《数字信号处理》课件1第1章

第1章离散时间信号与系统1.1信号的分类

1.2离散时间信号

1.3离散时间系统

1.4离散时间系统的时域描述

1.5模拟信号的离散化和重构

习题

1.1信号的分类

信号是信息的物理表现形式，它以某种函数的形式传递信息。例如，交通红绿灯是信号，它传递的信息是：红—停止，绿—通行。根据载体的不同，信号可以是电的、磁的、声的、机械的、热的等各种形式。

不同类型的信号，其处理方法会有所不同，因此，有必要对信号进行分类。信号的变量可以是时间，也可以是频率、空间或其它物理量。信号的分类方法很多，同一种信号，可以从不同角度进行分类。下面介绍常见的几种分类方法。

1.连续时间信号、离散时间信号和数字信号

按信号变量的取值方式有连续与离散两种。若变量是连续的，则称为连续时间信号；若变量是离散数值，则称为离散时间信号。同样，信号幅值的取值也可分为连续与离散两种方式，因此，组合起来有以下四种情况：

(1)连续时间信号：时间是连续的，幅值可以是连续的也可以是离散(量化)的。

(2)模拟信号：时间是连续的，幅值也是连续的，这是上一种信号的特例。大多数实际信号属于此类信号。

(3)离散时间信号(或称序列)：时间是离散的，幅值是连续的。离散时间信号可由模拟信号采样得到，在采样时刻，离散信号的值严格等于原模拟信号的值，但也有一些离散信号是固有的，如每天计算一次利息等。

(4)数字信号：时间和幅值都是离散的。由于是量化的，故数字信号可用一数字序列来表示，而每个数又可表示为二进制的形式。数字信号可由采样信号进行量化和编码得到，同样也可从实际应用中得到，例如每日股票的市场价格、人口的统计数和仓库的存量等。

本书主要讨论离散时间信号(序列)的分析与处理。

2.周期信号和非周期信号

若信号满足x(t)=x(t+kT)，k为整数，或x(n)=x(n+kN)，N为正整数，则x(t)和x(n)都是周期信号，周期分别为T和N，否则就是非周期信号。

3.确定信号和随机信号

若信号在任意时刻的取值能精确确定，则称它为确定信号；若信号在任意时刻的取值不能精确确定，或者取值是随机的，则称它为随机信号。例如，设φ是在(π，－π)之间服从均匀分布的随机信号，那么，信号x(t)=sin(2πft+φ)就是一个随机信号，称为随机相位正弦波。对x(t)的每次观测，它的相位是不同的，可得到不同的正弦曲线。这些正弦信号的集合构成了随机信号。

4.能量信号和功率信号

信号x(t)和x(n)的能量分别定义为

若E有限，则称x(t)或x(n)为能量有限信号，简称为能量信号；若E无限，则称x(t)或x(n)为能量无限信号。当x(t)或x(n)的能量E无限时，我们往往研究它们的功率。信号x(t)和x(n)的功率分别定义为

若P有限，则称x(t)或x(n)为有限功率信号，简称为功率信号。周期信号及随机信号一定是功率信号，而非周期的绝对可积(和)信号一定是能量信号。

1.2离散时间信号

1.2.1序列的定义

表示离散信号的时间函数，只是在某些离散瞬间给出函数值，因此它是时间上不连续的序列。通常，给出函数值的离散时刻间隔是均匀的，若此间隔为T，则以x(nT)表示此离散时间信号，这里n取整数(n=0，±1，±2，…)。在离散信号传输与处理中，有时将信号寄存在存储器中，以便随时取用。离散时间信号的处理也可能是先记录后分析，即所谓“非实时的”。考虑到这些因素，对于离散时间信号来说，人们主要关心的是该信号随n变化的情况，所以往往不必以nT为变量，而直接以n为变量。这里，n表示各函数值出现的序号。可以说，一个离散时间信号就是一组序列值的集合，这也是将离散时间信号称为序列的原因所在。

