浙江省2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛初赛试题 含解析

2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1．设集合，集合。若，则实数的取值范围为______．2．设函数满足，则这样的函数有______个．3．函数的最大值与最小值之积为______．4．已知数列满足：，，，则通项______．5．已知四面体的外接球半径为1，，，则球心到平面的距离为______．6．已知复数满足，则______．7．已知平面上单位向量垂直，为任意单位向量，且存在，使得向量与向量垂直，则的最小值为______．8．若对所有大于2024的正整数，成立，则______．9．设实数，且或，则的最小值为______．10．在平面直角坐标系上，椭圆的方程为，为的左焦点；圆的方程为，为的圆心。直线与椭圆和圆相切于同一点。则当最大时，实数______．11．设为正整数，且，则______．12．设整数，从编号的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号。若1，2均出现或3，4均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为______．二、解答题（13题满分14分，14、15题满分各20分，合计54）13．正实数满足；实数满足，，定义函数，试问，当满足什么条件时，存在使得定义在上的函数恰在两点处达到最小值？14．设集合，集合的个499元子集满足：对中任一二元子集，均存在，使得。求的最小值。15．设，均为整系数多项式，且。若对无穷多个素数，存在有理根，证明：必存在有理根。

2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题参考答案和评分标准本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1．答案解集合，要使，则，解得。2．答案：10解令，则。对以下三种情况都满足条件；；，共3种。同理对，有3种情况；，也有3种情况。又，，显然满足条件。所以满足已知条件的函数共有个。（可以看出这种映射的限制仅在值域上，因此也可对值域大小分类讨论。）3．答案：解令，，原式变形，当时，。当时，。所以的最大、最小值分别为，其积为。4．答案：解将已知条件变形得，将上式从1到叠加得到，即。5．答案：解因为球心在平面上的投影就是的外心，由已知求得的外接圆半径为，所以球心到平面的距离为。6．答案：解由已知得，解得。显然这两个解满足题设条件。7．答案：解令，，，，于是，。由向量与向量垂直，得到。，当，时，取到最小值。注：本题由向量的几何意义也直接得到答案。8．答案：解因为，，，设，为正整数，那么，以及得到为正整数。所以，。9．答案：解令，则，，。当时，，即。当时，，即。当，，时。所以的最小值为。10．答案：解因为在椭圆上，所以直线的方程为，即。由圆的性质可知，直线与直线垂直，所以圆心坐标满足，即圆心坐标轨迹方程为，记此直线为。要使最大，则过定点和定点所作的圆与直线相切于。设直线与轴相交于点。由切割线定理可知，，即有将代入上式解得（不合，舍去）或于是解得，11．答案：9解：，解得。（以上用到了，．）12．答案：解记为初始状态，含之一；含之一；含之一；含之一。记为从开始到达或所需要得次数，其中为之一。由定义，并得到以下递推关系，，，解得：，，．二、解答题（13题满分14分，14、15题满分各20分，合计54）13．解对的取值分类讨论。（1）当时，此时，最小值点有无穷多个，不合，舍去。（2）当时，此时，最小值点有无穷多个，不合，舍去。（3）当时，此时，最小值点唯一或无穷多个，不合，舍去。（4）当时，此时，最小值点唯一或无穷多个，不合，舍去。（以上四类7分）（5）当时（指出该情况10分）此时，恰有两个最大值点的充要条件为解得。14．证明：。首先易用抽屉原理证明，每个元素均在中至少出现3次，所以。下面进行构造：令，其余元素平均分成四个子集。取所以的最小值为6。15．证明记的有理根为，。由，得到，所以有界。若子列，则必有。下证可为有理数。设，；，，，由得到。记，为整数。（1）若