2023-2024学年天津市河东区高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年天津市河东区高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U={0,1,2,4,6,8}，集合M={0,4,6}，N={0,1,6}，则M∪∁UN=A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} C.{1,2,4,6,8} D.U2.对于任意实数a，b，“a2=b2”是“2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若f(x)=(x3+a)lnx−2A.−1 B.0 C.12 D.4.设y1=90.9，y2=loA.y3>y1>y2 B.5.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(

)A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.46.为了研究某班学生的脚长x(单位厘米)和身高y(单位厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y​=b​x+a​.已知i=110xA.160 B.163 C.166 D.1707.若2x=6,y=log443A.3 B.13 C.log238.空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n，则下列说法中正确的是(

)A.若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥nB.若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥β

C.若α//β，m//α，n//β，则m//nD.若α//β，m//α，m//n，则n//β9.设函数f(x)=ex(x−a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是(

)A.(−∞,−2] B.[−2,0) C.(0,2] D.[2,+∞)10.某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者121162283患慢性气管炎者134356总计134205339假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立．

通过计算统计量χ2，得χ2≈7.468，根据χ2分布概率表：

P(χ2≥6.635)≈0.01，P(χ2≥5.024)≈0.025，

P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥2.706)≈0.1．

给出下列3个命题，其中正确的个数是(

)

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个11.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45°，则(

)A.AC=22 B.该圆锥的侧面积为43π

C.△PAC的面积为二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。12.计算(1−3i)213.二项式(3x+14.某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70、97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的第75%分位数是______．15.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4，P(X=4)<P(X=6)，则p=______．16.已知正数x，y满足x+y=1，则1x−y17.在平行四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=33，BC=6，若AE=12EB，设AB−=a，AD=b，则EC可用a，b表示为______；若点F18.曲线y=x3−3x与y=−(x−1)2+a在三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题15分)

在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b=2．

(1)若A+C=120°，a=2c，求边长c；

(2)若A−C=15°，a=2csinA，求△ABC20.(本小题15分)

如图，在四棱锥E−ABCD中，EC⊥底面ABCD，AB⊥BC，AB/​/CD，AB=1，CB=CD=CE=3．

(1)若F在侧棱DE上，且DF=2FE，求证：AF//平面BCE；

(2)求平面ADE与平面BCE所成锐二面角的余弦值．21.(本小题15分)

已知函数f(x)=6cosxsin(x−π6)+32．

(1)求f(x)的最小正周期和其图象的对称轴方程；

(2)若函数y=f(x)−a在x∈[22.(本小题15分)

已知函数f(x)=(1x+a)ln(1+x)．

(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程；

(2)若函数f(x)在(0,+∞)答案解析1.A

【解析】解：由于∁UN={2,4,8}，

所以M∪∁UN={0,2,4,6,8}．2.B

【解析】解：当a=2，b=−2，满足a2=b2，但2a≠2b，故充分性不成立，

当2a=2b时，

则a=b，

故a3.B

【解析】解：函数f(x)定义域为：x−2x+2>0，∴x>2或x<−2，

若f(x)为偶函数，则f(−3)=f(3)，

则(−27+a)ln5=(27+a)ln15=−(27+a)ln5，

则a=04.C

【解析】解：因为y1=90.9=32.7，

y2=log327−0.485.A

【解析】解：根据题意，在该地的中学生中随机调查一位同学，设该同学爱好滑冰为事件A，爱好滑雪为事件B，

则P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.7，

则P(AB)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=0.4，

若选出的同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率P(A|B)=P(AB)P(B)=0.40.5=0.86.C

【解析】解：∵x−=110i=110xi=225=22.5，y−=110i=110y7.A

【解析】解：∵2x=6，log443=y，

∴x+2y=log26+2log4438.A

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，若α⊥β，m⊥α，则m//β或m⊂β，又n⊥β，所以m⊥n，故A正确；

对于B，若α⊥β，m⊥α，则m//β或m⊂β，由m⊥n，则n与β斜交、垂直、平行均有可能，故B错误；

对于C，若α/​/β，m/​/α，则m//β或m⊂β，由n/​/β，则m与n相交、平行、异面均有可能，故C错误；

对于D，若α/​/β，m/​/α，则m//β或m⊂β，又m/​/n，则n/​/β或n⊂β，故D错误．

故选：A．

9.D

【解析】解：函数f(x)=ex(x−a)在区间(0,1)单调递减，

所以g(x)=(x−a)x在(0,1)上单调递减，

所以12a≥1，即a≥2．

10.D

【解析】解：因为χ2≈7.468>6.635，

所以有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关，即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于1%，