离散时间信号有以下几种表示方法。

1.图形表示

图形表示比较直观，以x(n)=sin(πn/4)为例，如图1.2.1所示。其中横轴只在n为整数时才有意义，纵轴线段的长短表示各序列值的大小。图1.2.1

x(n)的图形表示

2.集合符号表示

离散时间信号是一组有序的数的集合，用集合符号{·}表示，图1.2.1示例的集合表示是：

x(n)={…，－1，－0.707，0，0.707，1，…；n=…，－2，－1，0，1，2，…}

3.公式表示

以图1.2.1为例，其公式表示为1.2.2典型离散时间信号

1.单位脉冲序列δ(n)

单位脉冲序列也称为单位采样序列，其定义是

1，n=0

0，n≠0

单位脉冲序列的特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。单位脉冲序列在离散信号与离散系统的分析与综合中有着重要的作用，其地位类似于模拟信号和系统中的单位冲激信号δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0时取值无穷大，t≠0时取值为零，对时间t的积分为1。单位脉冲序列和单位冲激信号如图1.2.2所示。(1.2.1)δ(n)=图1.2.2单位脉冲序列和单位冲激信号

2.单位阶跃序列u(n)

单位阶跃序列定义为

1，n≥0

0，n<0

其波形如图1.2.3所示。单位阶跃序列和单位脉冲序列的关系为

δ(n)=u(n)－u(n－1)(1.2.4)

(1.2.2)u(n)=(1.2.3)图1.2.3单位阶跃序列

3.矩形序列RN(n)

长度为N的矩形序列定义为

1，0≤n≤N－1

0，其它

当N=4时，矩形序列的波形如图1.2.4所示。图1.2.4矩形序列

RN(n)=(1.2.5)

4.实指数序列

实指数序列定义为

x(n)=anu(n)，a为实数 (1.2.6)

a的大小直接影响着序列变化的规律，如果0<a<1，那么x(n)的幅度随n的增大而减小，此时的x(n)称为收敛序列；如果a>1，那么x(n)的幅度随n的增大而增大，此时的x(n)称为发散序列。两种情况的波形如图1.2.5所示。图1.2.5实指数序列

5.正弦型序列

正弦型序列是包络为正弦、余弦变化的序列，其定义为

x(n)=sin(ωn+θ)

(1.2.7)

式中，ω是称为正弦型序列的数字频率；θ是初始相位。

初始相位为零的正弦序列如图1.2.6所示。正弦序列可以通过对模拟正弦信号采样得到。例如，连续正弦信号为

xa(t)=sin(Ωt)

它的采样值为图1.2.6正弦序列因为在数值上，序列值与采样信号值相等，即

，所以得到数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为

ω=ΩT

(1.2.8)

式(1.2.8)具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，所以数字频率相当于模拟域对采样频率的归一化值。例如，当f=fs/2，即Ω=2πf=π/T时，对应的数字频率ω=π。式(1.2.8)的关系很重要，以后的章节将会陆续用到。

6.周期序列

如果对所有n存在一个最小的正整数N，使得下面等式成立

x(n)=x(n+N)，－∞<n<∞

(1.2.9)

则称序列x(n)为周期序列，其中N为周期。

图1.2.7中的是一个周期序列，满足式(1.2.9)的N有7，14，21，28等，其周期是7。图1.2.7周期序列

7.复指数序列

复指数序列的定义为

x(n)=e(α+jω)n

(1.2.10)

式中ω为数字频率。

当α=0时，有

x(n)=ejωn=cos(ωn)+jsin(ωn)

(1.2.11)

其中x(n)也称为复正弦序列。

复正弦序列在数字信号处理中有着重要的应用，它不但是离散信号作傅立叶变换时的基函数，同时可作为离散系统的特征函数，在以后的讨论中，会经常用到它。1.2.3序列的基本运算

在数字信号处理中，对序列所作的基本运算包括乘法、加法、移位、翻转及尺度变换等，将这些基本运算组合起来，可使系统处理信号的能力更强。下面分别加以介绍。

1.乘法和加法

序列之间的乘法和加法，是指它们的同序号的序列值逐项对应相乘和相加，如图1.2.8所示。图1.2.8序列的加法和乘法

2.移位

设k为正整数，则x(n－k)表示序列右移(延时)，x(n+k)表示序列左移，如图1.2.9所示。在数字信号处理的硬件设备中，移位(延时)实际上是由一系列的移位寄存器来实现的。

