2024陕西中考数学考前15天-11天终极冲刺攻略专项训练（含答案）

目录contents（二）平面直角坐标系与函数命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题01一次函数命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题49反比例函数命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题102二次函数命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题156函数综合命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题227平面直角坐标系平面直角坐标系是初中数学中非常基础且重要的概念，尤其在中考数学中，关于平面直角坐标系的命题通常会涉及以下几个方面：点坐标的基本性质、函数与坐标系的结合、与几何图形的结合、实际应用问题等。针对这些可能的命题方向，给出以下建议：熟练掌握基本概念、理解函数与坐标系的关系、掌握几何图形的性质、提高解题能力等。在中考数学中，关于函数的基本知识的命题预测通常会涵盖以下几个方面：函数定义和性质、函数图像、函数的应用等。针对这些可能的命题方向，给出以下建议：熟练掌握函数的基本概念和性质、学会绘制函数图像、注重函数的应用。Ⅰ、平面上确定物体位置的方法1. 行列定位法：用行数和列数表示物体的位置. 将平面分成若干行和若干列，然后利用平面上点所在的行数和列数表示平面上点的位置.2. 经纬定位法：只要知道一点的纬度和经度，就可以确定这点在地球仪上的位置.3. 方位角和距离定位法：用方向和距离确定平面上点的位置时，先要选择参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示.PS：用方位角和距离确定物体的位置时，一般方向在前，距离在后，且方向和距离都要有，两者缺一不可.4. 区域定位法：一般先将平面划分成横纵区域，然后用横纵区域的编号表示物体的位置，区域定位法一般用大写英文字母或阿拉伯数字来确定位置，其优点是简单、明了，缺点是不够精准.5. 方格定位法：一般地，在方格纸上，一点所在的位置由横向格数和纵向各数确定，可以记作（横向格数，纵向格数）或（水平距离，纵向距离）.Ⅱ、平面直角坐标系一、平面直角坐标系1. 平面直角坐标系平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同.2. 点的坐标（1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示：（2）确定点的坐标的方法：①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标；②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标.③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来.（3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的.（4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.（5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.二、象限的划分与点的坐标特征1. 象限的划分：两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为一、二、三、四象限，各象限内点的坐标、符号特征为第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－），如图所示：2. 点的坐标特征点在坐标平面内的位置不同，点的坐标特征也就不同，具体如下：点M（x，y）所处的位置坐标特征象限内的点点M在第一象限M（正，正）点M在第二象限M（负，正）点M在第三象限M（负，负）点M在第四象限M（正，负）坐标轴上的点点M在x轴上在x轴正半轴上M（正，0）在x轴负半轴上M（负，0）点M在y轴上在y轴正半轴上M（0，正）在y轴负半轴上M（0，负）原点M（0，）象限角平分线上的点点M在第一、三象限角平分线上M（x，y）且x＝y点M在第二、四象限角平分线上M（x，y）且x＝－y两点连线与坐标轴平行MN∥x轴/MN⊥y轴M、N两点纵坐标相等MN∥y轴/MN⊥x轴M、N两点横坐标相等PS：原点既在x轴上，又在y轴上.三、图形变换与点的坐标变化1. 对称点的坐标特征（1）关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于x轴对称的点是（a，－b）；（2）关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即点P（a，b）关于y轴对称的点是（－a，b）；（3）关于坐标原点对称：横、纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于原点对称的点是（－a，－b）.2. 图形的变化与坐标特征对于图形上任意一点A（a，b）图形变化对应图形点A变化后的对应坐标变化后点的坐标特征平移变换（k＞0）向上平移k个单位长度A1（a，b＋k）横坐标不变，纵坐标加k向上平移k个单位长度A2（a，b＋k）横坐标不变，纵坐标减k向上平移k个单位长度A3（a，b＋k）纵坐标不变，横坐标加k向上平移k个单位长度A4（a，b＋k）纵坐标不变，横坐标减k对称变换关于x轴对称A5（a，b＋k）横坐标不变，纵坐标与原坐标互为相反数关于y轴对称A6（a，b＋k）纵坐标不变，横坐标与原坐标互为相反数PS：当图形的平移方向与坐标轴不平行时，可以把这种平移分解为沿两坐标轴平行方向的两次平移.Ⅲ、函数一、变量与常量1. 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.2. 判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量.3. 常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示.二、函数的概念1. 函数：一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.2. 确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量是该变量的函数.3. 函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应.4. 函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y的函数.三、函数的三种常见表示方法表示法定义优点缺点列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律解析法两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来图像法用图像来表示函数关系的方法叫做图像法能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.四、函数的图像 在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像.知识点五、函数的自变量与函数值1. 自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.2. 