2024年云南省中考数学试卷真题解读及答案详解

年数学中考真题完全解读（云南卷）在承袭2023年考向及内容核心框架的基础上，2024年云南省中考数学试卷对试卷结构进行了审慎而合理的调整。该试卷在知识覆盖面的广度、能力考查的深度以及对数学本质特征的精准把握上均展现出显著优势，全面且精准地贯彻了初中阶段数学课程标准的要求。试卷的难易度分布严格遵循了“7:2:1”的命题准则，即70%的题目为基础题型，旨在夯实学生的数学基础；20%为中档题，用于检验学生的知识运用与迁移能力；剩余10%的题目为难题，用于挑战学生的高阶思维与解题技巧。这种分布旨在确保考试的公平性与选拔性。此外，通过对最后一个压轴题设置为三问的方式，有效降低了该题型的零分率，从而更加科学地评估了学生的数学素养。在2024年的试卷中，压轴大题进行了轻微调整。二次函数题被调整至次压轴位置，作为倒数第2题，分值设定为8分（第1问3分，第2问5分）。而圆综合题则被设置为最后压轴题，分值增至12分（分别是第1问3分，第2问4分，第3问5分）。对于二次函数题，其运算并不复杂，相对较为简单，因此较易得分。而圆综合题则呈现出不同的难度层次。第1问为基础题型，考查直径所对圆周角为90°的知识点；第2问同样较常规，由题干相似关系可推导垂直并进而证明切线；第3问则较为创新，需要考生具备较强的数学思维。总体来说，这份试卷重视基础知识的考查，同时也在压轴题上进行了创新设计。因此，在今后的学习中，学生应注重基础训练，打下扎实的基本功。同时，为了脱颖而出，还应注重思维训练，提升自己的数学素养，以应对各种题型，实现稳中求胜。与2023年相比，2024年云南省中考数学试卷在题型上做出了以下调整：1、选择题：由原先的12题增加至15题，每题分值由3分降至2分，总分由36分变为了30分。这一变化使得选择题部分更加注重对学生基础知识的全面考察，同时也降低了每题的难度，使学生更加从容应对。2、填空题：保持4题不变，每题2分，共8分。填空题部分继续维持对基础知识的直接考察，题型和分值均未发生变化。3、解答题：与2023年相比，解答题依然是8个题，但总分由56分为62分，但是最后一个解答题变为3问，变为12分，具体见下表题位2024年题号2024年分值2023年题号2023年分值解答1207176解答2216186解答3227194/3解答423320433解答524421443解答625422443解答726323355解答8273243455/其中最后一题（第27题）由原先的两问增加至三问，总分为12分。这一变化使得解答题部分在难度和区分度上都有所提升，既考察了学生对基础知识的应用能力，也检验了学生的数学思维和解题技巧。基础不错的学生，区分度在最后两个解答题上，需要重点突破最后两个解答题，90分往上能走多高，取决于最后两个解答题。题号分值题型知识点难度12选择题正数和负数;中22选择题科学记数法-绝对值较大的数;中32选择题幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的除法;中42选择题二次根式有意义的条件;易52选择题由三视图判断几何体;易62选择题多边形内角与外角;易72选择题算术平均数;方差;中82选择题等腰三角形的性质;易92选择题由实际问题抽象出一元二次方程;易102选择题数式规律问题;单项式;中112选择题轴对称图形;易122选择题锐角三角函数的定义;易132选择题圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系;易142选择题提公因式法与公式法的综合运用;易152选择题圆锥的计算;易162填空题根的判别式;中172填空题反比例函数图象上点的坐标特征;中182填空题相似三角形的判定与性质;中192填空题可能性的大小;用样本估计总体;易207解答题特殊角的三角函数值;零指数幂;实数的运算;负整数指数幂;中216解答题全等三角形的判定;易227解答题分式方程的应用;易236解答题用列举法求概率(列表法与树状图法);易248解答题矩形的性质;平行四边形的判定与性质;菱形的判定与性质;中点四边形;中258解答题一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式组的应用;中268解答题二次函数与一元二次方程;二次函数的性质;中2712解答题圆的综合;难强化基础知识系统复习：针对数学考试的基础知识点，进行系统的复习和巩固。确保对基本概念、定理、公式等有清晰的理解和准确的掌握。重点突破：在复习过程中，对常考和易错的知识点进行重点突破，通过大量练习加深理解和记忆。及时查漏补缺：在复习过程中，不断检查自己的知识漏洞，并及时进行弥补，确保知识点的完整性和连贯性。注重数学思维训练多角度思考：在解题过程中，尝试从多个角度思考问题，寻找不同的解题方法和思路。逻辑思维训练：加强逻辑思维的训练，提高分析问题和解决问题的能力。难题挑战：针对压轴题等难题，进行有针对性的挑战和训练，提高应对难题的能力和技巧。熟悉题型与解题技巧分析试卷结构：对考试试卷的结构进行仔细分析，了解各题型的考察方式和特点。针对性练习：针对选择题、填空题、解答题等不同类型的题目，进行有针对性的练习和总结。掌握解题技巧：在练习过程中，不断总结解题技巧和方法，提高解题速度和正确率。保持心态平和调整心态：在备考过程中，保持积极的心态，避免过度紧张和焦虑。可以通过适当的运动、休息和娱乐来调整心态。增强自信：相信自己的能力和潜力，通过不断的努力和练习，提高自己的数学水平。模拟考试：进行模拟考试，熟悉考试环境和流程，增强应对考试的能力和经验。备考策略与建议制定学习计划：根据考试时间和自身情况，制定合理的学习计划，并坚持执行。及时总结反思：在备考过程中，不断总结经验和教训，及时调整学习方法和策略。多交流讨论：与同学、老师或网上资源多交流讨论，分享学习心得和解题技巧。保持健康作息：合理安排作息时间，保证充足的睡眠和饮食，保持良好的身体状态。2024年云南卷数学试题一、单选题1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义即可求解，理解正负数的意义是解题的关键．【详解】解：若向北运动米记作米，则向南运动米可记作米，故选：．2．某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有57800人，57800用科学记数法可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【详解】解：，故选：A．3．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答的关键．利用合并同类项法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则进行运算，并逐项判断即可．【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意；B、，选项计算错误，不符合题意；C、，选项计算错误，不符合题意；D、，选项计算正确，符合题意；故选：D．4．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，∴的取值范围是．故选：B5．某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（