序列x(n)在某一时刻k时的值x(k)可用δ(n)的延迟来表示，即

x(k)=x(n)δ(n－k)

显然，x(n)在n的所有时刻的值可表示为(1.2.12)图1.2.9序列的移位

3.信号时间尺度的变化

给定离散时间信号x(n)，令y(n)=x(Mn)，M为正整数，我们称y(n)是由x(n)作M倍的抽取所产生的。若x(n)的抽样频率为fs，y(n)表示序列每隔M点取一点，其抽样频率将降至原抽样频率的1/M，即为fs/M。若令y(n)=x(n/L)，L为正整数，我们称y(n)是由x(n)作L倍的插值所产生的。此时，y(n)表示在原序列两相邻点之间插入L－1个零值。抽取和插值是数字信号处理中的常用算法，我们将在第8章详细讨论。当M=2、L=2时，序列的抽取和插值如图1.2.10所示。图1.2.10序列的时间尺度变换当y(n)=x(－n)时，此运算称为“时间翻转”，即y(n)是由x(n)在时间为0的位置依纵轴作左、右翻转而得到的。图1.2.11给出了对应图1.2.9中x(n)的翻转图。图1.2.11序列的翻转

1.3离散时间系统

一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。若以T［·］表示这种运算，则一个离散时间系统可用图1.3.1表示，记为

y(n)=T［x(n)］ (1.3.1)

对变换加上种种约束条件就可以定义出各类离散时间系统，本书主要讨论线性时不变系统。图1.3.1时间离散系统1.3.1线性系统

满足线性叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别表示系统的输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即

y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］

可加性和齐次性是线性叠加原理的具体描述。

1.可加性

y1(n)+y2(n)=T［x1(n)］+T［x2(n)］=T［x1(n)+x2(n)］

2.齐次性

a1y1(n)=a1T［x1(n)］=T［a1x1(n)］

a2y2(n)=a2T［x2(n)］=T［a2x2(n)］

对于线性系统，若写成N个输入的一般表达式，则为

式(1.3.2)是线性叠加原理的一般表达式。(1.3.2)在证明一个系统是否是线性系统时，必须证明此系统同时满足可加性和齐次性，且信号包括复序列的任何序列，比例常数包括复数的任意数；而要说明系统是非线性，则只需说明它不满足两者之一即可。下面我们举例加以说明。

例1.3.1试判别y(n)=T［x(n)］=5x(n)+3是否是线性系统。

解因为

y1(n)=T［x1(n)］=5x1(n)+3

y2(n)=T［x2(n)］=5x2(n)+3

ay1(n)+by2(n)=5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)而

T［ax1(n)+bx2(n)］=5ax1(n)+5bx2(n)+3

可见

T［ax1(n)+bx2(n)］≠ay1(n)+by2(n)

故此系统不是线性系统。

y(n)=5x(n)+3是线性方程，但所表征的系统却不是线性系统，其原因在于输出中的常数项与输入无关。1.3.2时不变系统

如果系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时刻无关，则这种系统称为时不变系统。

对于时不变系统，若y(n)=T［x(n)］，则

y(n－k)=T［x(n－k)］ (1.3.3)

式(1.3.3)说明，若一个离散时间系统对x(n)的响应是y(n)，则将x(n)延迟k个单元，输出也将相应延迟k个单元，则称该系统具有移不变性。所以时不变系统又称为移不变系统。

例1.3.2试证明是时不变系统。

解因为

可见

y(n－k)=T［x(n－k)］

因此该系统是时不变系统。

例1.3.3试判别y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。

解因为

y(n－k)=(n－k)x(n－k)

所以

T［x(n－k)］=nx(n－k)

