2024年高中数学第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质第2课时奇偶性学案新人教A版必修第一册

第2课时奇偶性课标要点核心素养1．理解奇函数、偶函数的定义．了解奇函数、偶函数图象的特征．2．驾驭推断函数奇偶性的方法．3．会依据函数奇偶性求函数值或解析式．1．借助奇（偶）函数的特征，培育直观想象素养．2．借助函数奇、偶的推断方法，培育逻辑推理素养．3．借助奇偶性与单调性的应用，提升逻辑推理、数学运算素养．1．函数奇偶性的定义（1）一般地，设函数f（x）的定义域为I，假如∀x∈I，都有-x∈I，且f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数．（2）一般地，设函数f（x）的定义域为I，假如∀x∈I，都有-x∈I，且f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数．2．奇、偶函数图象的对称性（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，假如一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2）偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，假如一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．思索辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）对于函数y=f（x），若存在x，使f（-x）=-f（x），则函数y=f（x）肯定是奇函数． （）（2）不存在既是奇函数，又是偶函数的函数． （）（3）若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数． （）（4）奇函数f（x）=1x，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在（0，+∞）上的解析式与（-∞，0）上的解析式也相同． （（5）若奇函数f（x）在（0，+∞）上有最小值a，则f（x）在（-∞，0）上有最大值-a． （）[解析]（1）×反例：f（x）=x2，存在x=0，f（-0）=-f（0）=0，但函数f（x）=x2不是奇函数．（2）×存在f（x）=0，x∈R既是奇函数，又是偶函数．（3）×函数f（x）=x2-2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数．（4）×反例函数f（x）=x-1，x>0，f（x）=x+1，x<0不同．（5）√奇函数f（x）关于原点对称，在对称区间上的最值互为相反数．[答案]（1）×（2）×（3）×（4）×（5）√函数奇偶性的推断爱好探究[思索]1．如图所示，它们分别是哪种对称的图形？2．视察函数f（x）=x和f（x）=1x的图象（如图），你能发觉两个函数图象有什么共同特征吗[答案]1．第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形，其次个和第三个图形为轴对称图形．2．两个函数图象关于原点对称．学问归纳1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数f（x）定义域内的每一个值x，都有f（-x）=-f（x）（或f（-x）=f（x）），才能说f（x）是奇函数（或偶函数）．2．函数的奇偶性是其相应图象特别对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．考向例题考向一用定义推断函数的奇偶性【例1】推断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=x3+x；（2）f（x）=x-1+（3）f（x）=36-（4）f（x）=x[解析]（1）函数的定义域为R，关于原点对称．又f（-x）=（-x）3+（-x）=-（x3+x）=-f（x），因此函数f（x）是奇函数．（2）对于f（x）=x-1+有x-1≥01-x≥0即函数的定义域为{x|x=1}，其定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数；（3）对于f（x）=36-有36-x2≥0|x+3|-3≠0，解可得：-6<即函数的定义域为{x|-6<x≤6且x≠0}，其定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数．（4）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．f（-x）=-即f（-x）=-于是有f（-x）=-f（x）．所以f（x）为奇函数．[答案]（1）奇函数（2）非奇非偶函数（3）非奇非偶函数（4）奇函数方法技巧：定义法推断函数奇偶性的步骤：（1）求函数f（x）的定义域，看定义域是否关于原点对称，不对称就是非奇非偶函数；（2）定义域对称时再求f（-x）；（3）比较f（-x）与f（x）的关系；（4）下结论：若f（-x）=f（x），f（x）为偶函数，若f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数．即时巩固推断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=x-1+（2）f（x）=1[解析]（1）使函数有意义需满意x所以该函数的定义域为{1}，因为定义域不关于原点对称，所以f（x）为非奇非偶函数．（2）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．当x>0时，-x<0，f（-x）=-12（-x）2-1=-（12x2+1）=-f（当x<0时，-x>0，f（-x）=12（-x）2+1=12x2+1=-（-12x2-1）=-f（综上可知，函数f（x）=12x考向二奇偶函数的图象【例2】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示．（1）画出函数f（x）在y轴右侧的图象，并写出函数f（x）在R上的单调递增区间；（2）写出访f（x）<0的x的取值集合．[解析]（1）图象如下：函数f（x）的单调增区间为（-1，0）和（1，+∞）；（2）由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为（-2，0）∪（0，2）．方法技巧：巧用奇、偶函数的图象求解问题（1）依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．（2）求解：依据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或知道一半图象画稀奇偶函数完整图象的问题．即时巩固如图是函数f（x）=1x2+1在区间[0，+∞）上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f（x）在定义域内的图象[解析]因为f（x）=1x所以f（x）的定义域为R．又对随意x∈R，都有f（-x）=1(-x)2+1=1所以f（x）为偶函数．所以f（x）的图象关于y轴对称，其图象如图所示．函数奇偶性的简洁应用爱好探究[思索]1．对于定义域内的随意x，若f（-x）+f（x）=0，则函数f（x）是否具有奇偶性？若f（-x）-f（x）=0呢？2．若f（x）是奇函数且在x=0处有定义，则f（0）的值可求吗？若f（x）为偶函数呢？[答案]1．由f（-x）+f（x）=0得f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数．由f（-x）-f（x）=0得f（-x）=f（x），∴f（x）为偶函数．2．若f（x）为奇函数，f（-0）=-f（0），2f（0）=0，则f（0）=0；若f（x）为偶函数，f（-0）=f（0），f（0）=f（0），无法求出f（0）的值．学问归纳利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），但要留意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为-x（另一个已知区间上的解析式中的变量），通过适当推导，求得所求区间上的解析式．考向例题考向一利用函数的奇偶性求值【例3】（1）若函数f（x）=ax2+bx+3a+b+2是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则a=，b=；

