华东师大版九年级上册第21章《二次根式》全章课件(共99张课件)

1.二次根式华东师大版九年级上学期第21章《二次根式》学而不疑则怠，疑而不探则空⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？

正数的正的平方根叫做它的算术平方根。⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？

一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根。0的算术平方根平方根是0.温故知新a的平方根是±a用(a≥0)表示。a正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是0；负数没有平方根。(3)平方根的性质：1、16的平方根是什么?算术平方根是什么？2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。思考：50米a米

塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为__________米。?米塔座a2+2500新课导入S圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为_____.球体Sπ新课导入

如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是b-3表示一些正数的算术平方根．你认为所得的各代数式有哪些共同特点？b-3新课导入a2+2500Sπb-3

归纳：a2+2500Sπb-3形如(a≥0)的式子叫二次根式。aa叫被开方数.请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式的认识！1、表示a的算术平方根；形如(a≥0)的式子叫二次根式。a理解：2、a可以是数,也可以是式；3、形式上含有二次根号；4、双重非负性：a≥0，

≥0；a5、既可表示开方运算,也可表示运算的结果.1、下列各式是二次根式吗?

巩固认识(1)32(2)-12(3)16(4)-m(m≤0)(5)xy(x、y异号)(6)a2+1

(7)35在实数范围内,负数没有平方根．(8)a2+2a+2

(9)(m-3)22、求下列二次根式中字母的取值范围：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。(1)a+1(3)(a-3)211-2a(4)(2)-2x1x2(5)33、若=0，则=

。

a-2+

2b-7

a+2b4、已知a、b为实数,且满足a=+1则a+b的值为

。1-2b

+

2b-15、2+的最小值为

，此时x的值为

。

3-x6、已知与互为相反数，则a=

，b=

。

a-b+6

a+b-8=2新知探究二(

2)2(

4)2=4(

17)2=1713(

)213=(

0)2=0

2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，

2是一个平方等于2的非负数，因此：(

2)2=2即：一个非负数的算数平方根的平方等于非负数本身。一般地，二次根式有如下性质：归纳：（1）

≥0(a≥0)；a（2）(

a)2=a(a≥0).（2）对于理解：（1）

(a≥0)a表示非负数a的算术平方根.也就是说，(a≥0)a是一个非负数，它的平方等于a；(

a)2=a(a≥0)利用这一公式可计算，如：(

3

2)2=32×(

2)2=9×2=18如果把该公式反过来就是：a=(

a)2

其意义是：可以把任意非负数写成平方的形式。如：2=(

2)2a-b=(

a-b)2(a≥b)1、你能把下列各数写成某个数的平方或平方的相反数吗？(1)3

(2)0.5(3)-5(4)a-b

例题解析：解：(1)3=(

3)2(2)0.5=(

0.5)2(3)-5=-(

5)225，16呢？(4)a-b=(

a-b)2(a≥b)-(

b-a)2(a≤b)例题解析：2、计算：(1)(2)(

8

5)227(-7

)2解：(1)(

8

5)2=82×(

5)2=64×5=32027(-7

)2(2)27×(

)2=(-7)2=49×27=14评析：本题直接应用二次根式的性质求解。当底数是积时，先用积的乘方法则计算，再运用二次根式的性质。(

a)2=a(a≥0)新知探究三

22=2

0.12=0.123(-

)2=23

02=0一般地，根据算术平方根的意义，得

a2=|

a

|即：一个任意数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。比较和1、从运算顺序来看：先开方,后平方；

a2(

a

)2

(

a

)2

a2先平方,后开方。2、从取值范围来看：(

a

)2中，a≥0；

a2中，

a取任何实数。3、从运算结果来看：(

a)2=a(a≥0)

a2=|

a

|=

a(a≥0)

-a(a＜0)解：(1)∵a≥1，∴a-1≥0，例题解析：计算：(1)(2)(a-1)2(a≥1)(3.14-π)2

∴(a-1)2=|a-1

|=a-1.

(2)∵3.14＜π，∴3.14-π＜0，∴(3.14-π)2=|3.14-π

|=π-3.14.

评析：在计算时，为确保计算的正确性，计算形如的二次根式时,先要写成的形式,再看底数a的符号，防止出现当a<0时，这样的错误。

a2

a2=|a|

a2=a

1、化简下列各式:巩固认识(

3

2)2+(1)(

2

3)2(2)(-5)2+(

5)2(3)m2-16m+64(m＜8)(4)a2b2(a＜0,b＜0)2、实数p在数轴上的位置如图所示，化简：

(1-p)2+(

2-

p

)2-101p23、已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：

(a-b-c)2+(b-a+c)2

1.二次根式的概念2．二次根式的基本性质3.二次根式的重要性质知识小结形如(a≥0)的式子叫二次根式.a(1)

≥0(a≥0)；a

a2=|a|=

a(a≥0)

-a(a＜0)(

a)2=a4.注意和的区别与联系.

a2=a(2)(

a)2=a(a≥0).