常见函数自变量取值范围的确定：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.3. 函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值.（1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值.（2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.1．（2023•台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（）A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）【分析】直接利用“車”位于点（﹣2，2），得出原点的位置，进而得出答案．【解答】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）．故选：A．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．2．（2023•滨州）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（）A． B． C． D．【分析】根据化学知识和函数图象的知识，分析几个选项即可．【解答】解：根据题意：将给定的NaOH溶液加水稀释，那么开始pH＞7，随着慢慢加水，溶液碱性越来越弱，pH值逐渐减小．故选：B．【点评】本题属于数学与化学知识相结合的题型，难度不大，认真分析图形即可．3．（2023•南通）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（）A．54 B．52 C．50 D．48【分析】根据勾股定理求出AB＝25，再分别求出0≤x≤15和15＜x≤35时的PD，AD的长，再用三角形的面积公式写出y与x的函数解析式即可．【解答】解∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，∴ABQUOTE25，①当0≤x≤15时，点P在AC边上，如图所示，此时AD＝x，∵ED⊥AB，∴∠DEA＝90°＝∠C，∵∠CAB＝∠EAD，∴△CAB∽△EAD，∴QUOTE，∴AEQUOTE，DEQUOTE，BE＝25QUOTE，∴yQUOTEBE•DEQUOTE（25QUOTE）QUOTE10xQUOTE，当x＝10时，y＝76，∴a＝76，②当15＜x≤35时，点D在BC边上，如图所示，此时BD＝35﹣x，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠C，∵∠DBE＝∠ABC，∴△DBE∽△ABC，∴QUOTE，∴BEQUOTE28QUOTE，DEQUOTE21QUOTE，∴yQUOTEDE•BEQUOTE（28QUOTE）×（21QUOTE）＝（14QUOTE）（21QUOTE），当x＝25时，y＝24，∴b＝24，∴a﹣b＝76﹣24＝52，故选：B．【点评】本题考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握．4．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3QUOTE，点C为平面内一动点，BCQUOTE，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（）A．（QUOTE，QUOTE） B．（QUOTE，QUOTE） C．（QUOTE，QUOTE） D．（QUOTE，QUOTE）【分析】由题意可得点C在以点B为圆心，QUOTE为半径的⊙B上，在x轴的负半轴上取点D（QUOTE，0），连接BD，分别过C和M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，先证△OAM∽△DAC，得QUOTE，从而当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，然后分别证△BDO∽△CDF，△AEM∽△AFC，利用相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵点C为平面内一动点，BDQUOTE，∴点C在以点B为圆心，QUOTE为半径的⊙B上，在x轴的负半轴上取点D（QUOTE，0），连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，∵OA＝OBQUOTE，∴AD＝OD+OAQUOTE，∴QUOTE，∵CM：MA＝1：2，∴QUOTE，∵∠OAM＝∠DAC，∴△OAM∽△DAC，∴QUOTE，∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，∵OA＝OBQUOTE，ODQUOTE，∴BDQUOTE，∴CD＝BC+BD＝9，∵QUOTE，∴OM＝6，∵y轴⊥x轴，CF⊥OA，∴∠DOB＝∠DFC＝90°，∵∠BDO＝∠CDF，∴△BDO∽△CDF，∴QUOTE，即QUOTE，解得CFQUOTE，同理可得，△AEM∽△AFC，∴QUOTE，即QUOTE，解得MEQUOTE，∴OEQUOTE，∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是（QUOTE，QUOTE），故选D．【点评】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．5．（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为QUOTE，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6 B．3 C．QUOTE D．QUOTE【分析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB＝PC，AOQUOTE，易知∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为QUOTE，可知AO＝OBQUOTE，过点O作OD⊥AB，解直角三角形可得AD＝AO•cos30°，进而得出等边三角形ABC的边长．【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，\结合图象可知，当点P在AO上运动时，QUOTE，∴PB＝PC，QUOTE，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为QUOTE，∴OBQUOTE，即AO＝OBQUOTE，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，过点O作OD⊥AB，垂足为D，∴AD＝BD，则AD＝AO•cos30°＝3，∴AB＝AD+BD＝6，即等边三角形ABC的边长为6．故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．6．（2023•泰安）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是．【分析】根据正三角形的性质以及三角形的排列规律可得点A1横坐标为1，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…因此点A2023横坐标为2023，再根据这些正三角形的排列规律得出点A2023在第一象限，求出点A2023的纵坐标为QUOTE，得出答案．