可见

y(n－k)≠T［x(n－k)］

因此该系统是时变系统。

同样可以判断前面讨论的抽取系统y(n)=x(Mn)，因为在任何输入的延迟都会有一个因子M的压缩，导致该系统不是时不变系统。1.3.3线性时不变离散系统

同时满足线性和时不变的离散系统称为线性时不变(LinearShiftInvariant，LSI)离散系统。这种系统是应用最为广泛的系统，可用其单位脉冲响应来表征，这样系统的处理过程可统一用卷积运算表示。除非特别说明，本书讨论的都是LSI系统。

单位脉冲响应是指输入为单位脉冲序列时的系统输出，一般记为h(n)，即

h(n)=T［δ(n)］ (1.3.4)由此可以确定任意输入时的系统输出，进而推出线性时不变离散时间系统一个非常重要的输入输出关系式。设系统的输入序列为x(n)，输出序列为y(n)，则从式(1.2.12)得知，任一序列x(n)可以写成δ(n)的移位加权和，即

相应地，系统的输出为由于系统是线性的，所以

又由于系统是时不变的，所以有T［δ(n－m)］=h(n－m)。因此可得下式：(1.3.5)这就是线性时不变离散系统的卷积和表达式。该式表明，线性时不变系统的输出序列等于输入序列和系统单位脉冲响应的线性卷积，用图表示如图1.3.2所示。图1.3.2线性时不变系统1.3.4线性卷积的计算

线性卷积是一种非常重要的计算，它在数字信号处理过程中起着十分重要的作用，常在已知系统的单位脉冲响应时，用它来计算相应输入序列下的输出序列。

卷积的计算过程包括折叠(翻转)、移位、相乘、相加四个步骤。

按照式(1.3.5)具体为：

(1)将x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示，并将h(m)进行翻转，形成h(－m)。

(2)将h(－m)移位n，得到h(n－m)。当n>0时，序列右移；n<0时，序列左移。

(3)将x(m)和h(n－m)相同的序列值相乘。

(4)将相乘结果再相加。

按以上步骤即可得到卷积结果。

线性卷积的计算方法有图解法、列表法和解析法，下面结合例题分别予以介绍。

例1.3.4设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。

解采用图解法。

由式(1.3.5)得按照线性卷积的四个步骤，首先分别画出长度为4的矩形序列x(m)和h(m)，如图1.3.3(a)、(b)所示；随后将h(m)翻转180°，得到h(－m)的波形(n=0)，如图1.3.3(c)所示；接着将h(－m)和x(m)对应项相乘，再相加，得到y(0)=1。将h(－m)右移1位，得到h(1－m)的波形(n=1)，如图1.3.3(d)所示；再将h(1－m)和x(m)对应项相乘，再相加，得到y(1)=2。依此类推，得到y(n)的波形，如图1.3.3(f)所示。图1.3.3例1.3.4线性卷积的图解法过程

例1.3.5设x(n)=2δ(n)+δ(n－1)－2δ(n－2)，h(n)=

δ(n)+2δ(n－1)－δ(n－2)，求y(n)=x(n)*h(n)。

解采用列表法。

如表1.3.1所示，x(m)和h(m)用第二和第三行表示。令n=0，h(n－m)=h(－m)，将h(m)以m=0为中心翻转180°，得到h(－m)，即表中的第四行；将第四行和第二行对应值相乘再相加，得到y(0)=2；将第四行右移1位，得到第五行，即h(1－m)。将第五行和第二行上下对应值相乘再相加，得到y(1)=5。下面依此类推，得到全部的y(n)。

该例题也可用图解法进行求解，请读者自己练习。表1.3.1例1.3.5列表法

例1.3.6设x(n)=anu(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。

解采用解析法。

在已知两个信号的闭式表达式时，可采用解析法直接计算卷积，即

要计算上式关键是根据求和号内的两个信号的非零区间，确定求和的上、下限。根据u(n－m)，得到n≥m才能取非零值；根据R4(m)，得到0≤m≤3才能取非零值。这样m要同时满足下面两式：

m≤n，0≤m≤3

才能取非零值。可见，m的取值范围和n有关，必须将其进行分段然后计算。

(1)n<0，y(n)=0。

(2)0≤n≤3，非零值区间为0≤m≤n，所以

(3)n≥4，非零值区间为0≤m≤3，所以写成统一的表达式为线性卷积服从交换律、结合律和分配律，下面分别介绍。

1)交换律

由于卷积与两卷积序列的次序无关，所以

y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)

