福建省仙游县山立学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

山立学校2023-2024学年下学期高二数学期中考试卷（考试时间：120分钟总分：150分）命题人：杨晶晶审核：张春贵注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题1．已知，则（

）A．2 B．3 C．4 D．52．已知向量，，若，则（

）A． B．5 C．4 D．3．已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（）A． B． C． D．4．已知向量，若，则实数（

）A． B． C． D．5．如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（）A． B． C． D．6．已知函数，曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．7．已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则（

）A．1 B．2 C．3 D．48．函数在时有极小值0，则（

）A．4 B．6 C．11 D．4或11二、多选题9．已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（

）A．B．C．D．10．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．有两个极值点 B．的极小值为C．在上单调递减 D．函数无零点11．在一次满分为150分的数学测试中，某校共有800名学生参加，学生的成绩X服从正态分布N（110，100），其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的有（参考数据：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）≈0.9973）（）A．该校学生数学成绩的期望为110 B．该校学生数学成绩的标准差为100C．该校数学成绩达优秀线的人数超过120 D．该校数学成绩及格率超过0.98第II卷（非选择题）三、填空题12．设随机变量的方差，则的值为.13．设函数，则.14．已知，则.四、解答题15．已知函数．(1)求函数的极值；(2)求在区间上的最大值与最小值．16．如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点．(1)证明：直线直线;(2)求直线与平面所成的角的大小．17．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性.18．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，为的中点，且，，．(1)求点到平面的距离；(2)求二面角的余弦值．19．某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.参考答案：1．C【分析】先求导，再令即可得解.【详解】，所以.故选：C.2．B【分析】借助向量垂直的性质及数量积的坐标运算即可得.【详解】由，故，即有，解得.故选：B.3．D【分析】利用二项分布的概率即可得解．【详解】由已知命中的概率为，不命中的概率为，射击4次，命中两次，故概率.故选：D.4．A【分析】利用向量平行的坐标表示可得答案.【详解】，，因为，所以，解得.故选：A.5．A【分析】借助向量线性运算法则计算即可得.【详解】.故选：A.6．A【分析】根据导数的几何意义计算即可求解.【详解】由题意知，，所以，所以曲线在处的切线方程为，即.故选：A7．A【分析】根据均值的计算公式以及概率和为列式，联立求解得，，再根据求出即可.【详解】，又，所以，，所以，故选：A.8．C【分析】求导后，由已知得到，解出，再代入导数得到单调性检验，最后得出结果.【详解】，因为在时有极小值0，所以，解得或，当时，恒成立，所以在上单调递增，没有极值，舍去；当时，，令，解得或，所以当时，为单调递减函数；当或时，为单调递增函数；所以在处取得极小值，满足题意，所以，故选：C.9．AC【分析】根据平面向量的定义，平行，垂直，模长的定义可以对每一个选项进行逐一判断，进而得出答案.【详解】对于：∵，所以正确；对于：，∴，所以不垂直，所以不正确；对于：，，所以正确；对于：，，而，∴不平行于；所以不正确.故选：.10．BD【分析】由题得出，求得，令得出极值点，极值，单调区间即可得出判断．【详解】定义域为，，令，得或（舍去），当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以是的极小值点，极小值为，故B正确，A错误，C错误；，即函数无零点，故D正确；故选：BD．11．AC【分析】利用学生的成绩服从正态分布，可得数学期望与标准差可判断AB；利用，可求得该校数学成绩达优秀线的概率判断C；利用可求得该校数学成绩的及格率判断D.【详解】因为学生的成绩服从正态分布，则该校学生数学成绩的期望为，故A正确；该校学生数学成绩的标准差为，故B错误；该校数学成绩达优秀线的概率，所以该校数学成绩达优秀线的人数为，故C正确；该校数学成绩及格率为，故D错误．故选：AC.12．12【分析】根据公式求解.【详解】故答案为：1213．【分析】由复合函数的导数公式即可求得答案.【详解】因为，所以，故答案为：.14．【分析】根据空间向量夹角的余弦公式求出答案.【详解】向量，,，∴，与的夹角为.故答案为：15．(1)极大值为17，极小值为(2)最大值为，最小值为【分析】（1）计算，求出函数的单调区间，即可求出函数的极值；（2）根据函数的单调性以及极值，结合，的值，即可求出函数的最值．【详解】（1），令得，或，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，所以的极大值为，极小值为．（2）由（1）得，在和上单调递增，在上单调递减，因为，所以在区间上的最大值为；因为，所以在区间上的最小值为．16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明垂直；（2）求出平面的法向量，利用线面角的公式可求答案.【详解】（1）不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，,.,因为，所以.（2），,易知平面的一个法向量为,设直线与平面所成的角为，则，所以，即直线与平面所成的角的大小为.17．(1)(2)答案见解析【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；（2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.【详解】（1）当时，则，所以，因为，即切点为，所以切线方程为，即.（2）函数的定义域为，又，当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，则当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减；综上可得：当时在上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减.18．(1)；(2).【分析】（1）利用等体积法，，结合棱锥体积的计算公式，求解即可；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量，利用向量法即可求得结果.【详解】（1）连接，设点到平面的距离为，因为，又因为平面，所以；因为，底面是矩形，；又面，故，所以，又,，所以，故，则；所以，即，即得.（2）平面，面，故，又底面为矩形，故以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴,建系如下：则，平面一个法向量为，设平面的法向量为，，可得，即，取，可得，所以.设二面角的平面角为.，故二面角的余弦值为.19．(1)分布列答案见解析，数学期望：(2)分布列答案见解析，数学期望：(3)答案见解析【分析】（1）根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可；（2）根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；（3）根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可.【详解】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，所以的所有可能取值为，则，所以的分布列为012所以的数学期望为.（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进