【解答】解：如图，过点A1，A4，A7，A10，A13，……A2023分别作x轴的垂线，∵△A1A2O是边长为2正三角形，∴OB＝BA2＝1，A1BQUOTE，∴点A1横坐标为1，由题意可得，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…因此点A2023横坐标为2023，∵2023÷3＝674……1，而674是偶数，∴点A2023在第一象限，∴点A2023的纵坐标为QUOTE，即点A2023（2023，QUOTE），故答案为：（2023，QUOTE）．【点评】本题考查正三角形的性质以及点的坐标的规律性，掌握正三角形的性质和点的坐标的变化规律是解决问题的关键．7．（2023•烟台）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为．【分析】过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ＝12时，点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，勾股定理求得AQ．然后等面积法即可求解．【解答】解：如图过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ＝12时，点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，∴BC＝7，BQ＝4，QC＝3，在Rt△ABQ中，AB＝8，BQ＝4，∴AQQUOTE，∵S△ABCQUOTEAB×CGQUOTEAQ×BC，∴CGQUOTE．故答案为：QUOTE．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．8．（2023•大连）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，直线AB与直线y＝x相交于点C，点P是线段OA上一个动点（不与点A重合），过点P作x轴的垂线与直线AB相交于点D．设点P的横坐标为t．△DPA与△COA重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示（其中0≤t＜m与m≤t＜4时，函数的解析式不同）．（1）点A的坐标是，△COA的面积是．（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．【分析】（1）从图2知，OA＝4，即点A（4，0），当点D和点B重合时，S＝S△AOCQUOTE，即可求解；（2）当QUOTEt＜4时，，则SQUOTEAP×PDQUOTEAP×PA•tan∠BOAQUOTE（4﹣t）2QUOTE（t﹣4）2；当0≤tQUOTE时，，则S＝S△OCA﹣S△OPHQUOTEPH•OPQUOTEt2，即可求解．【解答】解：（1）如图1，设PD交OC于点C，从图2知，OA＝4，即点A（4，0），当点D和点B重合时，S＝S△AOCQUOTE；故答案为：（4，0），QUOTE；（2）S＝S△AOCQUOTEAO•yC＝2yC，则yCQUOTE，则点C（QUOTE，QUOTE），则mQUOTE，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：yQUOTEx+2，则点B（0，2）；由直线AC的表达式知，tan∠BOAQUOTE；当QUOTEt＜4时，则SQUOTEAP×PDQUOTEAP×PA•tan∠BOAQUOTE（4﹣t）2QUOTE（t﹣4）2；当0≤tQUOTE时，如图1，则S＝S△OCA﹣S△OPHQUOTEPH•OPQUOTEt2，则SQUOTE．【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，分类求解和解直角三角形是解题的关键．1．（2023•武侯区模拟）若点A（a，a﹣1）在x轴上，则点B（a+1，a﹣2）在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四2．（2023•拱墅区二模）平面直角坐标系中，已知A（a，3），B（3，b）位置如图所示，则下列关系一定成立的是（）A．a＜3 B．b＞3 C．a＞b D．a＜b3．（2024•安徽模拟）已知点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（）A． B． C． D．4．（2023•广饶县校级模拟）如图1，Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．6 B．8 C．10 D．125．（2023•盐城）如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是（﹣3，0），（﹣1，0），（3，0），对此，小华认为：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；②当x＞﹣3时，y有最小值；③点P（m，﹣m﹣1）在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．（2024•秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（）A．QUOTE B．QUOTE C．17 D．5QUOTE7．（2023•甘南县一模）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒QUOTE个单位长度，则第2021秒时，点P的坐标是．1．（2024•秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（）A．QUOTE B．QUOTE C．17 D．5QUOTE2．（2024•东营区校级一模）如图1，点A是⊙O上一定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图2是y随x变化的关系图象，则点P的运动速度是（）A．1cm/s B．QUOTEcm/s C．QUOTEcm/s D．QUOTEcm/s3．（2024•广平县模拟）如图，线段AB上有一动点P从右向左运动，△AEP和△PFB分别是以AP和PB为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点EF，G为线段EF的中点；C、D为线段AB上两点，且满足AC＝BD，当点P从点D运动到点C时，设点G到直线AB的距离为y，点P的运动时间为x，则y与x之间函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．4．（2023•肇东市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为．5．（2023•铁锋区三模）如图，已知等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象，如此下去，则点D2023的坐标为．6．（2024•北流市一模）如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示．（1）求长方形的长；（2）直接写出m＝，a＝，b＝；（3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4时，y与x之间的关系式．7．（2023•七星区校级模拟）如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°．（1）动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线A→B→C→D运动到点D停止．