(1.3.6)

也就是说，如果把单位脉冲响应改作输入，而把输入改作系统的单位脉冲响应，则输出不变。

2)结合律

卷积运算服从结合律，即

x(n)*h1(n)*h2(n)=［x(n)*h1(n)］*h2(n)=x(n)*［h1(n)*h2(n)］

(1.3.7)

也就是说，两个线性时不变系统级联后仍构成一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为两个系统单位脉冲响应的卷积和。

3)分配律

卷积运算服从分配律，即

x(n)*［h1(n)+h2(n)］=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)

(1.3.8)

也就是说，两个线性时不变系统的并联等效于一个系统，此系统的单位脉冲响应为两个系统各自单位脉冲响应之和。

线性卷积的结合律和分配律分别如图1.3.4(a)和(b)所示。图1.3.4线性卷积的结合律和分配律此外，线性卷积还具有以下两个重要性质：

(1)与δ(n)卷积的不变性：x(n)*δ(n)=x(n)，其物理意义为输入信号通过一个零相位的全通系统。

(2)与δ(n－m)卷积的移位性：x(n)*δ(n－m)=x(n－m)，其物理意义为输入信号通过一个线性相位的全通系统。1.3.5系统的因果性和稳定性

1.系统的因果性

系统的因果性是指系统物理上的可实现性。如果系统n时刻的输出只取决于n时刻及n时刻以前的输入信号，而和n时刻以后的输入信号无关，则该系统是物理可实现的，称为因果系统；如果系统n时刻的输出还和n时刻以后的输入信号有关，则该系统在时间上违背了因果关系，无法物理实现，称为非因果系统。

线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是

h(n)=0，n<0

(1.3.9)下面予以证明。

证明

(1)充分条件。

若n<0时，h(n)=0，则

所以

所以y(n0)只和m≤n0时的x(m)值有关，因此系统是因果系统。

(2)必要条件。

利用反证法来证明。已知为因果系统，如果假设n<0时h(n)≠0，则

在所设条件下，第二个∑式中至少有一项不为零，y(n)将至少和m>n时的一个x(m)值有关，这不符合因果性条件，所以假设不成立。因而n<0时，h(n)=0是必要条件。可见，式(1.3.9)是判定线性时不变系统是否是因果系统的充要判据。事实上，单位脉冲响应是系统输入为δ(n)时的系统零状态输出响应。δ(n)只有在n=0时，才取非零值1；当n<0时，δ(n)=0。因此在n<0时，系统没有非零输出，这必然是因果系统。我们一般将满足式(1.3.9)的序列称为因果序列，因果系统的单位脉冲响应必然是因果序列。理想低通滤波器、理想微分器以及理想的90°移相器等，都是非因果的不可实现的系统。但是，如果不是实时处理，或虽实时但允许有很大的延迟，则可把“将来”的输入值存储起来以备调用。那么可用具有很大延迟的因果系统去逼近非因果系统，这个概念在后续讲解有限长单位脉冲响应滤波器设计时要用到，这也是数字系统优于模拟系统的特点之一。

2.系统的稳定性

所谓系统的稳定性，是指系统对任意有界的输入都能得到有界的输出。如果系统不稳定，尽管输入很小，系统的输出会无限制地增长，使系统发生饱和、溢出。因此，设计系统输入时一定要避免系统的不稳定性。

系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和，用公式表示为(1.3.10)