）A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体【答案】D【分析】本题考查了几何体的三视图，熟悉各类几何体的三视图是解决本题的关键．根据长方体三视图的特点确定结果．【详解】解：根据三视图的特点：几何体的三视图都是长方形，确定该几何体为长方体．故选：D．6．一个七边形的内角和等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查多边形的内角和，根据边形的内角和为求解，即可解题．【详解】解：一个七边形的内角和等于，故选：B．7．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示：甲乙丙丁9.99.58.28.50.090.650.162.85根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】本题考查根据平均数和方差作决策，重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可．【详解】解：由表中数据可知，射击成绩的平均数最大的是甲，射击成绩方差最小的也是甲，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲，故选：A．8．已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（

）A． B．2 C．3 D．【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解．【详解】解：如图，∵是等腰底边上的高，∴平分，∴点F到直线，的距离相等，∵点到直线的距离为3，∴点到直线的距离为3．故选：C．9．两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程．【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意可得，故选：B．10．按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键．【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：，，，，，，∴第个代数式是，故选：．11．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（

）A．爱 B．国 C．敬 D．业【答案】D【分析】本题主要考查轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，）进行逐一判断即可．【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；B、图形不是轴对称图形，不符合题意；C、图形不是轴对称图形，不符合题意；D、图形是轴对称图形，符合题意；故选：D．12．在中，，已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义求解即可．【详解】解：∵，，∴=，故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的求法，解题关键是理解三角函数的意义，明确是直角三角形中哪两条边的比．13．如图，是的直径，点、在上．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键．【详解】解：连接，∵，∴，∴，故选：．14．分解因式：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．将先提取公因式，再运用平方差公式分解即可．【详解】解：，故选：A．15．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（

）A．平方厘米 B．平方厘米C．平方厘米 D．平方厘米【答案】C【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键．【详解】解：圆锥的底面圆周长为厘米，∴圆锥的侧面积为平方厘米，故选：．二、填空题16．若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是．【答案】/【分析】利用判别式的意义得到Δ=（-2）2-4c＜0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得Δ=（-2）2-4c＜0，解得c＞1．故答案为：c＞1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．17．已知点在反比例函数的图象上，则．【答案】【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题．【详解】解：点在反比例函数的图象上，，故答案为：．18．如图，与交于点，且．若，则．

【答案】/0.5【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题．【详解】解：，，，故答案为：．19．某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图：注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目．若该校共有学生人，则该校喜欢跳绳的学生大约有人．【答案】【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用乘以即可求解，看懂统计图是解题的关键．【详解】解：该校喜欢跳绳的学生大约有人，故答案为：．三、解答题20．计算：．【答案】【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值化简是解题的关键．根据相关运算法则分别进行计算，再进行加减运算，即可解题．【详解】解：，，．21．如图，在和中，，，．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题．【详解】证明：，，即，在和中，，．22．某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．【答案】型车的平均速度为【分析】本题考查分式方程的应用，设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据“乘坐型车比乘坐型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．【详解】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据题意可得，，整理得，，解得，经检验是该方程的解，答：型车的平均速度为．23．为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆、植物园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆、植物园、科技馆三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆为，选择植物园为，选择科技馆为，记七年级年级组的选择为，八年级年级组的选择为．(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；(2)求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查利用列表法或画树状图求概率，解题的关键在于根据题意列表或画树状图．（1）根据题意列出表格（或画出树状图）即可解题；（2）根据概率所求情况数与总情况数之比．由表格（或树状图），得到共有6个等可能的结果，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有种，再由概率公式求解即可．【详解】（1）解：由题意可列表如下：由表格可知，所有可能出现的结果总数为以上种；（2）解：由表格可知，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有种，（七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同）．24．如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形．(1)求证：四边形是菱形；(2)若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，，证明四边形是平行四边形，再利用三角形中位线定理得到，，利用矩形的性质得到，即可证明四边形是菱形；（2）利用三角形中位线定理和菱形性质得到，利用lx面积公式得到，再利用完全平方公式结合勾股定理进行变形求解即可得到．【详解】（1）解：连接，，，，四边形是平行四边形，四边形中，点、、、分别是各边的中点，，，四边形是矩形，，，四边形是菱形；（2）解：四边形中，点、、、分别是各边的中点，，，矩形的周长为22，，四边形是菱形，即，四边形的面积为10，，即，，，．【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，矩形的性质和判定，三角形中位线定理，菱形的性质和判定，菱形面积公式，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握相关性质是解题的关键．25．、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表：成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）型号35a型号42若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元．(1)求、的值；(2)若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值．注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键．（1）根据“购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元”建立二元一次方程组求解，即可解题；（2）根据“且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．”建立不等式求解，得到，再根据总利润种型号吉祥物利润种型号吉祥物利润建立关系式，最后根据一次函数的性质即可得到的最大值．【详解】（1）解：由题知，，解