设运动时间为a，△AMD的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求AD、CD的长．（2）如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线A→D→C运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线C→D→A运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到AD边上时，连接CP、CQ、PQ，当△CPQ的面积为8时，求t的值．8．（2023•定远县校级模拟）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、QUOTEcm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．（1）求出a值；（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？1．在函数QUOTE中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≠3 C．x＞﹣1 D．x≥﹣1且x≠32．若点G（a，2﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 D．a＜0或a＞23．如图，从原点出发的一个动点，按照图示的运动规律在平面直角坐标系内每次移动一个单位长度，其中A1（1，0），A2（1，1），A3（0，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，0），⋯，则A2025的坐标是（）A．（23，﹣22） B．（22，﹣22） C．（45，﹣44） D．（44，﹣44）4．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力，当石块入水后，F拉力＝C重力﹣F浮力．）则以下说法正确的是（）A．当石块下降3cm时，此时石块在水里 B．当6≤x≤10时，F拉力（N）与x（cm）之间的函数表达式为F拉力QUOTE C．石块下降高度8cm时，此时石块所受浮力是1N D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底QUOTE5．在同一平面直角坐标系中有A，B，C三点，已知点A（2，0），B（5，0），点C是第一象限内的一个动点，且∠ACB＝60°．当BC最长时，点C的坐标为．6．已知△ABC，动点P从点A出发，以每秒钟1个单位长度的速度沿A→B→C→A方向运动到点A处停止，设点P运动的时间为t秒，△PAB的面积S关于t的函数图象如图所示，则△ABC的边BC上的高等于．7．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值：输入x…257911…输出y…54101622…根据以上信息，解答下列问题：（1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为；（2）求k，b的值；（3）当输出的y值为6时，求输入的x值．1．（2023•武侯区模拟）若点A（a，a﹣1）在x轴上，则点B（a+1，a﹣2）在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【分析】由点A在x轴上求出a的值，从而得出点B的坐标，继而得出答案．【解答】解：∵点A（a，a﹣1）在x轴上，∴a﹣1＝0，即a＝1，则点B坐标为（2，﹣1），∴点B在第四象限，故选：D．【点评】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限及坐标轴上点的横纵坐标特点．2．（2023•拱墅区二模）平面直角坐标系中，已知A（a，3），B（3，b）位置如图所示，则下列关系一定成立的是（）A．a＜3 B．b＞3 C．a＞b D．a＜b【分析】根据点的坐标的意义，逐一判断即可解答．【解答】解：如图：A、a＜3，故A符合题意；B、b＜3，故B不符合题意；C、a与b的大小关系不能确定，故C不符合题意；D、a与b的大小关系不能确定，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握点的坐标的意义是解题的关键．3．（2024•安徽模拟）已知点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（）A． B． C． D．【分析】由点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，可得B与C关于y轴对称；当x＜0时，y随x的增大而减小，继而求得答案．【解答】解：∵点B（﹣3，m），C（3，m），∴B与C关于y轴对称，即这个函数图象关于y轴对称，故选项A，C不符合题意；∵A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项B符合题意，选项D不符合题意．故选：B．【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．4．（2023•广饶县校级模拟）如图1，Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝2；利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE，得y的最大值为AE＝10；在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE的长，再根据BC＝2BE求出BC的长．【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝2．利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．∴y的最大值为AE，∴AE＝10．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝100，设BE的长度为t，则BA＝t+2，∴（t+2）2+t2＝100，即：t2+t﹣48＝0，∴（t+8）（t﹣6）＝0，由于t＞0，∴t+8＞0，∴t﹣6＝0，∴t＝6．∴BC＝2BE＝2t＝2×6＝12．故选：D．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出BE的长是解题的关键．5．（2023•盐城）如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是（﹣3，0），（﹣1，0），（3，0），对此，小华认为：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；②当x＞﹣3时，y有最小值；③点P（m，﹣m﹣1）在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】①②通过观察函数图象判断即可；③写出点P所在的函数，并画出其图象，根据它们交点的个数判断即可；④通过观察函数图象判断即可．【解答】解：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1或x＞3，∴①不正确．②由图象可知，当x＞﹣3时，y有最小值，∴②正确．③令x＝m，y＝﹣m﹣1，∴y＝﹣x﹣1，∴点P（m，﹣m﹣1）在直线y＝﹣x﹣1上．y＝﹣x﹣1的函数图象为：由图象可以看出，它们有三个交点，∴符合要求的点P有3个，∴③不正确．