证明

(1)充分条件。

利用卷积公式有

因为输入序列x(n)有界，即

|x(n)|<B，－∞<n<∞，B为任意常数可见，如果系统的单位脉冲响应h(n)满足式(1.3.10)，那么输出y(n)一定也是有界的，即

|y(n)|≤∞

(2)必要条件。

利用反证法来证明。如果系统单位脉冲响应不服从绝对可和的条件，将证明系统不稳定。假定我们可以找到一个有界的输入为

1，h(－m)≥0

－1，h(－m)<0

则

即在n=0输出无界，这不符合稳定的条件，因而假定不成立，必要条件得证。

x(m)=

例1.3.7设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。

解由于n<0时，h(0)=0，所以该系统是因果的。

只有当|a|<1时，有

因此，该系统稳定的条件是|a|<1；否则，|a|≥1时，系统不稳定。

例1.3.8试判断y(n)=T［x(n)］=x(n)cos(ωn+φ)系统的因果稳定性。

解因为y(n)只是与y(n)的当前值有关，而与x(n+1)，x(n+2)…等未来值无关，故系统是因果的。

当|x(n)|<M时，有

|T［x(n)］|=|x(n)cos(ωn+φ)|≤|x(n)||cos(ωn+φ)|<

M|cos(ωn+φ)|

由于|cos(ωn+φ)|≤1是有界的，所以y(n)也是有界的，故系统是稳定的。

1.4离散时间系统的时域描述

连续时间系统的输入输出关系常用微分方程描述，而在离散时间系统中，由于它的变量n是离散的整型变量，则用差分方程来描述。对于线性时不变系统，常用的是常系数线性差分方程，因此我们主要讨论这类差分方程及解法。

1.4.1常系数线性差分方程的一般表达式

一个N阶常系数线性差分方程，其一般形式为(1.4.1)或

式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ak和bk均为常数，y(n－k)项和x(n－k)项只有一次幂，也没有交叉项，故称为线性常系数差分方程。

差分方程的阶数等于方程中y(n－k)变量序号k的最大值与最小值之差。例如，式(1.4.2)中，变量k的最大值为N，最小值为0，故为N阶差分方程。(1.4.2)差分方程具有以下特点：

(1)采用差分方程描述系统简便、直观、易于计算机实现；

(2)容易得到系统的运算结构；

(3)便于求解系统的瞬态响应。但差分方程不能直接反映系统的频率特性和稳定性，实际上用来描述系统的多数还是采用系统函数。1.4.2常系数线性差分方程的求解

常系数差分方程的求解方法有递推法、时域经典法、卷积法和变换域法。递推法比较简单，但不能直接给出一个完整的解析式作为解答(也称做闭式解)。时域经典法类似解微分方程，过程繁琐，应用很少。卷积法适用于系统初始状态为零时(即所谓松弛系统)的求解。变换域法类似于连续时间系统的拉普拉斯变换，这里采用Z变换法来求解差分方程，这在实际使用上是最简单有效的方法。Z变换法将在第2章讨论，本章仅介绍递推法。观察式(1.4.1)，如果已知输入信号，求n时刻的输出，需要知道输入信号x(n)，以及n时刻以前的N个输出信号值：y(n－1)，y(n－2)，y(n－3)，…，y(n－N)。这N个输出信号值称为初始条件，说明解N阶方程需要N个初始条件。

式(1.4.1)是一个递推方程，如果已知输入信号和N个初始条件，可以先求出n时刻的输出，再将该式中的n用n+1代替，求出n+1时刻的输出，依此类推，求出各时刻的输出。这就是递推法解差分方程的原理。

例1.4.1已知系统的差分方程用下式描述：

y(n)=ay(n－1)+x(n)

式中，x(n)=δ(n)，初始条件y(－1)=1，用递推法求系统n≥0的输出。

解由y(n)=ay(n－1)+x(n)，可得

n=0y(0)=ay(－1)+δ(0)=1+a

n=1y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)a

n=2y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2

n=k

y(k)=(1+a)aku(k)如果已知系统的差分方程，用递推法求解系统的脉冲响应，应该设初始条件为0，输入信号为x(n)=δ(n)，此时系统的单位脉冲响应等于输出，即h(n)=y(n)。例1.4.1中，令y(－1)=0，得到h(n)=y(n)=anu(n)。

