第7.4.2讲超几何分布（原卷版）新高二数学宝典（人教A版选修第三册）

第七章随机变量及其分布第7.4.2讲超几何分布班级_______姓名_______组号_______1．掌握超几何分布及其分布列，重点提升数学运算、逻辑推理核心素养．2.掌握超几何分布的均值和方差。3.应用超几何分布解决简单的问题。1、超几何分布的均值超几何分布的方差3、超几何分布的综合应用一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M＜N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝t，t＋1，…，s，这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X～H(N，n，M)．特别地，如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示.X01…k…sPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(s,M)C\o\al(n－s,N－M),C\o\al(n,N))超几何分布的均值若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X～H(N，n，M)，则E(X)＝eq\f(nM,N)服从超几何分布的随机变量的方差若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则D(X)＝eq\f(nMN－MN－n,N2N－1)＝E(X)·eq\f(N－MN－n,NN－1).题型1、超几何分布的均值1．已知随机变量，则（

）A． B． C．2 D．2．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是（）A．n B．C． D．3．学校要从5名男生和3名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量的数学期望的值是（

）A． B． C． D．14．有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的正品数的数学期望值是（

）A． B． C． D．5．某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望（

）A． B． C． D．超几何分布在求分布列均值时，先判断是不是二项分布、超几何分布．若是，则可以直接有规律地写出分布列，直接用公式求出均值，可大大减少运算量，提高解题速度．题型2、超几何分布的方差6．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．7．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝(

)A．2 B．1 C．3 D．48．口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（）A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）9．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（

）A．增加，增加 B．增加，减小C．减小，增加 D．减小，减小超几何分布模型的特征：①不放回抽样；②一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(有M个)，B(有N～M个)，任取n个，其中恰有X个A.符合以上特征即可断定随机变量服从超几何分布题型3、超几何分布的综合应用10．学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会．已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为（

）A． B． C． D．11．口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则的值为（

）A． B． C． D．12．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于的是（

）A． B． C． D．13．设随机变量则（

）A． B． C． D．14．2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（

）A． B． C． D．15．已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（

）A． B． C． D．超几何分布的求解步骤(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．(2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义．(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．一、单选题1．现从3名女生和2名男生中随机选出2名志愿者，用表示所选2名志愿者中男生的人数，则为（

）A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.22．已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则（

）A． B． C． D．13．设个产品中有个次品，任取产品个，取到的次品可能有个，则（

）A．4 B．3 C．2 D．14．一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（

）A． B． C． D．5．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（）

A． B． C． D．6．某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设为选出的人中篮球、足球都会的人数，若，则该社团的人数为（

）A．5 B．6 C．7 D．107．已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则（

）A． B． C． D．8．一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（

）A． B． C． D．9．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②X表示取出的最小号码；③X表示取出的白球个数；④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分减去4的差.这四种变量中服从超几何分布的是（）A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④10．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为（

）A． B．C． D．二、多选题11．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（）A． B．C．随机变量服从超几何分布 D．随机变量服从二项分布12．一箱儿童玩具中有3件正品，2件次品，现从中不放回地任取2件进行检测．记随机变量为检测到的正品的件数，则（

）A．服从二项分布 B．C． D．最有可能取得的为1三、填空题13．某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则.14．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用表示4人中的团员人数，则＝；＝．四、解答题15．袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为.(1)求随机变量的分布列；(2)求随机变量的数学期望和方差.16．为了解某药物在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：随机抽取100只小鼠，给服该种药物，每只小鼠给服的药物浓度相同、体积相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内药物的百分比.根据试验数据得到如下直方图：(1)求残留百分比直方图中的值；(2)估计该药物在小鼠体内残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)在体内药物残留百分比位于区间的小鼠中任取3只，设其中体内药物残留百分比位于区间的小鼠为只，求的分布列和期望.17．小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度