（2）已知f（x）=3x7-ax5+bx3+cx+2，若f（-3）=-3，则f（3）=．

[解析]（1）因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a-1=-2a，解得a=13又函数f（x）=13x2+bx+b+3为二次函数结合偶函数图象的特点，对称轴为x=-32b，易得b=0（2）令g（x）=3x7-ax5+bx3+cx，则g（x）是奇函数，∴f（-3）=g（-3）+2=-g（3）+2，又f（-3）=-3，∴g（3）=5．又f（3）=g（3）+2，所以f（3）=5+2=7．[答案]（1）130（2）方法技巧：利用奇偶性求参数的常见类型及策略（1）定义域含参数：奇、偶函数f（x）的定义域为[a，b]，依据定义域关于原点对称，利用a+b=0求参数．（2）解析式含参数：依据f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）列式，比较系数即可求解．即时巩固若f（x）=（x+a）（x-4）为偶函数，则实数a=．

[解析]法一：f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，f（-x）=（-x+a）（-x-4）=x2-（a-4）x-4a，两式恒相等，则a-4=0，即a=4．法二：f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a-4=0，则a=4．[答案]4考向二用奇偶性求解析式【例4】（1）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）=-x+1，求f（x）的解析式；（2）设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=1x-1，求函数f（x），g（x[解析]（1）设x<0，则-x>0，∴f（-x）=-（-x）+1=x+1，又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=x+1，∴当x<0时，f（x）=-x-1．又f（x）为奇函数，故x=0时，f（0）=0，所以f（x）=-（2）∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）．由f（x）+g（x）=1x-用-x代替x得f（-x）+g（-x）=1-∴f（x）-g（x）=1-x（①+②）÷2，得f（x）=1x（①-②）÷2，得g（x）=xx[答案]（1）f（x）=-（2）f（x）=1x2-1g（方法技巧：利用函数奇偶性求解析式的方法（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．（2）要利用已知区间的解析式进行代入．（3）利用f（x）的奇偶性写出f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），从而联立方程解出f（x）．即时巩固已知函数f（x）是奇函数，当x≤0，时，f（x）=x2-2x，那么当x>0时，f（x）的解析式是．

[解析]由题意可得：设x>0，则-x<0；∵当x≤0时，f（x）=x2-2x，∴f（-x）=x2+2x，因为函数f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），所以x>0时f（x）=-x2-2x，故答案为f（x）=-x2-2x．[答案]f（x）=-x2-2x函数单调性和奇偶性的综合问题爱好探究[思索]1．假如奇函数f（x）在区间（a，b）上单调递增，那么你能确定f（x）在（-b，-a）上的单调性吗？假如偶函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，那么你能确定f（x）在（-b，-a）上的单调性吗？2．若偶函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，那么f（3）和f（-2）的大小关系如何？若f（a）>f（b），你能得到什么结论？[答案]1．假如奇函数f（x）在区间（a，b）上单调递增，那么f（x）在（-b，-a）上单调递增；假如偶函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，那么f（x）在（-b，-a）上单调递增．2．f（-2）>f（3），若f（a）>f（b），则|a|<|b|．学问归纳（1）奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．（2）偶函数的一个重要性质：f（|x|）=f（x），它能使自变量化归到[0，+∞）上，避开分类探讨．考向例题考向一利用奇偶性比较大小【例5】函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是 （）A．f（1）<f（52）<f（7B．f（72）<f（1）<f（5C．f（72）<f（52）<f（D．f（52）<f（1）<f（7[解析]∵函数f（x+2）是偶函数，∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，∴f（52）=f（32），f（72）=f又f（x）在[0，2]上单调递增，∴f（12）<f（1）<f（32），即f（72）<f（1）<f（[答案]B即时巩固设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（-2），f（π），f（-3）的大小关系是（）A．f（π）>f（-3）>f（-2）B．f（π）>f（-2）>f（-3）C．f（π）<f（-3）<f（-2）D．f（π）<f（-2）<f（-3）[解析]由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则x∈（-∞，0）时，f（x）是减函数，故其图象的几何特征是自变量的肯定值越小，则其函数值越小，∵|-2|<|-3|<π，∴f（π）>f（-3）>f（-2），故选A．[答案]A考向二利用奇偶性解不等式【例6】已知定义在[-2，2]上的奇函数f（x）在区间[0，2]上是减函数，若f（1-m）<f（m），求实数m的取值范围．[解析]因为f（x）在区间[-2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上是减函数，所以f（x）在[-2，2]上为减函数．又f（1-m）<f（m），所以-即-1≤m≤3,-2≤m≤2,m<1故实数m的取值范围是[-1，12）即时巩固已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满意f（x+2）<f（x）的x取值范围是 （A．（2，+∞） B．（-∞，-1）C．[-2，-1）∪（2，+∞） D．（-1，2）[解析]∵函数f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x）=f（|x|），∴f（x+2）<f（|x|），∵函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴x+2<|x|，解得：x∈[-2，-1）∪（2，+∞）．[答案]C1．函数f（x）=1x，x∈（0，1）的奇偶性是 （A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数