1.5模拟信号的离散化和重构

前面指出了离散时间信号与连续时间信号在一些重要理论概念上的相似性，但回避了它们之间的联系。然而离散时间信号是从连续时间信号通过等间隔采样得到的，因此，弄清采样得到的信号与原始信号有何关系是必要的。模拟信号的数字处理分为三个阶段：

(1)模拟信号数字化，换句话说，信号被采样，然后量化成有限位，这个过程称为A/D转换。

(2)采用数字信号处理的方法处理数字化的样本。

(3)用模拟重构器(D/A转换)把处理结果转换回模拟形式。1.5.1时域采样定理

将模拟信号xa(t)变成离散时间信号

有许多采样方法，其中最常用的是等间隔采样，即每隔一个固定时间T取一个信号值。T称为采样周期，T的倒数称为采样频率fs，而其对应的角频率为Ωs=2πfs。采样器一般由电子开关S组成，假设让模拟信号xa(t)通过S，S每隔时间T合上一次，合上时间为τ，则S的输出如图1.5.1(a)所示，它相当于用模拟信号对一串周期为T、宽度为τ的矩形脉冲串pτ(t)调

幅，这样，=xa(t)pτ(t)。如果让τ→0，则形成理想采样，此时上面的脉冲串用单位冲激串pδ(t)代替，输出为=xa(t)pδ(t)，其中称为理想采样信号，它是离散时间信号。xa(t)、pδ(t)和的波形如图1.5.1(b)所示。图1.5.1对模拟信号进行采样的示意图下面分析理想采样信号的频谱与模拟信号频谱的关系。

单位冲激串pδ(t)和理想采样信号的表达式分别为

pδ(t)的傅里叶级数展开式为(1.5.1)(1.5.2)(1.5.3)

其中

将式(1.5.3)代入式(1.5.2)得对上式作傅里叶变换得

式中，是采样信号的频谱；Xa(jΩ)是原信号xa(t)的频谱。(1.5.4)式(1.5.4)表明，理想采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴每隔Ωs出现一次，或者说理想采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以Ωs为周期，进行周期性延拓形成的。

假设xa(t)是带限信号，即它的频谱集中在0～Ωs之间，最高角频率为Ωc，以Ωs对它进行理想采样。理想采样以后得到的理想采样信号的频谱用表示，按式(1.5.4)，是以采样角频率为周期，将模拟信号的频谱进行周期延拓形成的。若Ωs≥2Ωc，则Xa(jΩ)、Pδ(jΩ)和的示意图如图1.5.2所示。图1.5.2采样信号的频谱一般称Ωs/2为折叠角频率，它的意义是信号的最高频率不能超过该频率，否则超过该频率的频谱部分会以Ωs/2为中心折叠回去，造成频谱混叠现象，如图1.5.3所示。值得注意的是，频谱混叠应是复量叠加(图中未考虑，仅是示意图)。

一般称式(1.5.4)中n=0时的频谱为基带谱，它和原模拟信号的频谱是一样的。此时用一个低通滤波器对理想采样信号进行低通滤波，如果该低通滤波器的传输函数如下式：(1.5.5)便可无失真地把模拟信号恢复出来，如图1.5.4所示。因此条件Ωs≥2Ωc是选择采样频率的重要依据。

可见，为使采样后能不失真地还原出原信号，采样频率必须大于信号最高频率的2倍，即fs≥2fc，这就是时域采样定理，也称为奈奎斯特采样定理，对应的最低采样频率称为奈奎斯特采样频率。工程上的采样频率一般为奈奎斯特采样频率的3～5倍。图1.5.3采样信号频谱中的频谱混叠现象图1.5.4理想采样信号的恢复1.5.2采样信号的重构

下面讨论如何从理想采样信号中重构出模拟信号xa(t)。由式(1.5.5)得理想低通滤波器的冲激响应为(1.5.6)根据卷积公式，低通滤波器的输出为(1.5.7)因为满足采样定理，所以得到