5.注意灵活应用二次根式的性质.课后练习1、计算：(1)(

8)2+(

-

3)2(2)-(

-

10)2-(

-

33)2(3)(

25)225-

(-

5

)2(4)(

xxy)2-

·(-y)2

x6

2、若1＜x＜4，化简代数式：(x-4)2+(x-1)2

3、设a、b、c为△ABC的三边，化简：(a+b+c)2+(a-b-c)2+(c-b+a)2

华东师大版九年级上学期第21章《二次根式》学而不疑则怠，疑而不探则空2.1二次根式的乘除法

知识回顾1、二次根式(a≥0)是非负数，

.当a≥0时，=

；当a＜0时，=

.aa-a2、单项式与单项式相乘，将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。知识应用1、已知a＜0＜b，且∣a∣＞∣b∣，那么的化简结果为

.2、计算：(1)3x2·(-2xy2)=

；

(2)(5×103)·(-3×102)=

.0-6x3y2-1.5×106探索11、认真观察：2、模仿计算：4728282865303030121212123、根据上面的结果，直接用“＞、＜或＝”填空：======4、归纳：=当a≥0，b≥0时，即二次根式的乘法法则为：两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。5、应用：4利用法则直接写出结果：-15-606、拓展：二次根式的乘法公式法则可以推广到多个二次根式相乘的运算.如：计算6×15×1030探索2将反过来，就得到积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.积的算术平方根的应用化简二次根式如：模仿上面的方法，化简：9292拓展应用(2)将根号外的因式移到根号内：拓展应用※拓展应用比一比，看谁更快！一、计算：二、化简：(2)3、已知a、b为正实数，下列等式中，一定成立的是()B4、下面的解题方法、过程对吗？5、比较下列各组数的大小：而20＜27，＜小结

本节课要掌握：(a≥0,b≥0)(a≥0,b≥0)对于二次根式的乘法及积的算术平方根的化简要灵活运用课后练习认真完成导学案的“课后练习题案”.华东师大版九年级上学期第21章《二次根式》学而不疑则怠，疑而不探则空2.2二次根式的乘除法

温故知新1、二次根式的乘法法则:两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。用字母表示为：

推广到多个二次根式相乘：

2、积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.

用字母表示为：计算化简：12知识应用1、观察：2、模仿：探索一3、根据上面的结果，直接用“＞、＜或＝”填空：======4、归纳：当a≥0，b＞0时，即二次根式的除法法则为：两个二次根式相除，将它们的被开方数相除，再取商的算术平方根。5、应用：1.利用法则直接写出结果：2.计算并化简结果：注意：此处可不用括号商的算术平方根，等于被除数和除数的算术平方根的商.将(a≥0，b＞0)反过来，得：(a≥0，b＞0)探索二商的算术平方根的应用：化简二次根式如：模仿上面的方法，化简：解：拓展应用比一比，看谁更快！计算化简：知识拓展

学了本节知识后，小莉对小明提出了一个问题：“你能运用二次根式的除法法则比较下面两个式子的大小吗？”同学们，你能帮小明解决这个问题吗？看看谁的方法更好、更多！知识拓展

学了本节知识后，小莉对小明提出了一个问题：“你能运用二次根式的除法法则比较下面两个式子的大小吗？”方法一：规律法方法二：求差法方法三：运用乘法法则方法四：乘方法

本节课要掌握：(a≥0,b＞0)(a≥0,b＞0)对于二次根式的除法及商的算术平方根的化简要灵活运用1、2、知识小结课后作业一、填空题：1、分母有理化：2、已知三角形的面积为cm2，一边长为cm，则该边上的高是_____cm．二、计算化简：(m＞0,n＞0)(a＞0)三、解答题：1、先化简下面的式子：，然后选择一个合适的x值，代入化简后的式子求值。2、站在海拔高度h米的地方，看见的水平距离是d米，它们之间近似地符合公式.某一登山者从海拔n米登上海拔2n米的山顶，那么他看到的水平距离是原来的多少倍？华东师大版九年级上学期第21章《二次根式》学而不疑则怠，疑而不探则空2.3二次根式的乘除法.1、当a≥0，b≥0时，；反之，2、当a≥0，b＞0时，；反之，3、二次根式的乘除法及积(商)的算术平方根在具体问题中灵活使用，结果要化简.4、把分母中含有的根号去掉的过程叫分母有理化.通过分母有理化，可化简二次根式。温故知新一、下面的计算正确吗？若不正确请改正：知识应用(a＜0,b＜0)解：都错误，正确的应为：(2)∵a＜0,b＜0,二、计算化简：解：二、计算化简：解：1、计算：2、观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.探索3、归纳：同时满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式：(1)被开方数不含分母(即被开方数中因数是整数，因式是整式)；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式(即被开方数的因数或因式的幂的指数都小于2)下列各式中是最简二次根式的是()D及时反馈下列各式中是最简二次根式的是()D≠切记及时反馈应用：1、把下面的二次根式化为最简二次根式：解：2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．BCA解：由题意得拓展：解：解：解：小结

本节课要掌握：2、利用分母有理化对含分母的二次根式进行化简.1、最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.课后作业1、化简：(x＞0)2、已知a为实数，化简阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：解：3、已知一个矩形的长为，宽为，与它面积相等的圆的半径为多少？4、利用分母有理化巧算：华东师大版九年级上学期第21章《二次根式》学而不疑则怠，疑而不探则空3.二次根式的加减法

1、最简二次根式的被开方数要满足两个条件：(1)不含分母；(2)不含能开得尽方的因数或因式。2、同类项：含有相同的字母，并且相同字母的指数分别相同的项叫同类项。3、合并同类项：将同类项的系数相加减，未知字母及指数不变。(整式的加减法即合并同类项)知识回顾联想整式加减运算中的合并同类项，结合二次根式的相关知识，计算：(4)解：探索新知一(1)二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．(3)合并同类二次根式：将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变.(2)被开方数相同的最简二次根式叫同类二次根式.二次根式的加减即为合并同类二次根式。知识归纳：将“最简”去掉可以吗？及时应用：1、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求的值.拓展应用：2、拓展应