师生共研例2(1)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o(AD,\s\up14(→))＝2eq\o(DB,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up14(→))＋λeq\o(CB,\s\up14(→))，则λ＝()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3)(2)已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2与e1＋ke2共线，试确定实数k的值．变式探究2将本例(2)中的条件改为“若a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同”，问当实数t为何值时a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的终点在同始终线上？方法归纳利用向量共线求参数，一种类型是利用向量加法、减法及数乘运算表示出相关向量，从而求得参数，另一种类型是利用三点共线建立方程求解参数．跟踪训练2如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up14(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up14(→))，P是BN上一点，若eq\o(AP,\s\up14(→))＝meq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up14(→))，则实数m的值为()A.eq\f(9,11)B.eq\f(2,11)C.eq\f(3,11)D.eq\f(1,11)易错辨析忽视向量共线的方向出错例3设两向量e1，e2不共线，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2共线，求实数t的值．解析：∵向量2te1＋7e2与向量e1＋te2共线，∴存在实数λ，使得2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，即2t＝λ，且7＝λt，解得t＝±eq\f(\r(14),2).故所求实数t的值为±eq\f(\r(14),2).易错警示易错缘由纠错心得忽视两非零向量反向共线的状况而漏掉一解.向量共线应分同向与反向两种状况.3．2向量的数乘与向量共线的关系新知初探·课前预习[教材要点]要点一a＝λb要点二方向[基础自测]1．(1)×(2)√(3)√(4)√2．解析：因为eq\o(AB,\s\up13(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up13(→))，所以AB∥CD，且AB＝eq\f(1,2)CD，所以四边形ABCD为梯形．故选C.答案：C3．解析：eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝a＋2b＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝eq\o(AD,\s\up13(→))＝3eq\o(AB,\s\up13(→)).所以A，B，D三点共线．答案：A4．解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－eq\f(2,5)e2＝4(e1－eq\f(1,10)e2)＝4b；④中，当e1，e2不共线时，a≠λb，故①②③中a与b共线．答案：①②③题型探究·课堂解透题型一解析：(1)∵b＝－2a，∴a与b共线．(2)∵a＝eq\f(1,6)b，∴a与b共线．(3)设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，∴(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2.∵e1与e2是两个不共线向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3λ＝0，,1＋3λ＝0.))这样的λ不存在，因此a与b不共线．题型二例1解析：∵eq\o(CB,\s\up13(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up13(→))＝2e1－e2，∴eq\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(CD,\s\up13(→))－eq\o(CB,\s\up13(→))＝e1－4e2.又eq\o(AB,\s\up13(→))＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴eq\o(AB,\s\up13(→))＝2eq\o(BD,\s\up13(→))，∴eq\o(AB,\s\up13(→))∥eq\o(BD,\s\up13(→)).∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．变式探究1证明：∵eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(OB,\s\up13(→))－eq\o(OA,\s\up13(→))＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(OC,\s\up13(→))－eq\o(OB,\s\up13(→))＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2(a＋2b)＝－2eq\o(AB,\s\up13(→))∴eq\o(AB,\s\up13(→))与eq\o(BC,\s\up13(→))共线，且有公共点，∴A，B，C三点共线．跟踪训练1解析：∵eq\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2eq\o(AB,\s\up13(→))，且eq\o(BD,\s\up13(→))与eq\o(AB,\s\up13(→))有公共点B，∴A，B，D三点共线．故选B.答案：B题型三例2解析：(1)方法一由eq\o(AD,\s\up13(→))＝2eq\o(DB,\s\up13(→))得eq\o(CD,\s\up13(→))－eq\o(CA,\s\up13(→))＝2(eq\o(CB,\s\up13(→))－eq\o(CD,\s\up13(→)))，即eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up13(→))，所以λ＝eq\f(2,3).方法二因为eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up13(→))－eq\o(CA,\s\up13(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up13(→))，所以λ＝eq\f(2,3).(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于e1与e2不共线∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0))∴k＝±1.答案：(1)A(2)见解析变式探究2解析：由题意知，存在唯一实数λ，使a－tb＝λeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－\f(1,3)a＋b))，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)λ－1))a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,3)－t))b，∵a与b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)λ－1＝0，,\f(λ,3)－t＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co