我们称式(1.5.8)为时域内插公式， 为时域内插函数。(1.5.8)由式(1.5.8)可见，当n变化时，xa(nT)是一串离散的采样值，而xa(t)是t取连续值的模拟信号，它是xa(nT)乘上对应的时域内插函数的总和。时域内插函数的波形如图1.5.5所示，其特点是在采样点nT上函数值为1，其余采样点上，函数值都为0。内插结果使得被恢复的信号在采样点的值就等于xa(nT)，采样点之间的信号则是由各采样值内插函数的波形延伸叠加而成的，这种采用内插恢复的过程如图1.5.6所示。这也正是在连续低通滤波器G(jΩ)中的响应过程。图1.5.5时域内插函数图1.5.6采样内插恢复采样内插公式表明，只要采样频率高于信号最高频率的2倍，则整个连续信号就可以完全用它的采样值代表，而不会失去任何信息。这就是奈奎斯特采样定理的物理意义。值得注意的是，这里的采样信号未经过量化，幅值大小是连续的。

1.5.3模拟信号的数字化

模拟信号的数字化是通过A/D转换器完成的，A/D转换器的原理框图如图1.5.7所示。图中模拟信号首先被等间隔采样，得到采样信号，然后对采样信号进行量化编码。设A/D转换器有b位，则A/D转换器的输出就是b位的二进制数字信号。图1.5.7

A/D转换器原理框图假设模拟信号xa(t)=sin(2πft+π/8)，式中f=50Hz，选采样频率fs=200Hz，将t=nT=n/fs代入xa(t)中，得到

当n=…，0，1，2，3，…时，得到采样序列(保持小数点后6位)为

x(n)={…，0.382683，0.923879，－0.382683，

－0.923879，…}如果A/D转换器按6位进行量化编码，即上面的采样序列均用6位二进制码表示，其中第1位表示符号，那么形成的数字信号为

如果将上面的数字信号再用十进制数表示，则

可见，量化编码后的采样序列和原序列不同，它们之间的误差称为量化误差。A/D转换器中因量化编码产生的量化误差及其量化效应的内容请参考相关文献。1.5.4数字信号的模拟化

当需要将数字信号转换成模拟信号时，首先需要将编码的数字信号转换成采样信号，然后再经过插值与平滑滤波器。具体是用D/A转换器和一个低通滤波器完成的。

D/A转换器具体完成解码和将采样序列转换成时域连续信号，其中解码是将二进制编码变成具体的信号值。

习题

1.1用单位脉冲序列及其加权和写出如题1.1图所示的序列。题1.1图

1.2给定信号

(1)画出x(n)的波形，标出各序列值；

(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；

(3)令x1(n)=2x(n－2)，画出x1(n)的波形；

(4)令x2(n)=x(2－n)，画出x2(n)的波形。

1.3判断下列序列是否是周期信号，若是周期的，则确定其周期。

(1)sin(1.2n) (2)sin(9.7πn)

(3)ej1.6πn (4)

(5) (6)

1.4对图P1.1给出的x(n)，要求：

(1)画出x(－n)的波形；

(2)计算 ，并画出xe(n)的波形；

(3)计算 ，并画出xo(n)的波形；

(4)令x1(n)=［xe(n)+xo(n)］，将x1(n)和x(n)进行比较，你能得出何结论？

1.5以下序列是系统的单位脉冲响应h(n)，试说明系统是否是因果的或是稳定的。

(1) (2)

(3)3nu(n) (4)3nu(－n)

(5)0.3nu(n) (6)0.3nu(－n－1)

(7)δ(n+4)

1.6假设系统的输入和输出之间的关系分别如下式所示，试分析系统是否是线性时不变系统。

(1)y(n)=3x(n)+8 (2)y(n)=x(n－1)+1

(3)y(n)=x(n)+0.5x(n－1) (4)y(n)=nx(n)

1.7如题1.7图所示，

(1)根据串、并联系统的原理直接写出总的系统单位脉冲响应h(n)；

(2)设

h1(n)=4×0.5n［u(n)－u(n－3)］，h2(n)=h3(n)=(n+1)u(n)

h4(n)=δ(n－1)，h5(n)=δ(n)－4δ(n－3)

试求总的系统单位脉冲响应h(n)，并推出y(n)和输入x(n