④将函数y的图象向右平移1个单位长度时，原图象上坐标为（﹣1，0）的点过原点；将函数y的图象向右平移3个单位长度时，原图象上坐标为（﹣3，0）的点过原点；∴④正确．综上，只有②④正确．故选：C．【点评】本题考查函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是本题的关键．6．（2024•秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（）A．QUOTE B．QUOTE C．17 D．5QUOTE【分析】根据图象可知t＝0时，点P与点A重合，得到AB＝15，进而求出点P从点A运动到点所需的时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC即可．【解答】解：由图象可知：t＝0时，点P与点A重合，∴AB＝15，∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2＝7.5（s）；∴点P从点B运动到点C的时间为11.5﹣7.5＝4（s），∴BC＝2×4＝8；在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝17；故选C．【点评】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出AB，BC的长是解题的关键．7．（2023•甘南县一模）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒QUOTE个单位长度，则第2021秒时，点P的坐标是．【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为QUOTE2π×1＝π，∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒QUOTE个单位长度，∴点P每秒走QUOTE个半圆，当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），…，∵2021÷4＝505余1，∴P的坐标是（2021，1），故答案为：（2021，1）．【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．1．（2024•秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（）A．QUOTE B．QUOTE C．17 D．5QUOTE【分析】根据图象可知t＝0时，点P与点A重合，得到AB＝15，进而求出点P从点A运动到点所需的时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC即可．【解答】解：由图象可知：t＝0时，点P与点A重合，∴AB＝15，∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2＝7.5（s）；∴点P从点B运动到点C的时间为11.5﹣7.5＝4（s），∴BC＝2×4＝8；在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝17；故选C．【点评】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出AB，BC的长是解题的关键．2．（2024•东营区校级一模）如图1，点A是⊙O上一定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图2是y随x变化的关系图象，则点P的运动速度是（）A．1cm/s B．QUOTEcm/s C．QUOTEcm/s D．QUOTEcm/s【分析】从图2看，当x＝1时，y＝AP＝2，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为QUOTEAP＝1，当x＝0时，AP＝ABQUOTE，故OA⊥OB，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时t＝1，走过的了角度为90°，进而求解．【解答】解：从图2看，当x＝1时，y＝AP＝2，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为QUOTEAP＝1，当x＝0时，AP＝ABQUOTE，故OA⊥OB，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时x＝1，走过的了角度为90°，则走过的弧长为QUOTE2π×rQUOTE，故点P的运动速度是QUOTE1QUOTE（cm/s），故选：C．【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．3．（2024•广平县模拟）如图，线段AB上有一动点P从右向左运动，△AEP和△PFB分别是以AP和PB为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点EF，G为线段EF的中点；C、D为线段AB上两点，且满足AC＝BD，当点P从点D运动到点C时，设点G到直线AB的距离为y，点P的运动时间为x，则y与x之间函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．【分析】分别延长AE，BF交于点H，则可证得四边形EPFH为平行四边形，利用平行四边形的性质：对角线相互平分，可得G为EF的中点，也是PH的中点，所以G的运动轨迹是三角形HCD的中位线，所以点G到直线AB的距离为y是一个定值，问题得解．【解答】解：如图，分别延长AE，BF交于点H，∵∠A＝∠FPB＝60°，∴AH∥PF，∵∠B＝∠EPA＝60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分，∴G为HP的中点，∵EF的中点为G，∴P从点C运动到点D时，G始终为PH的中点，∴G运动的轨迹是三角形HCD的中位线MN，又∵MN∥CD，∴G到直线AB的距离为一定值，∴y与P点移动的时间x之间函数关系的大致图象是一平行于x轴的射线（x≥0）．故选：D．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，利用到的是三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半．对于此类问题来说是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．4．（2023•肇东市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为．【分析】观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．【解答】解：（0，1），共1个，（0，2），（1，2），共2个，（1，3），（0，3），（﹣1，3），共3个，…，依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，1+2+3+…+nQUOTE，当n＝13时，QUOTE91，所以，第90个点的纵坐标为13，（13﹣1）÷2＝6，∴第91个点的坐标为（﹣6，13），第90个点的坐标为（﹣5，13）．故答案为：（﹣5，13）．【点评】本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．5．（2023•铁锋区三模）如图，已知等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象，如此下去，则点D2023的坐标为．