故①②正确，

χ2分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生，故③正确．

故选：11.A

【解析】解：依题意，∠APB=120°，PA=2，

所以OP=1,OA=OB=3，

圆锥的体积为13×π×(3)2×1=π，故D错误；

圆锥的侧面积为π×3×2=23π，故B选项错误，

设D是AC的中点，连接OD，PD，

则AC⊥OD，AC⊥PD，

所以∠PDO是二面角P−AC−O的平面角，

则∠PDO=45°，所以OP=OD=1，

故AD=CD=3−1=2，

则12.−2−2【解析】解：(1−3i)13.7

【解析】解：根据二项式的展开式Tr+1=C8r⋅x8−r3⋅(1214.97

【解析】解：7人的比赛成绩从小到大排列为：70，73，85，90，95，97，98，

因为7×75%=5.25，

所以这7人成绩的第75%分位数是第6个，即为97．

故答案为：97．

15.0.6

【解析】解：由题意，使用移动支付的人数X服从二项分布，

则D(X)=10p(1−p)=2.4，解得p=0.4或p=0.6，

又P(X=4)<P(X=6)，即C104p4(1−p)6<C106p6(1−p)416.(1,+∞)

【解析】解：正数x，y满足x+y=1，

则y=1−x，

故1x−y4=1x−1−x4=1x+x4−14，

设函数g(x)=1x+x17.EC=23【解析】解：如图，因为平行四边形ABCD中，AB⊥BC，所以四边形ABCD是矩形，

则以B为原点，分别以BA，BC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，

因为AB=33，BC=6，若AE=12EB，F为AD的中点，

所以A(0,33)，E(0,23)，F(3,33)．

因为AB−=a，AD=b，

所以EC=EB+BC=23AB+AD=23a+18.(−2,1)

【解析】解：令x3−3x=−(x−1)2+a，则a=x3−3x+(x−1)2，

令φ(x)=x3−3x+(x−1)2，则φ′(x)=3x2−3+2(x−1)=(x−1)(3x+5)，

因为x>0，

故当x>1时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，当0<x<1时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，

因为φ(0)=1，φ(1)=−2，x→+∞19.解：(1)∵A+C=120°，且a=2c，

∴sinA=2sinC=2sin(120°−A)=3cosA+sinA，

∴cosA=0，

∴A=90°，C=30°，B=60°，

∵b=2，

∴c=233；

(2)a=2csinA，

则sinA=2sinCsinA，

sinA>0，

∴sinC=22，

∵A−C=15°，

∴C为锐角，

【解析】(1)由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求A，B，C，然后结合锐角三角函数即可求解；

(2)由已知结合正弦定理先求出sinC，进而可求C，再由正弦定理求出a，结合三角形面积公式可求．

20.解：∵EC⊥底面ABCD，AB⊥BC，AB/​/CD，∴CB，CE，CD两两垂直，

故以C为原点，建立如图的空间直角坐标系C−xyz，则C(0,0,0)，

D(3,0,0)，B(0,3,0)，E(0,0,3)，F(1,0,2).A(1,3,0)，

(1)证明：易得平面BCE的法向量为m=(1,0,0)，AF=(0,−3,2)

∵m⋅AF=1×0+0×(−3)+0×2=0，∴AF⊥m，

又AF⊄平面BCE，∴AF/​/平面BCE；

(2)AD=(2,−3,0)，AE=(−1,−3,3)

设平面ADE的法向量为n=(x,y,z)

由n⋅AD=2x−3y=0n⋅AE【解析】由已知可得CB，CE，CD两两垂直，可以C为原点，建立如图的空间直角坐标系C−xyz，则C(0,0,0)，D(3,0,0)，B(0,3,0)，E(0,0,3)，F(1,0,2).A(1,3,0)，利用向量法求解．

21.解：(1)对于函数f(x)=6cosxsin(x−π6)+32

=6cosx(sinx⋅32−12cosx)+32

=332sin2x−3×1+cos2x2+32

=3(sin2x⋅32−12cos2x)

=3sin(2x−π6)，

故它的最小正周期为2π2=π．

令2x−π6=kπ+【解析】(1)由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性、图象的对称性，得出结论．

(2)由题意，方程sin(2x−π6)=a3在22.解：(1)当a=−1时，

则f(x)=(1x−1)ln(1+x)，

求导可得，f′(x)=−1x2ln(1+x)+(1x−1)⋅1x+1，

当x=1时，f(1)=0，

当x=−1时，f′(1)=−ln2，

故曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程为：y−0=−ln2(x−1)，即(ln2)x+y−ln2=0；

(2)f(x)=(1x+a)ln(1+x)，

则f′(x)=(−1x2)ln(x+1)+(1x+a)⋅1x+1(x>−1)，

函数f(x)在(0,+∞)单调递增，

则(−1x2)ln(x+1)+(1x+a)⋅1x+1≥0，化简整理可得，−(x+1)ln(x+1)+x+ax2≥0，

令g(x)=ax2