【分析】根据等边三角形的性质分别求出C1C2，C2C3，C3C4，…，C2020C2021的边长即可解决问题．【解答】解：∵等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，∴OC＝1，C1C＝CDQUOTEOCQUOTE，∴OC，CC1，C1C2，C2C3，…，C2018C2019的长分别为1，QUOTE，QUOTE，QUOTE，…，QUOTE，OC2023＝OC+CC1+C1C2+C2C3，…+C2022C2023＝1QUOTE，等边△A2023C2022C2023顶点A2023的横坐标QUOTE，等边△A2023C2022C2023顶点A2023的纵坐标QUOTE．∴等边△A2023C2022C2023的边A2023C2023中点D2023横坐标为（QUOTE）QUOTE．D2023纵坐标为QUOTE．故答案为：（QUOTE，QUOTE）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标和等边三角形的性质、解题的关键是An点的横坐标变化规律．6．（2024•北流市一模）如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示．（1）求长方形的长；（2）直接写出m＝1，a＝4，b＝9；（3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4时，y与x之间的关系式．【分析】（1）由图象可知，BC的长度，在5≤x≤7时，S△ABP＝12，求出BC的长；（2）当x＝a时，S△ABP＝8，从而得出a和m的值，当x＝b时，S△ABP＝4，从而求得b的值；（3）分0≤x≤1，1＜x≤2，2＜x≤4三种情况讨论．【解答】解：（1）在5≤x≤7时，△ABP的面积不变，此时：点P在BC上运动，速度为每秒2个单位，∴AD＝BC＝2×2＝4，在5≤x≤7时，△ABP的面积为12，∴QUOTE4×BC＝12，∴BC＝6，∴长方形的长为6．（2）当x＝a时，S△ABPQUOTE4×BP＝8，∴BP＝4，∴CP＝2，∴a＝5﹣（2÷2）＝4，∴mQUOTE1，当x＝b时，S△ABPQUOTE4×AP＝4，∴AP＝2，∴DP＝4，∴b＝7+（4÷2）＝9；故答案为：1；4；9；（3）根据题意可知，BC＝4×1+1×2＝6，CD＝2×2＝4；当0≤x≤1时，如图，BP＝3+x，CQ＝x，∴yQUOTEBP•CQQUOTE（3+x）•xQUOTEx2QUOTEx；当1＜x≤2时，如图，BP＝4+2（x﹣1）＝2x+2，CQ＝x，yQUOTEBP•CQQUOTE（2x+2）•x＝x2+x；当2＜x≤4时，如图，CP＝2（x﹣2），CQ＝x，∴PQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x，∴yQUOTEBP•CQQUOTE（4﹣x）•6＝12﹣3x；∴yQUOTE．【点评】本题是函数综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积公式，学生观察图象的能力，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．7．（2023•七星区校级模拟）如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°．（1）动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线A→B→C→D运动到点D停止．设运动时间为a，△AMD的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求AD、CD的长．（2）如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线A→D→C运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线C→D→A运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到AD边上时，连接CP、CQ、PQ，当△CPQ的面积为8时，求t的值．【分析】（1）由函数图象可知，CD＝40﹣25＝15，此时SQUOTEDM•ADQUOTE15×AD＝75，解得AD＝10，即可求解；（2）由题意得，当Q运动到A停止的时间为QUOTE，而点P运动到D的时间为QUOTE6，故只能有点P、Q都在AD边上，此时有以PQ为底边，CD为高的三角形CPQ，再分按点P在Q上方、点P在点Q下方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由函数图象可知，CD＝40﹣25＝15，此时SQUOTEDM•ADQUOTE15×AD＝75，解得：AD＝10，∴AD＝10，CD＝15；（2）由题意得，当Q运动到A停止的时间为QUOTE，而点P运动到D的时间为QUOTE6，当点P、Q都在AD边上，此时有以PQ为底边，CD为高的三角形CPQ，设运动的时间为t，则AP＝2t，DQ＝5t﹣16，而QUOTEtQUOTE，当点P在Q上方时，则PQ＝AD﹣AP﹣QD＝10﹣2t﹣5t+15＝25﹣7t，△CPQ的面积QUOTEPQ×CDQUOTE（25﹣7t）×16＝8，解得：tQUOTE（满足条件）；当点P在点Q下方时，PQ＝DQ﹣（AD﹣AP）＝5t﹣15﹣（10﹣2t）＝7t﹣25，△CPQ的面积QUOTEPQ×CDQUOTE（7t﹣25）×16＝8，解得：tQUOTE（满足条件）；当点P在CD上时，点Q运动到A时，QUOTE（28﹣2t）×12＝8，解得tQUOTE，综上，tQUOTE或QUOTE或QUOTE．【点评】本题考查的是四边形动点问题与一次函数结合，熟悉掌握四边形动点问题的解决办法和一次函数图象的相关性质，运用数形结合的思想是解题的关键．8．（2023•定远县校级模拟）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、QUOTEcm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．（1）求出a值；（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？【分析】（1）根据图象变化确定a秒时，P点位置，利用面积求a；（2）P、Q两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒．（3）以（2）为基础可知，两个点相距3cm分为相遇前相距或相遇后相距，因此由（2）可列方程．【解答】解：（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，△APD的面积保持不变，则a秒时，点P在边AB上，则QUOTE∴AP＝6则a＝6（2）由（1）6秒后点P变速，则点P已行的路程为y1＝6+2（x﹣6）＝2x﹣6∵Q点路程总长为34cm，第6秒时已经走12cm，点Q还剩的路程为y2＝34﹣12QUOTE（3）当P、Q两点相遇前相距3cm时，QUOTE（2x﹣6）＝3解得x＝10当P、Q两点相遇后相距3cm时（2x﹣6）﹣（QUOTE）＝3解得xQUOTE，∴当x＝10或QUOTE时，P、Q两点相距3cm【点评】本题是双动点问题，解答时应注意分析图象的变化与动点运动位置之间的关系．列函数关系式时，要考虑到时间x的连续性才能直接列出函数关系式．1．在函数QUOTE中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≠3 C．x＞﹣1 D．x≥﹣1且x≠3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：QUOTE，解得：x≥﹣1且x≠3．故选：D．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．2．若点G（a，2﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 D．a＜0或a＞2【分析】根据第二象限内点的坐标特点解答即可．【解答】解：∵点G（a，2﹣a）是第二象限的点，∴QUOTE，解得a＜0．故选：A．【点评】本题考查的是点的坐标，熟知第二象限内点的坐标特点是解题的关键．3．如图，从原点出发的一个动点，按照图示的运动规律在平面直角坐标系内每次移动一个单位长度，其中A1（1，0），A2（1，1），A3（0，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，0），⋯，则A2025的坐标是（）A．（23，﹣22） B．（22，﹣22） C．（45，﹣44） D．（44，﹣44）【分析】抓住这列点中，点A1，点A9，点A25，…，的坐标规律即可解决问题．【解答】解：由所给图形可知，点A1的坐标为（1，0）；点A9的坐标为（2，﹣1）；点A25的坐标为（3，﹣2）；…，由此可见，点QUOTE的坐标为（n，﹣n+1）；当n＝23时，（2n﹣1）2＝2025，所以点A2025的坐标为（23，﹣22）．故选：A．【点评】本题考查点的坐标变化规律，能抓住点A1，点A9，点A25，…，的坐标规律是解题的关键．4．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力，当石块入水后，F拉力＝C重力﹣F浮力．）则以下说法正确的是（）A．当石块下降3cm时，此时石块在水里 B．当6≤x≤10时，F拉力（N）与x（cm）之间的函数表达式为F拉力QUOTE C．石块下降高度8cm时，此时石块所受浮力是1N D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底QUOTE【分析】观察图象，解出6≤x10的函数关系式，利用关系式判断出相关结论即可解题．【解答】解：A、由图得，当石块下降3cm时，拉力不变，此时石块不在水里，故A不符题意；B、设F＝kx+b，代入（6，4）（10，2.5），得FQUOTExQUOTE，故B不符合题意；C、将x＝8代入FQUOTExQUOTE，得FQUOTE，4QUOTE，故C不符合题意；D、将F＝3代入FQUOTExQUOTE，得xQUOTE，16QUOTE，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了函数图象的应用，对物理常识的掌握及数形结合的思想是解题关键．5．在同一平面直角坐标系中有A，B，C三点，已知点A（2，0），B（5，0），点C是第一象限内的一个动点，且∠ACB＝60°．当BC最长时，点C的坐标为（2，QUOTE）．【分析】根据∠ACB＝60°得出点C的运动轨迹，再由BC最长即可解决问题．【解答】解：因为A（2，0），B（5，0），且∠ACB＝60°，所以可构造出以∠ACB为圆周角的圆．如图所示，当点C在BP的延长线与⊙P的交点处时，BC取得最大值，即为⊙P的直径．因为BC为⊙P的直径，所以∠CAB＝90°，又∵AB＝5﹣2＝3，且∠ACB＝60°，在Rt△ABC中，tan∠ACBQUOTE，即QUOTE，所以ACQUOTE，因此点C的坐标为（2，QUOTE）．故答案为：（2，QUOTE）．【点评】本题考查坐标与图形性质，能根据∠ACB＝60°得出点C的运动轨迹是解题的关键．6．已知△ABC，动点P从点A出发，以每秒钟1个单位长度的速度沿A→B→C→A方向运动到点A处停止，设点P运动的时间为t秒，△PAB的面积S关于t的函数图象如图所示，则△ABC的边BC上的高等于4或QUOTE．【分析】作出三角形ABC，作CH⊥AB于H，由图象得当点P到达点B时的路程为4，即AB＝4，当点P到达点A时的路程为12，即BC+AC＝8，设BC＝x，BH＝y，表示AH＝4﹣y，AC＝8﹣x，在Rt△ACH和BCH中，利用勾股定理求出BC，再根据三角形面积公式求出BC边高即可．【解答】解：如图三角形ABC，由图象得当点P到达点B时的路程为4，即AB＝4，当点P到达点A时的路程为12，即BC+AC＝8，作CH⊥AB于H，∵S△ABC＝6，即QUOTEAB•CH＝6，∴CH＝3，设BC＝x，BH＝y，∴AH＝4﹣y，AC＝8﹣x，在Rt△ACH和BCH中，QUOTE，解得，x1＝3，x2＝5，即BC＝3或5，设BC边的高为h，由QUOTEBC•h＝6，得h＝4或QUOTE，故答案为：4或QUOTE．【点评】本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合题意分析图形是解题关键．7．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值：输入x…257911…输出y…54101622…根据以上信息，解答下列问题：（1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为﹣5；（2）求k，b的值；（3）当输出的y值为6时，求输入的x值．【分析】（1）把x＝﹣3代入y＝2x+1，即可得到结论；（2）将（7，10），（5，4）代入y＝kx+b解方程即可得到结论；（3）解方程即可得到结论．【解答】解：（1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为y＝2x+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，故答案为：﹣5；（2）将（7，10），（5，4）代入y＝kx+b，得QUOTE，解得QUOTE；（3）把y＝6代入y＝2x+1，得2x+1＝6，解得QUOTE，把y＝6代入y＝3x﹣11，得3x﹣11＝6，解得QUOTE，∴输出的y值为6时，输入的x值为QUOTE或QUOTE．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数值，正确地求得函数的解析式是解题的关键．一次函数一次函数在中考数学中的命题预测可能会涉及以下几个方面：一次函数的图像与性质、一次函数的解析式、一次函数的实际应用、一次函数与几何图形的结合。针对这些可能的命题方向，建议学生：熟练掌握一次函数的基本概念和性质，包括图像、解析式、斜率、截距等。学会根据题目条件求一次函数的解析式，并判断函数的性质。注重一次函数在实际问题中的应用，学会建立一次函数模型来解决实际问题。加强一次函数与几何图形的结合，通过几何图形来理解和应用一次函数。Ⅰ、一次函数一、一次函数、正比例函数的定义1. 一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数.2. 正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数.3. 正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数.4. 一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定.5. 判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数.二、确定一次函数的表达式1. 待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值.2. 用待定系数法确定一次函数表达式的步骤：（1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）；（2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）；（3）解：解方程（组），求出k、b的值；（4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式.Ⅱ、一次函数的图像一、一次函数的图像1. 一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线.2. 正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线.3. 一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点.4. 一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上.5. 通过描点法画出对应一次函数的步骤：（1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中；（2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；（3）连线：将所描的点用直线连接起来.二、一次函数的图像与性质一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）k、b的符号k＞0k＜0b＞0b＝0b＜0b＞0b＝0b＜0图像趋势从左向右上升从左向右下降性质函数值y随自变量x增大而增大函数值y随自变量x增大而减小与y轴交点的位置正半轴原点负半轴正半轴原点负半轴经过的象限第一、二、三象限第一、三象限第一、三、四象限第一、二、四象限第二、四象限第二、三、四象限1. 一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号.2. |k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓.三、正比例函数与一次函数图形的关系1. 正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的.2. 一次函数图像的平移规律（1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减）（2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）.3. 同一个平面直角坐标系中两直线l1：y＝k1x＋b1（k1≠0），l2：y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置关系如下：k1，k2，b1，b2的关系l1与l2的关系k1≠k2l1与l2相交k1≠k2，b1＝b2l1与l2相交于y轴上的同一点（0，b1）或（0，b2）k1＝k2，b1≠b2l1与l2平行k1＝k2，b1＝b2l1与l2重合Ⅲ、用一次函数解决问题一、一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题.1. 判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤：（1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值；（2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像；（3）观察图像特征，判断函数的类型.2. 建立一次函数表达式的常用方法（1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式；（2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.二、一次函数图像的应用1. 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.2. 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.Ⅳ、一次函数与二元一次方程一、一次函数与二元一次方程的关系1. 一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上.2. 二元一次方程与一次函数的区别：（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；（2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系.3. 二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）.二、一次函数与二元一次方程组1. 如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解.2. 在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.3. 用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法.4. 当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立.5. 当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.6. 方程组解的几何意义（1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标；（2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（）（3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数；（4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数.Ⅴ、一次函数、一元一次方程和一元一次不等式一、一次函数与一元一次方程1. 一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.2. 从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值.3. 对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解.二、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下：1. 不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围；2. 不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围；3. 不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围；4. 不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围；5. 不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围；6. 不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围.1．（2023•通辽）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣3的图象是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数y＝2x﹣3